Znajdź źródła: „Prawo przemieszczenia Wiena” – Aktualności · gazety · książki · scholar · JSTOR (październik 2019) (dowiedz się, jak i kiedy usunąć ten Komunikat szablonu)
prawo Plancka dla widma promieniowania ciała czarnego przewiduje prawo przemieszczenia Wiena i może być użyte do numerycznej oceny stałej odnoszącej się do temperatury i wartości szczytowej parametru dla dowolnej konkretnej parametryzacji. Zwykle stosuje się parametryzację długości fali i w tym przypadku promieniowanie widmowe ciała czarnego ( moc na obszar emisji na kąt bryłowy) wynosi:
u λ (λ , T ) = 2 H C 2 λ 5 1 e h c / λ K T − 1 . {\displaystyle u_ {\lambda } (\lambda ,T)={2HC^{2} \ over \lambda ^{5}} {1 \ over e^{hc / \lambda kT}-1}.}
różnicowanie u (λ, T)względem λ i ustawienie pochodnej równej zeru daje:
∂ U λ λ = 2 H C 2 h c k t λ 7 e h c / λ k t ( e h c / λ k t − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 e h c / λ k t − 1 ) = 0 , {\niż podano w standardzie {\partial u \over \partial \lambda }=2HC^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{HC/\lambda kt} \over \left(e^{HC/\lambda kt}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{HC/\lambda kT}-1}\right)=0,}
co można uprościć dając:
h c λ k t e h c / λ k t e h c / λ K T T-1-5 = 0. {\displaystyle {hc \ over \ lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \ over e^{hc/\lambda kt}-1}-5=0.}
definiując:
x ≡ h c λ k t , {\displaystyle X\equiv {hc \over \lambda kt},}
równanie staje się jedno w pojedynczej zmiennej x:
X e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ over E^{x}-1}-5=0.}
co jest równoważne:
( x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5)E^{x}+5=0.}
to równanie można łatwo rozwiązać numerycznie za pomocą metody Newtona, uzyskując x = 4.965114231744276303… do podwójnej precyzji dokładności zmiennoprzecinkowej. Rozwiązując dla długości fali λ w milimetrach i używając kelwinów dla temperatury daje:
λpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.
parametryzacja częstotliwościedit
inną popularną parametryzacją jest częstotliwość. Pochodna dająca wartość parametru szczytowego jest podobna, ale zaczyna się od postaci prawa Plancka jako funkcji częstotliwości ν:
u ν (ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e H ν / k T − 1 . {\displaystyle u_{\nu} (\nu ,T)={2h\nu ^{3} \ over C^{2}}{1 \ over E^{h\nu /kT}-1}.}
poprzedni proces z wykorzystaniem tego równania daje:
– h ν k t e h ν / k T e H ν / K T-1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h\nu \over kt}{e^{h\nu / kT} \ over E^{h\nu /kT}-1}+3=0.}
wynik netto to:
(x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3)E^{x}+3=0.}
jest to podobnie rozwiązane metodą Newtona, dającą x = 2.821439372122078893… do podwójnej precyzji dokładności zmiennoprzecinkowej. Rozwiązanie analityczne można otrzymać za pomocą funkcji Lamberta w
x = 3 + w ( 0 , − 3 e − 3 ) {\displaystyle x=3+w(0,-3e^{-3})}
rozwiązanie dla ν daje:
vpeak = xkT / H = (0.05878925757646824946… THz K−1) · T.
Maksima różni się w zależności od parametryzacjiedit
zauważ, że dla danej temperatury parametryzacja według częstotliwości oznacza inną maksymalną długość fali niż parametryzacja według długości fali.
na przykład, stosując t = 6000 K i parametryzację według długości fali, długość fali dla maksymalnego promieniowania widmowego wynosi λ = 482,962 nm z odpowiednią częstotliwością ν = 620,737 THz. Dla tej samej temperatury, ale parametryzując częstotliwością, częstotliwość dla maksymalnego promieniowania widmowego wynosi ν = 352,735 THz z odpowiednią długością fali λ = 849,907 nm.
funkcje te są funkcjami gęstości promieniowania, które są funkcjami gęstości prawdopodobieństwa skalowanymi tak, aby dać jednostki promieniowania. Funkcja gęstości ma różne kształty dla różnych parametryzacji, w zależności od względnego rozciągania lub ściskania abscyssy, która mierzy zmianę gęstości prawdopodobieństwa względem zmiany liniowej w danym parametrze. Ponieważ długość fali i częstotliwość mają wzajemną zależność, reprezentują one znacznie nieliniowe przesunięcia gęstości prawdopodobieństwa względem siebie.
promień całkowity jest całką rozkładu na wszystkie wartości dodatnie i jest niezmiennikiem dla danej temperatury przy dowolnej parametryzacji. Dodatkowo, dla danej temperatury Radiancja składająca się ze wszystkich fotonów pomiędzy dwoma długościami fal musi być taka sama, niezależnie od tego, jakiego rozkładu używasz. Oznacza to, że całkowanie rozkładu długości fali od λ1 do λ2 da taką samą wartość jak całkowanie rozkładu częstotliwości między dwiema częstotliwościami, które odpowiadają λ1 i λ2, a mianowicie od C/λ2 do C/λ1. Jednak kształt rozkładu zależy od parametryzacji, a dla innej parametryzacji rozkład będzie zwykle miał inną gęstość szczytową, Jak pokazują te obliczenia.
wykorzystując wartość 4 do rozwiązania równania implicit daje pik w funkcji gęstości widma promieniowania wyrażonej w parametrze radiance na proporcjonalną szerokość pasma. Jest to być może bardziej intuicyjny sposób prezentacji „długości fali szczytowej emisji”. Daje to x = 3.920690394872886343… do podwójnej precyzji dokładności zmiennoprzecinkowej.
ważnym punktem prawa Wiena jest jednak to, że każdy taki znacznik długości fali, w tym mediana długości fali (lub alternatywnie długość fali, poniżej której występuje określony procent emisji), jest proporcjonalny do odwrotności temperatury. Oznacza to, że kształt rozkładu dla danej parametryzacji skaluje się i przekłada zgodnie z temperaturą i może być obliczony raz dla temperatury kanonicznej, a następnie odpowiednio przesunięty i skalowany, aby uzyskać rozkład dla innej temperatury. Jest to konsekwencja mocnego stwierdzenia prawa Wiena.