objectivos de aprendizagem
no final desta secção, será capaz de:
- descrever o comprimento adequado.calcular a contração do comprimento.explique por que não notamos estes efeitos em escalas diárias.
Figura 1. As pessoas podem descrever distâncias de forma diferente, mas a velocidades relativistas, as distâncias são realmente diferentes. (credito: Corey Leopold, Flickr)
alguma vez percorreu uma estrada que parece que dura para sempre? Se você olhar em frente, você pode dizer que você tem cerca de 10 km Para ir. Outro viajante pode dizer que a estrada à frente parece ter cerca de 15 km de comprimento. No entanto, se ambos medissem a estrada, concordariam. Viajando a velocidades diárias, a distância que ambos medem seria a mesma. Você vai ler nesta seção, no entanto, que isso não é verdade em velocidades relativistas. Perto da velocidade da luz, as distâncias medidas não são as mesmas quando medidas por observadores diferentes.
comprimento próprio
uma coisa que todos os observadores concordam é a velocidade relativa. Embora os relógios Medam tempos diferentes para o mesmo processo, eles ainda concordam que a velocidade relativa, que é a distância dividida pelo tempo decorrido, é a mesma. Isto implica que a distância também depende do movimento relativo do observador. Se dois observadores vêem tempos diferentes, então eles também devem ver distâncias diferentes para que a velocidade relativa seja a mesma para cada um deles.
o múon discutido no exemplo 1 em simultaneidade e dilatação do tempo ilustra este conceito. Para um observador na terra, o múon viaja a 0,950 c por 7.05 µs desde o momento em que é produzido até decair. Assim, ele percorre uma distância
L0 = vΔt = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(7.05 × 10-6 s) = 2.01 km
em relação à Terra. No referencial do muon, sua vida útil é de apenas 2,20 µs. Ele tem tempo suficiente para viajar apenas
L0 = vΔt0 = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(2.20 × 10-6 s) = 0.627 km.
a distância entre os mesmos dois eventos (produção e decaimento de um muon) depende de quem o mede e de como se movem em relação a ele.
Comprimento Adequado
comprimento L0 é a distância entre dois pontos, medida por um observador que está em repouso em relação a ambos os pontos.
o observador ligado à Terra mede o comprimento próprio L0, porque os pontos em que o múon é produzido e decai são estacionários em relação à Terra. Para o muon, a terra, o ar e as nuvens estão se movendo, e assim a distância que ele vê não é o comprimento adequado.
Figura 2. a) o observador terrestre vê o muon viajar 2,01 km entre as nuvens. b) o múon vê-se percorrer o mesmo caminho, mas apenas a uma distância de 0,627 km. A terra, o ar e as nuvens estão se movendo em relação ao múon em sua estrutura, e todos parecem ter comprimentos menores ao longo da direção de viagem.
> Comprimento de Contração
Para desenvolver uma equação relativa distâncias medidos por observadores diferentes, nota-se que a velocidade em relação à Terra-vinculado observador em nosso muão exemplo é dado por
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
O tempo relativo ao observador ligado à terra é Δt, uma vez que o objeto cronometrado está se movendo em relação a este observador. A velocidade relativa ao observador em movimento é dada por
v=\frac{L} {\Delta{t}_0}\\.
o observador em movimento viaja com o múon e, portanto, observa o tempo adequado Δt0. As duas velocidades são idênticos; assim,
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
sabemos que Δt = γΔt0. Substituir esta equação na relação acima dá
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
substituir γ dá uma equação que relaciona as distâncias medidas por observadores diferentes.
contracção do comprimento
contracção do comprimento L é o encurtamento do comprimento medido de um objecto que se move em relação ao quadro do observador.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
Se a gente medir o comprimento de qualquer coisa em movimento em relação ao nosso quadro, vemos seu comprimento L para ser menor do que o comprimento L0 que seria avaliado se o objeto estavam parados. Por exemplo, no quadro de referência do múon, a distância entre os pontos onde foi produzido e onde se deteriorou é menor. Esses pontos são fixos em relação à Terra, mas movendo-se em relação ao muon. Nuvens e outros objetos também são contraídos ao longo da direção do movimento no quadro de referência do muon.
exemplo 1. Calculando a contração do comprimento: a distância entre as estrelas contrai-se quando se viaja a alta velocidade
suponha que um astronauta, tal como o gémeo discutido em simultaneidade e dilatação do tempo, viaja tão rápido que γ = 30.00.viaja da terra para o sistema estelar mais próximo, Alfa Centauri, a 4 300 anos-luz de distância, medido por um observador ligado à Terra. A que distância estão a terra e Alfa Centauri, medida pelo astronauta?em termos de c, Qual é a sua velocidade em relação à Terra? Você pode negligenciar o movimento da terra em relação ao sol. (Ver Figura 3.)
Figura 3. a) o observador ligado à Terra mede a distância adequada entre a terra e o Alfa Centauri. b) O astronauta observa uma contracção de comprimento, uma vez que a terra e o Alpha Centauri se movem em relação à sua nave. Ela pode viajar esta distância mais curta em um tempo menor (seu tempo próprio) sem exceder a velocidade da luz.
estratégia
primeiro note que um ano-luz (ly) é uma unidade de distância conveniente em uma escala astronômica—é a distância que a luz viaja em um ano. Para a parte 1, note que a distância de 4.300 l entre o Alfa Centauri e a terra é a distância adequada L0, porque é medida por um observador ligado à terra a quem ambas as estrelas estão (aproximadamente) estacionárias. Para o astronauta, a Terra e o Alpha Centauri estão se movendo na mesma velocidade, e a distância entre eles é contratada comprimento L. Na Parte 2, temos γ, e, portanto, podemos encontrar v reorganizando a definição de γ para expressar v em termos de c.
Solução para a Parte 1
Identificar o conhecimento:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
Identificar o desconhecido: L
Escolha a equação:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
rearranja a equação para resolver o desconhecido.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ l}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ l}\end{array}\\
Solução para a Parte 2
Identificar o conhecido: γ = 30.00
Identificar o desconhecido: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ para que 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ e \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
Tomando a raiz quadrada, encontramos \frac{v}{c}=0.99944\\, que é reorganizada para produzir um valor para a velocidade v = 0.9994 c.
Discussão
Primeiro, lembre-se que você não deve arredondar os cálculos, até o resultado final é obtido, ou você pode obter resultados incorretos. Isto é especialmente verdadeiro para os cálculos da relatividade especial, onde as diferenças só podem ser reveladas após várias casas decimais. O efeito relativístico é grande Aqui (γ = 30.00), e vemos que v está se aproximando (não igualando) a velocidade da luz. Uma vez que a distância medida pelo astronauta é muito menor, o astronauta pode percorrê-la em muito menos tempo em seu quadro.
as pessoas podem ser enviadas a distâncias muito grandes (milhares ou mesmo milhões de anos-luz) e idade apenas alguns anos no caminho, se eles viajaram em velocidades extremamente altas. Mas, tal como emigrantes de séculos passados, deixariam a terra que conhecem para sempre. Mesmo que voltassem, milhares a milhões de anos teriam passado sobre a terra, destruindo a maior parte do que agora existe. Há também um obstáculo prático mais sério para viajar em tais velocidades; energias imensamente maiores do que as previstas pela física clássica seriam necessárias para alcançar tais velocidades. Isso será discutido na energia Relatavística.
Figura 4. As linhas de campo elétrico de uma partícula carregada de alta velocidade são comprimidas ao longo da direção do movimento por contração de comprimento. Isto produz um sinal diferente quando a partícula passa por uma bobina, um efeito experimentalmente verificado de contração de comprimento.por que não notamos a contração de comprimento na vida cotidiana? A distância para a Mercearia não parece depender do facto de nos deslocarmos ou não. Examinando a equação L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\, vemos que em baixas velocidades (v<<c) os comprimentos são quase iguais, o clássico expectativa. Mas a contração do comprimento é real, se não comummente experimentada. Por exemplo, uma partícula carregada, como um elétron, viajando a velocidade relativística tem linhas de campo elétrico que são comprimidas ao longo da direção do movimento como visto por um observador estacionário. (Ver Figura 4. À medida que o elétron passa por um detector, como uma bobina de fio, seu campo interage muito mais brevemente, um efeito observado em aceleradores de partículas, como o acelerador Linear de 3 km de comprimento de Stanford (SLAC). De facto, para um electrão que viaja pelo cano do feixe em SLAC, o acelerador e a terra estão todos a mover-se e a comprimir-se. O efeito relativístico é tão grande que o acelerador tem apenas 0,5 m de comprimento para o elétron. Na verdade, é mais fácil colocar o feixe de elétrons no tubo, uma vez que o feixe não tem que ser tão precisamente direcionado para descer um curto tubo como seria descer um de 3 km de comprimento. Isto, mais uma vez, é uma verificação experimental da teoria da Relatividade Especial.
Verifique a sua compreensão
uma partícula está a viajar através da atmosfera terrestre a uma velocidade de 0,750 C. Para um observador ligado à terra, a distância que viaja é de 2,50 km. A que distância a partícula viaja no quadro de referência da partícula?
Solução
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\left(2.50\text{ km}\right)\sqrt{1-\frac{\left(0.750 c\right)^2}{c^2}}=1.65\text{ km}\\
Seção Resumo
- Todos os observadores concordam sobre a velocidade relativa.a distância depende do movimento do observador. Comprimento próprio L0 é a distância entre dois pontos medidos por um observador que está em repouso em relação a ambos os pontos. Observadores ligados à terra medem o comprimento adequado ao medir a distância entre dois pontos que estão estacionários em relação à Terra.
- contração do Comprimento L é o encurtamento do comprimento de um objeto em movimento em relação ao observador do quadro:
L=L_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
questões conceituais
- para quem um objeto parece maior em comprimento, um observador movendo-se com o objeto ou um observador movendo-se em relação ao objeto? Qual observador mede o comprimento adequado do objeto?efeitos relativísticos como dilatação de tempo e contração de comprimento estão presentes para carros e aviões. Porque é que estes efeitos nos parecem estranhos?suponha que um astronauta está se movendo em relação à terra a uma fração significativa da velocidade da luz. a) observa que o ritmo dos relógios abrandou? b) que variação da taxa de relógios ligados à terra é que ele vê? c) a sua nave parece-lhe encurtada? d) e a distância entre as estrelas que se encontram em linhas paralelas ao seu movimento? e) ele e um observador ligado à Terra concordam com a sua velocidade em relação à Terra?
Problemas & Exercícios
- Uma nave espacial, 200 m de comprimento, como visto a bordo, se move pela Terra no 0.970 c. Qual é o seu comprimento medido por um sistema de Terra-vinculado observador?
- quão rápido um carro esportivo de 6,0 m de comprimento tem que passar por você, a fim de que ele apareça apenas 5,5 m de comprimento?
- (a) até que ponto o múon no exemplo 1 em simultaneidade e dilatação do tempo viaja de acordo com o observador ligado à Terra? b) a que distância viaja um observador que se desloque com ele? Baseiem os vossos cálculos na sua velocidade em relação à terra e no tempo que ela vive (tempo adequado). C) verificar se estas duas distâncias estão relacionadas através da contracção do comprimento γ = 3.20.
- (A) Quanto tempo viveria o múon no exemplo 1 em simultaneidade e dilatação do tempo como observado na terra se sua velocidade fosse de 0,0500 c? b) até onde teria viajado como observado na Terra? (C) que distância é esta na moldura do muon?a) quanto tempo leva o astronauta, no exemplo 1, a viajar 4,30 L em 0,99944 c (medido pelo observador ligado à Terra)? b) Quanto tempo demora de acordo com o astronauta? (c) verifique se estas duas vezes estão relacionadas através da dilatação do tempo Com γ = 30,00, conforme indicado.a) a que velocidade um atleta teria de correr para uma corrida de 100 metros para parecer 100 metros de comprimento? b) a resposta é coerente com o facto de os efeitos relativistas serem difíceis de observar em circunstâncias normais? Explicar.resultados pouco razoáveis. (a) encontrar o valor de γ Para a seguinte situação. Um astronauta mede o comprimento de sua nave espacial a 25,0 m, enquanto um observador terrestre mede o comprimento de 100 m. b) O que é irracional sobre este resultado? c) quais as hipóteses que não são razoáveis ou inconsistentes?resultados pouco razoáveis. Uma nave espacial dirige-se directamente para a terra a uma velocidade de 0,800 C. O astronauta a bordo afirma que pode enviar um cilindro para a terra a 1,20 c em relação à Terra. a) calcular a velocidade que o colector deve ter em relação à nave espacial. b) O que é irracional sobre este resultado? c) quais as hipóteses que não são razoáveis ou inconsistentes?
glossário
comprimento próprio: L0; a distância entre dois pontos, medida por um observador que está em repouso em relação a ambos os pontos; a Terra-vinculado observadores medida de comprimento adequado ao medir a distância entre dois pontos que estão estacionário em relação à Terra
comprimento de contração: L, o encurtamento do comprimento de um objeto em movimento em relação ao observador do quadro:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
Selecionado Soluções para os Problemas & Exercícios
1. 48, 6 m
3. (a) 1,387 km = 1,39 km; (b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t}=\gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac{\Delta{t}}{\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\\
Assim, os dois times estão relacionadas quando γ = 30.00.7. (a) 0.250; (b) γ deve ser ≥ 1; (C) o observador ligado à terra deve medir um comprimento mais curto, por isso não é razoável assumir um comprimento mais longo.