introdução
- Se for uma quantidade física, como o stress, então é normalmente chamado de tensor.Se não é uma quantidade física, então é normalmente chamado de matriz. a grande maioria dos tensores de engenharia são simétricos. Uma quantidade comum que não é simétrica, e não referida como tensor, é uma matriz de rotação. tensores são de fato qualquer quantidade física que pode ser representada por um escalar, vetor ou matriz.Tensores de ordem Zero, como a massa, são chamados escalares, enquanto tensores de primeira ordem são chamados vetores.Exemplos de tensores de ordem superior incluem tensão, tensão e rigidez.
- a ordem, ou posição, de uma matriz ou tensor é o número de subscriptsit contém. Um vector é um tensor de 1º grau. Um tensor de tensão 3×3 é de 2º grau. as transformações de coordenadas de tensores são discutidas em detalhe aqui.
Matriz de Identidade
A matriz de identidade é
\\]
Multiplicando nada a matriz de identidade é como multiplicação por um.
Notação tensora
a matriz de identidade na notação tensora é simplesmente \ (\delta_{ij} \).É o Delta do Kronecker que é igual a 1 quando \ (i = j \) e 0 de outra forma.
É uma Matriz ou Não?
uma nota dos puristas… A matriz de identidade é uma matriz, mas a Kronecker deltatechnicamente não é. \( \delta_{ij} \) é um único valor escalar que é 1 ou 0, dependendo dos valores de \(i\) e \(j\). É também por isso que a notação tensor não está em negrito, porque sempre se refere a componentes individuais de tensores, mas nunca a um tensor como um todo.
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Transpose
The transpose of a matrix mirrors its components about the main diagonal. O transposeof matrix \({\bf a}\) Está escrito \({\bf a}^{\!T}\).
Transpose Example
\,\qquad\text{then}\qquad{\bf a}^{\!T} = \left\]
Notação tensora
a transposição de \(a_{IJ}\) é \(A_{j\,i}\).
Determinantes
O determinante de uma matriz é escrito como det(\({\bf A}\) ou \(|{\bf A}|\), e é calculado como:
\
Se o determinante de um tensor, ou matriz, é zero, então ele não tem um inverso.
Tensor Notação
O cálculo de um determinante pode ser escrito em notação tensorial em um par de maneiras diferentes
\ O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das duas matrizes. In other words,
\
The determinant of a deformation gradient gives the ratio of initial to final volume of a differential element.
Inverses
the inverse of matrix \({\bf a}\) is written as \({\bf a}^{\!-1}\)e tem a seguinte propriedade muito importante(ver a secção sobre a multiplicação de matrizes abaixo)
\
Se \({\bf B}\) é o inverso de \({\bf A}\) e, em seguida,
\
Tensor Notação
O inverso de \(A_{ij}\) é muitas vezes escrito como \(A^{-1}_{ij}\).Note que isso provavelmente não é rigorosamente correto, uma vez que,como discutido anteriormente, nem \(a_{ij}\) nem \(a^{-1}_{ij}\) são matrizes técnicas.São apenas componentes de uma matriz. Bem…..
O inverso pode ser calculado usando
\
Matrix Inverse Webpage
esta página calcula o inverso de uma matriz 3×3.
Transpõe dos Inversos dos Transpõe de…
o inverso de uma transposição de uma matriz é igual à transposição de um inverso da matriz. Dado que a ordem não interessa, a operação dupla é abreviada como \({\bf{a}}^{\!-T}\).
\
adição de matriz
matrizes e tensores são adicionados componente por componente, assim como vetores.Isto é facilmente expresso em notação tensor.
\
Matrix Multiplication (Dot Products)
the dot product of two matrices multiplies each row of the first by each columnof The second. Os produtos são frequentemente escritos com um ponto na notação de matriz como\ ({\bf a} \cdot {\bf B} \), mas às vezes escritos sem o ponto como \( {\bf a} {\bf B} \). As regras de multiplicação são, de facto, melhor explicadas através da notação tensorial.
\
(Note que nenhum ponto é usado na notação tensorial.) The \(k\) in both factors automatically implies
\
which is the ith row of the first matrix multiplicated by the jth column of the second matrix. Se, por exemplo, você quiser computar \(c_{23}\), Então \(i=2\) e \(j=3\), e
\
Matrix Multiplication Webpage
esta página calcula o produto Ponto de duas matrizes 3×3.
a Multiplicação de matrizes Não É Comutativa
por Isso, é muito importante reconhecer que a multiplicação de matrizes NÃO é comutativa, isto é,
\
Transposes and Inverses of Products
The transpose of a product equals the product of the transposes in reverse order, and inverse of a product equals the product of the inverses in reverse order.Note que o “em ordem inversa” é crítico.Isto é usado extensivamente nas seções sobre gradientes de deformação e estirpes verdes.isto também se aplica a vários produtos. For example
\
Product With Own Transpose
the product of a matrix and its own transpose is always a symmetric matrix.\({\bf A}^T \cdot {\bf a} \) e \({\bf a} \cdot {\bf A}^T\) ambos dão simétricos, embora resultados diferentes.Isto é usado extensivamente nas seções sobre gradientes de deformação e estirpes verdes.
produtos de Ponto duplo
O produto de ponto duplo de duas matrizes produz um escalar result.It está escrito na notação de matriz como \({\bf a}: {\bf B}\).Embora raramente usado fora da mecânica contínua,é de fato bastante comum em aplicações avançadas de elasticidade linear. Por exemplo, \ ({1 \over 2} \sigma : \epsilon \)dá a densidade de energia da tensão na elasticidade linear em pequena escala.Mais uma vez, seu cálculo é melhor explicado com notação tensor.uma vez que os índices \(i\) e \(j\) aparecem em ambos os fatores, ambos são somados para dar
\