onlangs dacht ik aan verschillende rechtvaardigingen voor de definitie van 0! (faculteit van nul) wat
$ $ 0 is!=1$$
de veronderstelde waarde van 1 kan vrij duidelijk lijken als je de recursieve formule beschouwt. Echter, het stelde me niet tevreden “wiskundig”. Daarom heb ik besloten om deze paar zinnen te schrijven. Ik zal motivaties geven voor de minder gevorderde, maar er zullen ook motivaties zijn voor iets meer insiders.
fac faculteit in scalaire Calculator
⭐ ️ faculteit en herhaling
voor geheel getal n > 0 faculteit wordt als volgt gedefinieerd
$$n!=n \ times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1$$
met gemak kunt u zien dat onderstaande recursieve formule
$$n volgt!=n \ keer (n-1)!$$
$$1!=1$$
⭐ ️ 0! = 1 – motivatie gebaseerd op herhaling
kleine transformatie van
$$n!=n \ keer (n-1)!$$
geeft
$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$$
vervangt n = 1
$$(1-1)!= \ frac{1!}{1}$$
$ $ 0!=1!=1$$
deze uitleg, hoewel eenvoudig, biedt (naar mijn mening) niet diep genoeg begrip van “waarom dit de beste optie zou moeten zijn”.
fac faculteit n! telt het mogelijk verschillende sequenties van n verschillende objecten (permutaties)
Laten we aannemen dat we een set met n elementen
$$\{1,2,\ldots,\n\}$$
laten we Nu tellen mogelijke ordening van de elementen is deze set
- n manieren van selecteren van het eerste element (want we hebben de hele set beschikbaar)
- n-1 manieren van selecteren tweede element (omdat de eerste al was geselecteerd, zijn er n-1 links)
- n-2 manieren van selecteren van het derde element (omdat de twee werden geselecteerd, zijn er n-2 links)
- …
- n- (k-1) manieren van het selecteren van een element nummer k (omdat de k-1 al geselecteerd was, blijft n- (k-1))
- 2 manieren om elementnummer n-1 te selecteren (omdat de n-2 geselecteerd waren, blijven er nog 2 over)
- 1 manier om elementnummer n te selecteren (omdat de n-1 geselecteerd waren, bleef er slechts één)
uiteindelijk, alle mogelijke manieren meegerekend, krijgen we
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \maal 2\maal 1=n!$ $
conclusie: Faculteit van n telt het aantal permutatie van een verzameling die n elementen bevat.
⭐ ️ k-permutaties van n soms partiële permutaties of variaties
De K-permutaties van n zijn de verschillende geordende arrangementen van een K-element subset van een n-verzameling. Het aantal van dergelijke k-permutaties van n is
$$P_k^n = n \ times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!{(n-k)!}$$
Het is gemakkelijk te zien dat n-permutatie van n een permutatie is, dus
$$P_n^n=n!$$
$ $ n! = \ frac{n!{(n-n)!} = \ frac{n!}{0!} $$
het volgende inzicht waarom 0!=1 is de juiste definitie komt uit dat voor elke n > 0 we zouden
$$0 moeten hebben! \keer n! = n!$ $
⭐ ️ functie als een set mapping
functie
$ $f:A\to B$$
functie f: A → B, waar voor elke A ∈ A f(A) = b ∈ B is, definieert de relatie tussen elementen A en b. We kunnen zeggen dat de elementen A ∈ A en b ∈ B in relatie “f” zijn dan en alleen dan als f(a) = b.
⭐ ️ functie als een subset van het Cartesisch product
functie is een binaire relatie, wat betekent dat functie kan worden uitgedrukt als een subset van een Cartesisch product.
$$(a,b)\In F \subseteq a\times B \iff f(a)=b$$
⭐ ️ injectieve functie
injectiefunctie is een functie die onderscheidbaarheid behoudt: het koppelt nooit verschillende elementen van zijn domein aan hetzelfde element van zijn codomein. Shortly
$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$
⭐ ️ surjectieve functie
a functie f is surjectief (of op) als voor elk element B in Codomein, er minstens één element a in het domein zodanig is dat f(a)=b . Het is niet vereist dat x uniek is.
$$f:A\B$$
$${\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in A}\quad}f(a)=b$$
⭐️ Bijective functie
Bijective functie, of één-op-één correspondentie, is een functie waarbij elk element van een set is gekoppeld aan exact één element van de andere set, en elk element van de andere set wordt gecombineerd met precies één element van de eerste set. Er zijn geen ongepaarde elementen.
In wiskundige termen, een bijective functie is zowel injective en surjective toewijzing van een verzameling a naar een set B.
⭐️ Bijective functie vs Permutatie
Permutatie is een functie retourneert de bestelling van een set, d.w.z. als we rekening houden met het n-de element verzameling {1, 2, …, n}, dan permutatie zal een functie
$$p:\{1, 2, …, n\}\to\{1, 2, …, n\}$$
aan de bijective functie staat.
door te vragen naar het aantal permutaties kunnen we ook vragen naar het aantal verschillende bijcties van een bepaalde set in zichzelf.
⭐ ️ lege functie
een lege functie is elke functie waarvan het domein een lege verzameling is.
$$f:\emptyset\to B$$
de lege functie “chart” is een lege verzameling, omdat het Cartesiaanse product van domein en codomein leeg is.
$$\emptyset\times B = \emptyset$$
de lege functie behoudt onderscheidbaarheid (is injectief), omdat in het domein (een lege verzameling) er geen twee verschillende elementen zijn waarvoor de waarde van de functie gelijk is.
⭐ ️ een speciaal geval van een lege functie
laten we de functie analyseren die leeg aan leeg toewijst set
$$f:\emptyset \ to \ emptyset$$
zo ‘ n functie is een bijectie omdat het een injectieve functie is (zoals hierboven getoond) en er geen element in codomein is (het codomein is een lege verzameling) dat niet in relatie staat met de elementen in het domein.
merk op dat er precies een dergelijke bijectie bestaat, wat een resultaat is van het feit dat de functie een subset is van het Cartesiaanse product van domein en codomein. In dit geval is dit slechts één mogelijke set.
$$f:\emptyset\to\emptyset$$
$$\emptyset\times \emptyset = \ emptyset$$
de lege verzameling heeft precies één subset, dat is de lege verzameling-dus zo ‘ n bijectie is uniek gedefinieerd.
⭐ ️ 0! = 1 vs lege functie
Ik schreef hierboven dat het aantal permutaties van een n-elementverzameling gelijk is aan het aantal verschillende bijectieve functies van deze verzameling in zichzelf.
volgende-de permutatie van 0-elementverzameling komt overeen met de bijectie van een lege verzameling in de lege verzameling/
Het speciale geval van lege functie is slechts 1 – en ik presenteerde het bewijs dat er maar één dergelijke functie bestaat 🙂
vrij diep inzicht waarom 0! moet om 1 uur.
⭐ ️ de gammafunctie
in de wiskunde is de gammafunctie een van de uitbreidingen van de factoriële functie, waarvan het argument met 1 naar beneden is verschoven naar reële en complexe getallen.
$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$
na integratie door delen krijgen we de recursieve formule
$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$
laten we eens kijken naar de waarde van
$$\Gamma(1)=?$$
$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$
volgend op
$$\Gamma(n+1)=n!$$
$ $ 0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
⭐ ️ aantal E en factoriële relatie
gebaseerd op Taylor serie uitbreiding van E^X is het gemakkelijk aan te tonen dat
$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!} + \ frac{1}{1!} + \ frac{1}{2!} + \ frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂