There is a special type of system which requires additional study. Este tipo de sistema é chamado de sistema homogêneo de equações, que definimos acima na definição . Nosso foco nesta seção é considerar que tipos de soluções são possíveis para um sistema homogêneo de equações.
considere a seguinte definição.
definição \(\PageIndex{1}\): Solução Trivial
considere o sistema homogêneo de equações dadas por \ Then, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) é sempre uma solução para este sistema. Chamamos a isto a solução trivial .
Se o sistema tem uma solução na qual nem todos os \(x_1, \cdots, x_n\) são iguais a zero, então chamamos esta solução não trivial . A solução trivial não nos diz muito sobre o sistema, pois diz que \(0=0\)! Portanto, ao trabalhar com sistemas homogêneos de equações, queremos saber quando o sistema tem uma solução não trivial.
suponha que temos um sistema homogêneo de equações \(m\), usando variáveis \(n\), e suponha que \(n > m\). Em outras palavras, há mais variáveis do que equações. Em seguida, acontece que este sistema sempre tem uma solução não trivial. Não só o sistema terá uma solução não trivial, mas também terá infinitamente muitas soluções. Também é possível, mas não é necessário, ter uma solução não trivial se \(n=m\) e \(n<m\).
considere o seguinte exemplo.
exemplo \(\PageIndex{1}\): Soluções para um Sistema Homogêneo de Equações
Encontrar as soluções não-triviais para o seguinte sistema homogêneo de equações \
Solução
Observe que este sistema tem \(m = 2\) equações e \(n = 3\) variáveis, então \(n>m\). Portanto, pela nossa discussão anterior, esperamos que este sistema tenha infinitas soluções.
o processo que usamos para encontrar as soluções para um sistema homogêneo de equações é o mesmo processo que usamos na seção anterior. Primeiro, construímos a matriz aumentada, dada por\\] Então, carregamos esta matriz para a sua, dada abaixo. \\] O sistema correspondente de equações é \ uma vez que \(z\) não é contido por qualquer equação, sabemos que esta variável se tornará o nosso parâmetro. Deixe \(z=t\) onde \(t\) é qualquer número. Portanto, a nossa solução tem a forma \ Portanto, este sistema tem infinitamente muitas soluções, com um parâmetro \(t\).
suponha que deveríamos escrever a solução para o exemplo anterior em outra forma. Especificamente, \ pode ser escrito como \ = \ left + t \left\] Notice that we have constructed a column from the constants in the solution (all equal to \(0\)), as well as a column corresponding to the coefficients on \(t\) in each equation. Enquanto vamos discutir esta forma de solução mais em capítulos adicionais, por agora considere a coluna de coeficientes do parâmetro \(t\). Neste caso, esta é a coluna \(\esquerda\).
Existe um nome especial para esta coluna, que é a solução básica. As soluções básicas de um sistema são colunas construídas a partir dos coeficientes sobre parâmetros na solução. Muitas vezes denotamos soluções básicas por \(X_1, X_2\) etc., dependendo de quantas soluções ocorrem. Como tal, o exemplo tem a solução básica \(X_1 = \left\).
exploramos isso mais adiante no seguinte exemplo.
exemplo \(\PageIndex{1}\): soluções básicas de um sistema homogéneo
considere o seguinte sistema homogéneo de equações. \ Encontre as soluções básicas para este sistema.
solução
a matriz aumentada deste sistema e os resultados são \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] quando escrito em equações, este sistema é dado por \ Notice que apenas \(x\) corresponde a uma coluna pivot. Neste caso, teremos dois parâmetros, um para \(y\) e outro para \(z\). Seja \(y = s\) e \(z=T\) para quaisquer números \(s\) e \(t\). Então, a nossa solução torna-se \ que pode ser escrita como \ = \esquerda + s \esquerda + t \esquerda\] você pode ver aqui que temos duas colunas de coeficientes correspondentes a parâmetros, especificamente um para \(S\) e um para \(t\). Portanto, este sistema tem duas soluções básicas! Estes são\, X_2 = \left\]
agora apresentamos uma nova definição.
definição \(\PageIndex{1}\): combinação Linear
Let \(X_1,\cdots ,X_n,V\) ser matrizes de coluna. Então \(V\) é dito ser uma combinação linear das colunas \(X_1,\cdots , X_n\) se existem escalares, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) tal que \
Um resultado notável desta seção é que uma combinação linear das soluções básicas é novamente uma solução para o sistema. Ainda mais notável é que cada solução pode ser escrita como uma combinação linear dessas soluções. Por conseguinte , se tomarmos como exemplo uma combinação linear das duas soluções, esta seria também uma solução. Por exemplo, podemos levar a seguinte combinação linear
\ + 2 \esquerda = \esquerda\] você deve ter um momento para verificar que \ = \Esquerda\]
é de fato uma solução para o sistema, por exemplo .
outra forma pela qual podemos descobrir mais informações sobre as soluções de um sistema homogêneo é considerar a classificação da matriz de coeficiente associada. Nós agora definimos o que se entende por rank de uma matriz.
definição \(\PageIndex{1}\): Rank de uma matriz
Let \(a\) be a matrix and consider any of \(a\). Em seguida, o número \(r\) de entradas principais de \(a\) não depende do que você escolher, e é chamado o rank de \(a\). Nós a denotamos por posição (\(a\)).
similarmente, poderíamos contar o número de posições pivot (ou colunas pivot) para determinar a posição de \(a\).
exemplo \(\PageIndex{1}\): Encontrar a posição de uma matriz
considere a matriz \\] Qual é a sua posição?
solução
primeiro, precisamos encontrar o de \(a\). Através do algoritmo habitual, descobrimos que isto é \\] aqui temos duas entradas principais, ou duas posições pivot, mostradas acima em caixas.O valor de \(A\) é \(r = 2.\)
Notice that we would have achieved the same answer if we had found the of \(a\) instead of the .
suponha que temos um sistema homogêneo de equações \(m\) em variáveis \(n\), e suponha que \(n > m\). A partir de nossa discussão acima, sabemos que este sistema terá infinitamente muitas soluções. Se considerarmos a classificação da matriz coeficiente deste sistema, podemos descobrir ainda mais sobre a solução. Note que estamos olhando apenas para a matriz do coeficiente, não para toda a matriz aumentada.
Teorema \(\PageIndex{1}\): Rank e soluções para um sistema homogéneo
Let \(a\) be the \(M \times n\) coefficient matrix corresponding to a homogeneous system of equations, and suppose \(a\) has rank \(r\). Então, a solução para o sistema correspondente tem Parâmetros \(n-r\).
considere nosso exemplo acima no contexto deste teorema. O sistema neste exemplo tem equações \(m = 2\) em variáveis \(n = 3\). Primeiro, porque \(n>m\), sabemos que o sistema tem uma solução não trivial e, portanto, infinitamente muitas soluções. Isto nos diz que a solução conterá pelo menos um parâmetro. A classificação da matriz coeficiente pode nos dizer ainda mais sobre a solução! O rank da matriz do coeficiente do sistema é \(1\), uma vez que tem uma entrada principal. O teorema nos diz que a solução terá Parâmetros \(n-r = 3-1 = 2\). Você pode verificar se isso é verdade na solução para o exemplo .
Observe que se \(n=m\) ou \(n<m\), é possível ter uma única solução (que será a solução trivial) ou um número infinito de soluções.não estamos limitados a sistemas homogêneos de equações aqui. O rank de uma matriz pode ser usado para aprender sobre as soluções de qualquer sistema de equações lineares. Na seção anterior, discutimos que um sistema de equações não pode ter solução, uma solução única, ou infinitamente muitas soluções. Suponha que o sistema é consistente, seja homogêneo ou não. O seguinte teorema nos diz como podemos usar o rank para aprender sobre o tipo de solução que temos.
o Teorema de \(\PageIndex{1}\): Classificação e Soluções para um Sistema Consistente de Equações
Deixe \(A\) ser o \(m \times \left( n+1 \right)\) matriz aumentada correspondente a um sistema consistente de equações em \(n\) variáveis, e suponha que \(A\) tem rank \(r\). Em seguida,
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o sistema tem uma única solução se \(r = n\)
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o sistema tem infinitas soluções se \(r < n\)
Nós não vamos apresentar uma prova formal, mas considere o seguinte discussões.
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nenhuma solução o teorema acima assume que o sistema é consistente, ou seja, que tem uma solução. Acontece que é possível para a matriz aumentada de um sistema sem solução ter qualquer rank \(R\) desde que \(R>1\). Portanto, devemos saber que o sistema é consistente para usar este teorema!
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solução única suponha \(r=n\). Então, há uma posição pivot em cada coluna da matriz do coeficiente de \(a\). Assim, há uma solução única.
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infinitamente muitas soluções supõem \(r <n\). Então há infinitamente muitas soluções. Há menos posições de pivô (e, portanto, menos entradas iniciais) do que colunas, o que significa que nem todas as colunas são uma coluna de pivô. As colunas que são \(não\) colunas pivot correspondem aos parâmetros. Na verdade, neste caso temos Parâmetros \(n-r\).