Boundless Algebra

Rates of Change

funções lineares se aplicam aos problemas do mundo real que envolvem uma taxa constante.

taxa de variação

equações lineares muitas vezes incluem uma taxa de variação. Por exemplo, a taxa a que a distância muda ao longo do tempo é chamada velocidade. Se dois pontos no tempo e a distância total percorrida são conhecidos a taxa de mudança, também conhecida como declive, pode ser determinada. A partir desta informação, uma equação linear pode ser escrita e então previsões podem ser feitas a partir da equação da linha.se a unidade ou quantidade em relação à qual algo está mudando não é especificada, geralmente a taxa é por unidade de tempo. O tipo mais comum de frequência é “por unidade de tempo”, como velocidade, frequência cardíaca e fluxo. Rácios que têm um denominador não-Temporal incluem taxas de câmbio, taxas de alfabetização e campo elétrico (em volts/Metro).

na descrição das unidades de uma taxa, a palavra “Por” é usada para separar as unidades das duas medições utilizadas para calcular a taxa (por exemplo, uma frequência cardíaca é expressa “batimentos por minuto”).

taxa de variação: Aplicação no mundo Real

um atleta inicia sua prática normal para a próxima maratona durante a noite. Às 18:00 ele começa a correr e sai de casa. Às 19: 30, o atleta termina a corrida em casa e correu um total de 7,5 milhas. Qual foi a velocidade média durante a corrida?

a taxa de variação é a velocidade de sua corrida; Distância ao longo do tempo. Portanto, as duas variáveis são tempo (x) e distância (y). O primeiro ponto é na casa dele, onde o relógio lê às 18h. Esta é a hora de início, por isso vamos marcar Para 0. Portanto, o nosso primeiro ponto é (0,0) porque ele ainda não fugiu para lado nenhum. Vamos pensar no nosso tempo em horas. O segundo ponto é 1,5 horas depois, e corremos 7,5 milhas. O segundo ponto é (1.5, 7.5). A nossa velocidade (taxa de mudança) é simplesmente a inclinação da linha que liga os dois pontos. A inclinação, dada por: m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} torna-se m = \frac{7.5}{1.5}=5 milhas por hora.

exemplo: grafo a linha que ilustra a velocidade

para grafo esta linha, precisamos da ordenada em y e da inclinação para escrever a equação. O declive era de 5 milhas por hora e desde que o ponto de partida foi em (0,0), a interceptação em y é 0. Então nossa função final é y = 5x.

com esta nova função, podemos agora responder a mais algumas perguntas.quantos quilómetros percorreu ele após a primeira meia hora? Usando a equação, se x=\frac{1}{2}, resolver para Y. Se y=5x, então y=5(0, 5) = 2, 5 milhas.se ele continuou correndo no mesmo ritmo por um total de 3 horas, quantas milhas ele terá corrido? Se x = 3, resolver por Y. Se y=5x, então y=5 (3)=15 milhas.

Existem muitas aplicações para equações lineares. Qualquer coisa que envolva uma taxa constante de mudança pode ser bem representada com uma linha com a inclinação. Na verdade, desde que você tenha apenas dois pontos, se você sabe que a função é linear, você pode mapeá-la e começar a fazer perguntas! Certifica-te que o que estás a pedir e a grafitar faz sentido. Por exemplo, no exemplo da maratona, o domínio é realmente apenas x\geq0, uma vez que não faz sentido entrar em tempo negativo e perder milhas!

modelos matemáticos Lineares

modelos matemáticos Lineares descrevem aplicações do mundo real com linhas.

Modelos Matemáticos

Um modelo matemático é uma descrição de um sistema usando conceitos matemáticos e de idioma. Os modelos matemáticos são usados não só nas ciências naturais e disciplinas de engenharia, mas também nas ciências sociais. Modelagem Linear pode incluir mudança de população, taxas de chamadas telefônicas, o custo de alugar uma bicicleta, gerenciamento de peso, ou angariação de fundos. Um modelo linear inclui a taxa de variação (m) e a quantidade inicial, a interceptação y B. Depois que o modelo é escrito e um gráfico da linha é feito, qualquer um pode ser usado para fazer previsões sobre comportamentos.

modelo Linear da vida real

muitas atividades diárias requerem o uso de modelos matemáticos, talvez inconscientemente. Uma dificuldade com modelos matemáticos está em traduzir a aplicação do mundo real em uma representação matemática precisa.

exemplo: alugar uma carrinha móvel

uma empresa de aluguer cobra uma taxa fixa de $ 30 e um adicional de $0,25 por milha para alugar uma carrinha móvel. Write a linear equation to approximate the cost y (in dollars) in terms of x, the number of miles driven. Quanto custaria uma viagem de 75 milhas?

Usando a inclinação intercepto forma de uma equação linear, com o custo total rotulado de y (variável dependente) e o km identificados como x (variável independente):

\displaystyle y=mx+b

O custo total é igual à taxa por quilômetro vezes o número de quilômetros percorridos mais o custo para a taxa fixa:

\displaystyle y=0,25 x+30

Para calcular o custo de 75 milhas de viagem, substituto 75 x na equação:

\displaystyle \begin{align} y&=0,25 x+30\\ &&=18.75+de 30\\ &=48.75 \end{align}

a vida Real Modelo com Várias Equações

também É possível modelo de múltiplas linhas e de suas equações.

exemplo

inicialmente, os comboios A E B estão a 325 milhas um do outro. O comboio A está a viajar para B a 80 milhas por hora e o comboio B está a viajar para a a 80 milhas por hora. A que horas se encontram os dois comboios? Nesta altura, até onde é que os comboios viajavam?

primeiro, comece com as posições iniciais dos trens, (y-intercepts, b). O início do comboio A é a origem (0,0). Uma vez que o comboio B está inicialmente a 325 milhas do comboio a, a sua posição é (0,325).

Em segundo lugar, a fim de escrever as equações que representam a distância total de cada comboio em termos de tempo, calcular a taxa de variação para cada comboio. Uma vez que o trem A está viajando para o trem B, que tem um valor y maior, a taxa de mudança do trem A deve ser positiva e igual à sua velocidade de 50. O trem B está viajando em direção A, que tem um valor y menor, dando A B uma taxa de variação negativa: -80.

As duas linhas são assim:

\displaystyle y_A=50x\\

E

\displaystyle y_B=−80x+325

Os dois trens se vai encontrar, onde as duas linhas se cruzam. Para localizar onde as duas linhas se cruzam conjunto de equações igual ao outro e resolver para x:

\displaystyle y_{A}=y_{B}

\displaystyle 50x=-80x+325

a Solução para os x oferece:

\displaystyle x=2.5

Os dois trens se encontrar depois de 2,5 horas. Para descobrir onde isso está, plug 2.5 em qualquer equação.

ligá-lo à primeira equação dá-nos 50(2.5)=125, o que significa que ele se encontra depois de uma viagem de 125 milhas.

Aqui é a distância versus tempo o modelo gráfico dos dois trens:

encaixar uma curva

encaixar uma curva com uma linha tenta desenhar uma linha de modo que “se encaixe melhor” todos os dados.

ajuste de Curva

o ajuste da Curva é o processo de construção de uma curva ou função matemática, que tem o melhor ajuste para uma série de pontos de dados, possivelmente sujeitos a restrições. Ajuste de curva pode envolver tanto interpolação, onde um ajuste exato para os dados é necessário, ou suavização, em que uma função “suave” é construída que se encaixa aproximadamente aos dados. Curvas ajustadas podem ser usadas como uma ajuda para visualização de dados, para inferir valores de uma função onde não existem dados disponíveis, e para resumir as relações entre duas ou mais variáveis. A extrapolação refere-se à utilização de uma curva ajustada para além da Gama dos dados observados e está sujeita a um maior grau de incerteza, uma vez que pode reflectir o método utilizado para construir a curva tanto quanto reflecte os dados observados.

nesta seção, nós estaremos apenas ajustando linhas aos pontos de dados, mas deve-se notar que se pode ajustar funções polinomiais, círculos, funções de peça, e qualquer número de funções aos dados e é um tópico fortemente usado nas estatísticas.

de Regressão Linear Fórmula

a regressão Linear é uma abordagem para a modelagem da relação linear entre uma variável dependente y e uma variável independente, x. Com a regressão linear, uma linha de inclinação-intercepto forma, y=mx+b é encontrado que “melhor se encaixa” os dados.

o modelo de regressão linear mais simples e talvez mais comum é a aproximação dos mínimos quadrados ordinários. Esta aproximação tenta minimizar as somas da distância ao quadrado entre a linha e cada ponto.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

Para encontrar a inclinação da linha de melhor ajuste, calcular as seguintes etapas:

1. A soma do produto das coordenadas x e y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. a soma das coordenadas x \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. a soma das coordenadas y \sum_{j=1}^{n}y_{j}.
4. a soma dos quadrados das coordenadas x \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}).
5. a soma das coordenadas X ao quadrado (\sum_ {i = 1}^{n}x_{i})^{2}.
6. o quociente do numerador e denominador.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \left (\bar{y} – m \bar{x} \right) \end{align}

Para encontrar a intercepção de y (b), calcular usando as seguintes etapas:

1. A média de y-coordenadas. Deixe \bar{y}, barra-y pronunciada, representar o valor médio (ou médio) y de todos os pontos de dados: \bar y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i}.
2. A média das coordenadas X. Respectivamente \bar{x}, x-bar pronunciado, é o valor x médio (ou médio) de todos os pontos de dados: \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
3. substitua os valores pela fórmula acima b = \bar{y} – m \bar{x}.

usando estes valores de M E b Agora temos uma linha que se aproxima dos pontos no gráfico.

exemplo: escreva a linha de ajuste dos mínimos quadrados e depois grafo a linha que melhor se adapta aos dados

Para n = 8 pontos: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) e (6,4).

Primeiro, encontrar o declive (m) e intercepto de y (b) a que melhor se aproxima desse dados, utilizando-se as equações a partir da secção anterior:

Para encontrar a inclinação, calcular:

1. A soma do produto das coordenadas x e y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. a soma das coordenadas x \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. a soma das coordenadas y \sum_{i=1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \end{align}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Calcular o numerador: O produto de a x
e coordenadas y
menos de um oitavo o produto da soma das coordenadas x e a soma das coordenadas y:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

O numerador na inclinação da equação é:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Calcular o denominador: O
soma dos quadrados dos x-coordenadas menos de um oitavo a soma das coordenadas x-squared:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})&&=92 \end{align}

O denominador é 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 a inclinação é o quociente entre o numerador e o denominador: \frac{23.25}{42}\approx0.554.

agora para a intercepção em y, (b) um oitavo vezes a média das coordenadas x: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 e um oitavo vezes a média das coordenadas y: \bar{y}=\frac{13.5}{8} = 1,6875.

Portanto, b=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\:

\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

nossa equação final é, portanto, y = 0.554 x+0.3025, e esta linha é graficada junto com os pontos.

Outliers and Least Square Regression

Se tivermos um ponto que está longe da linha aproximada, então ele desviará os resultados e tornará a linha muito pior. Por exemplo, digamos em nosso exemplo original, em vez do ponto (-1,0) temos (-1,6).

Usando os mesmos cálculos acima com o novo ponto, os resultados são:m\approx0.0536 e b\approx2.3035, para obter a nova equação y=0.0536 x+2.3035.

olhando para os pontos e linha na nova figura abaixo, esta nova linha não se encaixa bem com os dados, devido ao outlier (-1,6). Na verdade, tentar encaixar modelos lineares em dados que são quadráticos, cúbicos, ou qualquer coisa não-linear, ou dados com muitos anómalos ou erros podem resultar em aproximações ruins.