Wiskunde voor de vrije Kunsten Corequisite

De Evolutie van een Systeem

ons eigen getallenstelsel, samengesteld uit de tien symbolen {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} wordt het Hindoe-Arabische systeem genoemd. Dit is een base-ten (decimaal) systeem aangezien plaatswaarden toenemen met bevoegdheden van tien. Bovendien is dit systeem positioneel, wat betekent dat de positie van een symbool invloed heeft op de waarde van dat symbool binnen het getal. Bijvoorbeeld, de positie van het symbool 3 in het getal 435.681 geeft het een waarde die veel groter is dan de waarde van het symbool 8 in datzelfde getal. We zullen de basissystemen later grondiger onderzoeken. De ontwikkeling van deze tien symbolen en het gebruik ervan in een positioneel systeem komt voornamelijk uit India.

Figuur 10. Al-Biruni

Het was pas in de vijftiende eeuw dat de symbolen die we vandaag kennen voor het eerst vorm kregen in Europa. Echter, de geschiedenis van deze getallen en hun ontwikkeling gaat honderden jaren terug. Een belangrijke bron van informatie over dit onderwerp is de schrijver al-Biruni, wiens afbeelding is weergegeven in Figuur 10. Al-Biruni, geboren in het hedendaagse Oezbekistan, had verschillende malen India bezocht en opmerkingen gemaakt over het Indiase nummersysteem. Als we kijken naar de oorsprong van de getallen die al-Biruni tegenkwam, moeten we terug naar de derde eeuw v.Chr. om hun oorsprong te onderzoeken. Het is toen dat de Brahmi cijfers werden gebruikt.

De Brahmi cijfers waren ingewikkelder dan die gebruikt worden in ons eigen moderne systeem. Ze hadden aparte symbolen voor de nummers 1 tot en met 9, evenals verschillende symbolen voor 10, 100, 1000,…, ook voor 20, 30, 40,…, en anderen voor 200, 300, 400, …, 900. De Brahmi symbolen voor 1, 2 en 3 zijn hieronder weergegeven.

Deze cijfers werden gebruikt tot aan de vierde eeuw na Christus, met variaties in tijd en geografische locatie. Bijvoorbeeld, in de eerste eeuw nam een bepaalde verzameling Brahmi-cijfers de volgende vorm aan:

vanaf de vierde eeuw kunt u verschillende paden volgen die de Brahmi-cijfers namen om naar verschillende punten en incarnaties te komen. Een van die paden leidde naar ons huidige cijfersysteem, en ging door wat de Gupta-cijfers worden genoemd. De Gupta cijfers waren prominent tijdens een tijd geregeerd door de Gupta-dynastie en werden verspreid over dat rijk als ze veroverden landen tijdens de vierde tot en met de zesde eeuw. Ze hebben de volgende vorm:

hoe de getallen in hun Gupta-vorm zijn gekomen, staat open voor veel discussie. Er zijn veel mogelijke hypothesen aangeboden, waarvan de meeste neer komen op twee basistypen. Het eerste type hypothese stelt dat de cijfers afkomstig zijn van de beginletters van de namen van de nummers. Dit is niet ongewoon . . . de Griekse cijfers ontwikkelden zich op deze manier. Het tweede type hypothese stelt dat ze werden afgeleid van een eerder getalsysteem. Echter, er zijn andere hypothesen die worden aangeboden, een van die is door de onderzoeker Ifrah. Zijn theorie is dat er oorspronkelijk negen cijfers waren, elk vertegenwoordigd door een overeenkomstig aantal verticale lijnen. Een mogelijkheid is dit:

omdat deze symbolen veel tijd zouden hebben gekost om te schrijven, evolueerden ze uiteindelijk tot cursieve symbolen die sneller geschreven konden worden. Als we deze vergelijken met de Gupta-cijfers hierboven, kunnen we proberen te zien hoe dat evolutionaire proces heeft plaatsgevonden, maar onze verbeelding zou zowat alles zijn waar we op moeten vertrouwen omdat we niet precies weten hoe het proces zich ontvouwde.

De Gupta-cijfers evolueerden uiteindelijk tot een andere vorm van cijfers, de Nagari-cijfers, en deze bleven evolueren tot de elfde eeuw, toen ze er zo uitzagen:

merk op dat tegen die tijd het symbool voor 0 is verschenen! De Maya ’s in de Amerika’ s hadden echter lang daarvoor een symbool voor nul, zoals we later in het hoofdstuk zullen zien.

Deze cijfers werden aangenomen door de Arabieren, waarschijnlijk in de achtste eeuw tijdens Islamitische invallen in het noorden van India. Er wordt aangenomen dat de Arabieren waren instrumenteel in het verspreiden van hen naar andere delen van de wereld, met inbegrip van Spanje (zie hieronder).

andere voorbeelden van variaties tot de elfde eeuw zijn:

Figuur 11. Devangari, eighth century

Figuur 12. West-Arabische Gobar, tiende eeuw

Figuur 13. Spanje, 976 v. Chr.

ten slotte toont figuur 14 verschillende vormen van deze cijfers zoals ze zich ontwikkelden en uiteindelijk convergeerden naar de vijftiende eeuw in Europa.

Figuur 14.

Romeinse cijfers

het numerieke systeem vertegenwoordigd door Romeinse cijfers ontstond in het oude Rome (753 v. Chr.–476 n. CHR.) en bleef de gebruikelijke manier van het schrijven van getallen in heel Europa tot ver in de Late Middeleeuwen (over het algemeen de 14e en 15e eeuw (ca. 1301-1500)). Getallen in dit systeem worden weergegeven door combinaties van letters uit het Latijnse alfabet. Romeinse cijfers, zoals die tegenwoordig gebruikt worden, zijn gebaseerd op zeven symbolen:

Het gebruik van Romeinse cijfers bleef lang na de ondergang van het Romeinse Rijk. Vanaf de 14e eeuw begonnen Romeinse cijfers in de meeste contexten te worden vervangen door de handigere Hindoe-Arabische cijfers; dit proces was echter geleidelijk, en het gebruik van Romeinse cijfers blijft bestaan in sommige kleine toepassingen tot op de dag van vandaag.

De getallen 1 tot en met 10 worden meestal als volgt uitgedrukt in Romeinse cijfers:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

getallen worden gevormd door symbolen te combineren en de waarden op te tellen, dus II is twee (twee enen) en XIII is dertien (een tien en drie enen). Omdat elk cijfer een vaste waarde heeft in plaats van veelvouden van tien, honderd enzovoort, afhankelijk van de positie, is er geen noodzaak voor “plaats houden” nullen, zoals in getallen als 207 of 1066; deze getallen worden geschreven als CCVII (twee Honderden, een vijf en twee enen) en MLXVI (duizend, een vijftig, een tien, een vijf en een).

symbolen worden van links naar rechts geplaatst in volgorde van waarde, beginnend met de grootste. Echter, in een paar specifieke gevallen, om te voorkomen dat vier tekens achter elkaar worden herhaald (zoals IIII of XXXX), wordt subtractieve notatie gebruikt: zoals in deze tabel:

In summary:

• ik geplaatst voor de V of X geeft een minder, dus vier is IV (één minder dan vijf) en een negen IX (één minder dan tien)
• X geplaatst voor L of C geeft tien minder, dus veertig is XL (tien minder dan vijftig en negentig is XC (tien minder dan honderd)
• C geplaatst voor D of M geeft een honderd minder, dus vier honderd CD (honderd minder dan vijf honderd) en negen honderd CM (honderd minder dan een duizend)

Voorbeeld

Schrijf de Hindoe-arabische cijfers voor MCMIV.

Toon oplossing

duizend negenhonderdvier, 1904 (M is duizend, CM is negenhonderdvier)

probeer het

Modern gebruik

in de 11e eeuw, Hindoe–Arabische cijfers was ingevoerd in Europa van Al-Andalus, door middel van Arabische handelaren en rekenkundige verhandelingen. Romeinse cijfers bleken echter zeer hardnekkig en bleven in het westen tot ver in de 14e en 15de eeuw algemeen gebruikt, zelfs in boekhoudkundige en andere bedrijfsregisters (waar de werkelijke berekeningen zouden zijn gemaakt met behulp van een telraam). Vervanging door hun meer handige “Arabische” equivalenten was vrij geleidelijk, en Romeinse cijfers worden nog steeds gebruikt in bepaalde contexten. Een paar voorbeelden van hun huidige gebruik zijn:

Spaanse echte met “IIII” in plaats van IV

• namen van monarchen en pausen, bijvoorbeeld Elizabeth II van het Verenigd Koninkrijk, Paus Benedictus XVI. deze worden aangeduid als vorstelijke getallen; b.v. II wordt uitgesproken als “de tweede”. Deze traditie begon in Europa sporadisch in de Middeleeuwen en werd pas in Engeland wijdverbreid tijdens het bewind van Hendrik VIII. Voorheen was de monarch niet gekend door cijfer, maar door een epitet zoals Eduard de Belijder. Sommige vorsten (bijvoorbeeld Karel IV van Spanje en Lodewijk XIV van Frankrijk) lijken de voorkeur te hebben gegeven aan het gebruik van IIII in plaats van IV op hun munten (zie afbeelding hierboven).
• generationele achtervoegsels, vooral in de VS, voor mensen met dezelfde naam over generaties heen, bijvoorbeeld William Howard Taft IV.in de Franse republikeinse kalender, geïnitieerd tijdens de Franse Revolutie, werden jaren genummerd door Romeinse cijfers – van het jaar I (1792) toen deze kalender werd ingevoerd tot het jaar XIV (1805) toen deze werd verlaten.het jaar van productie van films, televisieprogramma ‘ s en andere kunstwerken binnen het werk zelf. Er is gesuggereerd – door BBC News, misschien grappig – dat dit oorspronkelijk werd gedaan “in een poging om de leeftijd van films of televisieprogramma’ s te verhullen.”Externe verwijzing naar het werk zal regelmatig Hindoe–Arabische cijfers gebruiken.
• uurmarkeringen op uurwerken. In deze context wordt 4 meestal geschreven IIII.
• het bouwjaar op pijlers en hoekstenen van gebouwen.
• paginanummering van voorwoorden en introducties van boeken, en soms ook van bijlagen.
• boek volume en hoofdstuk nummers, evenals de verschillende acts in een toneelstuk (bijvoorbeeld Act iii, scène 2).
• vervolgfilms van sommige films, videospellen en andere werken (zoals in Rocky II).
• geeft aan dat getallen worden gebruikt om hiërarchische relaties weer te geven.
• voorvallen van een terugkerende grote gebeurtenis, bijvoorbeeld:de zomer – en winterspelen (bijvoorbeeld de XXI Olympische Winterspelen; de Spelen van de XXX olympiade) de Super Bowl, de jaarlijkse kampioenschapswedstrijd van de National Football League (bijvoorbeeld Super Bowl XXXVII; Super Bowl 50 is een eenmalige uitzondering) WrestleMania, het jaarlijkse professioneel worstelevenement voor de WWE (bijvoorbeeld WrestleMania XXX). Dit gebruik is ook inconsistent geweest.

1. ↵
2. ibid. IB
3. Ibid. IB
4. Ibid. IB
5. Ibid.
6. Katz, page 230> Burton, David M., History of Mathematics, An Introduction, p. 254-255
7. Katz, page 231. ↵