A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, 
organizada de tal modo que a soma de 
números em qualquer horizontal, vertical ou diagonal principal é sempre o mesmo número (Kraitchik 1942, p. 142; Andrews, 1960, p. 1; Gardner, 1961, p. 130; Madachy 1979, p. 84; Benson e Jacoby 1981, p. 3; Bola e Coxeter 1987, p. 193), conhecido como o mágico de constante
Se cada número em um quadrado mágico é subtraído 
, outro quadrado mágico é obtido chamado complementar, de quadrado mágico. Um quadrado consistindo de números consecutivos começando com 1 é às vezes conhecido como um quadrado mágico “normal”.
o quadrado Normal único da ordem três era conhecido pelos antigos chineses, que o chamavam de Lo Shu. Uma versão do quadrado mágico da ordem-4 com os números 15 e 14 em colunas médias adjacentes na linha inferior é chamada de quadrado mágico de Dürer. Quadrados mágicos de ordem 3 a 8 são mostrados acima.
A magia constante para uma 
th ordem geral de quadrado mágico, começando com um número inteiro 
e com entradas em uma crescente série aritmética com a diferença 
entre os termos é
(Hunter e Madachy 1975).
trata-se de um problema não resolvido para determinar o número de quadrados mágicos de uma ordem arbitrária, mas o número de distintas quadrados mágicos (excluindo aquelas obtidas por rotação e reflexão) de ordem 
, 2, … são 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, p. 87). Os 880 quadrados da ordem quatro foram enumerados por Frénicle de Bessy em 1693, e são ilustrados em Berlekamp et al. (1982, p. 778-783). O número de quadrados mágicos foi calculado por R. Schroeppel em 1973. O número de 
praças não é conhecido, mas Pinn e Wieczerkowski (1998) estimou 
usando simulação de Monte Carlo e métodos da mecânica estatística. Métodos para enumerar quadrados mágicos são discutidos por Berlekamp et al. (1982)e no site MathPages.
Um quadrado que não é mágico apenas porque uma ou ambas as principais somas diagonais não são iguais à constante mágica é chamado de quadrado semimágico. Se todas as diagonais (incluindo as obtidas por envolver) de uma soma quadrada mágica para a constante mágica, o quadrado é dito ser um quadrado panmágico (também chamado de quadrado diabólico ou quadrado pandiagonal). Se substituir cada número 
por seu quadrado 
produz outro quadrado mágico, o quadrado é dito ser um quadrado bimágico (ou quadrado mágico duplo). Se um quadrado é magia para 
e 
, ele é chamado de um trimagic quadrado (ou triplamente quadrado mágico). Se todos os pares de números simetricamente opostos à soma central para 
, o quadrado é dito ser um quadrado mágico associativo.
quadrados que são mágicos sob multiplicação em vez de adição podem ser construídos e são conhecidos como quadrados mágicos de multiplicação. Além disso, quadrados que são mágicos sob a adição e multiplicação podem ser construídos e são conhecidos como quadrados mágicos de adição-multiplicação (Hunter e Madachy 1975).
Kraitchik (1942) dá técnicas gerais de construção de quadrados par e ímpares de ordem
. For
odd, a very straightforward technique known as the Siamese method can be used, as illustrated above (Kraitchik 1942, pp. 148-149). Ele começa por colocar um 1 no quadrado central da linha superior, em seguida, incrementalmente colocando números subseqüentes no quadrado uma unidade acima e para a direita. A contagem é enrolada em torno, de modo que cair do topo retorna na parte inferior e cair do direito retorna na esquerda. Quando um quadrado é encontrado que já está preenchido, o próximo número é colocado abaixo do anterior e o método continua como antes. O método, também chamado de método de la Loubere, foi relatado pela primeira vez no Ocidente quando de la Loubere retornou à França depois de servir como embaixador no Sião.
Uma generalização deste método usa um “processo de vetor” 
que dá o deslocamento para cada noncolliding movimento e uma “quebra de vetor” 
que dá o deslocamento para introduzir após uma colisão. O método Siamês padrão, portanto, tem vetor ordinário (1, 
e Vetor de ruptura (0, 1). Para que isso produza um quadrado mágico, cada movimento de ruptura deve acabar em uma célula não preenchida. Classes especiais de quadrados mágicos pode ser construído considerando a absoluta somas 
e 
. Chamar o conjunto destes números os sumdiffs (somas e diferenças). Se todas as sumdiffs são relativamente prime para 
e o quadrado é um quadrado mágico, então o quadrado é também um quadrado panmágico. Esta teoria teve origem no De la Hire. A tabela seguinte dá as sumdiffs para escolhas particulares de vetores ordinários e break.
A second method for generating magic squares of odd order has been discussed by J. H. Conway under the name of the “lozenge” method. Como ilustrado acima, neste método, os números ímpares são construídos ao longo de linhas diagonais na forma de um diamante na parte central do quadrado. Os números pares que foram omitidos são então adicionados sequencialmente ao longo da continuação da diagonal obtida enrolando em torno do quadrado até que a diagonal enrolada atinja o seu ponto inicial. Acima da praça, a primeira diagonal, portanto, preenche 1, 3, 5, 2, 4, a segunda diagonal preenche 7, 9, 6, 8, 10, e assim por diante.
Um método elegante para a construção de quadrados mágicos de duplamente mesmo fim 
é desenhar 
s através de cada 
subsquare e preencher todos os quadrados na sequência. Em seguida, substituir cada entrada 
numa diagonal riscada por
ou, equivalentemente, inverter a ordem das entradas riscadas. Assim, no exemplo acima para 
, os números riscados são originalmente 1, 4, …, 61, 64, por isso a entrada 1 é substituída por 64, 4 por 61, etc.
muito elegante método para a construção de quadrados mágicos de maneira isolada, mesmo de ordem 
com 
(não há nenhum quadrado mágico de ordem 2) é devido a J. H. Conway, que chama de o “LUX” método. Criar uma matriz composta de 
linhas de 
s, 1 linha de Nós, e 
linhas de 
s, todos de comprimento 
. Intercambie O U médio com o L acima dele. Agora gerar o quadrado mágico de ordem 
usando o Siamese método centrado na matriz de letras (começando na praça do centro da linha superior), mas preencher cada conjunto de quatro praças em torno de uma carta sequencialmente de acordo com a ordem prescrita pela letra. Essa ordem é ilustrada no lado esquerdo da figura acima, e o quadrado completo é ilustrado à direita. As “formas” das letras L, U e X naturalmente sugerem a ordem de preenchimento, daí o nome do algoritmo.
variações em quadrados mágicos também podem ser construídas usando letras (tanto na definição do quadrado ou como entradas nele), como o quadrado mágico alphamagic e o quadrado mágico templar.
várias propriedades numerológicas também foram associadas com quadrados mágicos. Pivari associa os quadrados ilustrados acima com Saturno, Júpiter, Marte, O Sol, Vênus, Mercúrio e a lua, respectivamente. Padrões atrativos são obtidos conectando números consecutivos em cada um dos quadrados (com exceção do Quadrado Mágico do sol).