een functie relateert een input aan een output.
 |
Het is als een machine met een input en een output. en de uitvoer is op de een of andere manier gerelateerd aan de invoer. |
| f(x) |
“f(x) = … “is de klassieke manier om een functie te schrijven. |
Input, Relationship, Output
We zullen veel manieren zien om na te denken over functies, maar er zijn altijd drie hoofddelen:
- De input
- de relatie
- de output
voorbeeld: “vermenigvuldigen met 2” is een zeer eenvoudige functie.
Hier zijn de drie delen:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
enkele voorbeelden van functies
- x2 (squaring) is een functie
- x3+1 is ook een functie
- sinus, cosinus en tangens zijn functies die worden gebruikt in trigonometrie
- en er zijn nog veel meer!
maar we gaan niet naar specifieke functies kijken …
… in plaats daarvan zullen we kijken naar het algemene idee van een functie.
Names
eerst is het nuttig om een functie een naam te geven.
de meest voorkomende naam is “f”, maar we kunnen andere namen hebben zoals” g”… of zelfs “marmelade” als we willen.
maar laten we “f”gebruiken:
We zeggen “f van x gelijk is aan x kwadraat”
wat gaat er in de functie wordt gelegd tussen haakjes () na de naam van de functie:
Dus f(x) geeft ons de functie heet “f”, en “x” gaat in
En we zien wat een functie doet met de input:
f(x) = x2 toont ons dat de functie “f” neemt “x” en vierkantjes.
voorbeeld: met f ( x) = x2:
- wordt een invoer van 4
- een uitvoer van 16.
in feite kunnen we f(4) = 16 schrijven.
de ” x ” is slechts een plaatshouder!
maak je niet te veel zorgen over “x”, het is er gewoon om ons te laten zien waar de invoer naartoe gaat en wat er mee gebeurt.
Het kan van alles zijn!
dus deze functie:
f(x) = 1 – x + x2
Is dezelfde functie als:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(A) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
de variabele (x, q, A, enz.) is er gewoon zodat we weten waar we de waarden moeten plaatsen:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
soms is er geen functienaam
soms heeft een functie geen naam, en we zien iets als:
y = x2
maar er is nog steeds:
- een invoer (x)
- een relatie (squaring)
- en een uitvoer (y)
relatie
aan de bovenkant zeiden we dat een functie als een machine was. Maar een functie heeft niet echt riemen of tandwielen of bewegende onderdelen – en het vernietigt niet echt wat we erin stoppen!
een functie relateert een input aan een output.
zeggen “f (4) = 16” is als zeggen dat 4 op de een of andere manier gerelateerd is aan 16. Or 4 → 16
voorbeeld: deze boom groeit 20 cm per jaar, dus de hoogte van de boom is gerelateerd aan de leeftijd met behulp van de functie h:
h(leeftijd) = leeftijd × 20
Dus, als de leeftijd van 10 jaar, de hoogte is:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Hier zijn enkele voorbeelden van waarden:
| leeftijd | h(leeftijd) = leeftijd × 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
“Numbers” seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… het kan ook letters zijn (“A”→” B”), of ID-codes (“A6309″→” Pass”) of vreemde dingen. |
dus we hebben iets krachtigers nodig, en dat is waar sets in komen:
 |
een set is een verzameling van dingen.Hier zijn enkele voorbeelden:
|
elk afzonderlijk ding in de set (zoals” 4 “of” hat”) wordt een lid of element genoemd.
dus, een functie neemt elementen van een verzameling, en geeft elementen van een verzameling terug.
een functie is speciaal
maar een functie heeft speciale regels:
- Het moet werken voor elke mogelijke invoerwaarde
- en het heeft slechts één relatie voor elke invoerwaarde
Dit kan in één definitie worden gezegd:
formele definitie van een functie
een functie verbindt elk element van een verzameling
met precies één element van een andere verzameling
(mogelijk dezelfde verzameling).
de twee belangrijke dingen!
|
“…elk element…”betekent dat elk element in X gerelateerd is aan een element in Y. we zeggen dat de functie X dekt (elk element ervan relateert). (maar sommige elementen van Y zijn misschien helemaal niet gerelateerd aan, wat prima is.) |
|
“…precies één…”betekent dat een functie één waarde heeft. Het zal niet terug te geven 2 of meer resultaten voor dezelfde input. dus “f ( 2) = 7 of 9” is niet goed! |
|
“One-to-many” is niet toegestaan, maar “many-To-one” is toegestaan: |
||
 |
 |
|
| (één-op-veel) | (veel-op-één) | |
| Dit is NIET OK is in een functie | Maar dit is OK in een functie |
Wanneer een relatie niet volgen, die twee regels, dan is het niet een functie … het is nog steeds een relatie, alleen geen functie.
voorbeeld: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- elk element in X is gerelateerd aan Y
- geen element in X heeft twee of meer relaties
dus het volgt de regels.
(merk op hoe zowel 4 als -4 zich verhouden tot 16, wat toegestaan is.)
Voorbeeld: deze relatie is geen functie:
Het is een relatie, maar het is geen functie, om deze redenen:
- waarde “3” IN X heeft geen relatie in Y
- waarde “4” IN X heeft geen relatie in Y
- waarde “5” is gerelateerd aan meer dan één waarde in Y
(maar het feit dat “6” in Y heeft geen relatie doet er niet toe)
verticale lijn test
in een grafiek betekent het idee van één waarde dat geen enkele verticale lijn ooit meer dan één waarde kruist.
als het meerdere malen kruist, is het nog steeds een geldige curve, maar is het geen functie.
sommige soorten functies hebben strengere regels, om meer te weten te komen kun je injectief, surjectief en Bijectief
oneindig veel
mijn voorbeelden hebben slechts een paar waarden, maar functies werken meestal op Verzamelingen met oneindig veel elementen.
Voorbeeld: y = x3
- De input instellen “X” is alle Reële Getallen
- De output set “Y” is ook alle Reële Getallen
Wij kunnen niet ALLE waarden, dus hier zijn slechts een paar voorbeelden:
| X: x | Y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
domein, Codomein en bereik
in onze voorbeelden hierboven
- De set “X” wordt het domein genoemd,
- de set “Y” wordt het Codomein genoemd, en
- de set van elementen waarnaar in Y wordt verwezen (de werkelijke waarden die door de functie worden geproduceerd) wordt het bereik genoemd.
we hebben een speciale pagina over domein, bereik en Codomein als u meer wilt weten.
zoveel namen!
functies worden al heel lang gebruikt in de wiskunde, en er zijn veel verschillende namen en manieren om functies te schrijven ontstaan.
Hier volgen enkele veel voorkomende termen die je moet vertrouwd te raken met:
Voorbeeld: z = 2u3:
- “u” kan worden genoemd de “onafhankelijke variabele”
- “z” kan worden genoemd de “afhankelijke variabele” (het hangt af van de waarde van u)
Voorbeeld: f(4) = 16:
- “4” kan worden genoemd het “argument”
- “16” kan worden genoemd de “waarde van de functie”
Voorbeeld: h(jaar) = 20 × jaar:
- h() is de functie
- “year” kan het “argument” worden genoemd, of de “variabele”
- een vaste waarde zoals “20” kan een parameter
worden genoemd we noemen vaak een functie “f(x)” wanneer de functie in feite “f”is
geordende paren
en hier is een andere manier om over functies na te denken:
schrijf de invoer en uitvoer van een functie als een “geordend paar”, zoals (4,16).
ze worden geordende paren genoemd omdat de invoer altijd op de eerste plaats komt, en de uitvoer op de tweede plaats:
(input, output)
Zo ziet het er als volgt uit:
( x, f(x) )
Voorbeeld:
(4,16) betekent dat de functie neemt in “4” en geeft “16”
Set van Geordende Paren
Een functie kan dan worden gedefinieerd als een verzameling van geordende paren:
Voorbeeld: {(2,4), (3,5), (7,3)} is een functie, die zegt
“2 is in verband met de 4”, “3 is in verband met 5” en “7 is gerelateerd 3”.
ook, merk op dat:
- het domein is {2,3,7} (de invoerwaarden)
- en het bereik is {4,5,3} (de uitvoerwaarden)
maar de functie moet één waarde hebben, dus zeggen we ook
“als het (a, b) en (A, c) bevat, dan moet b gelijk zijn aan c”
wat gewoon een manier is om te zeggen dat een invoer van “a” niet kan produceer twee verschillende resultaten.
voorbeeld: {(2,4), (2,5), (7,3)} is geen functie omdat {2,4} en {2,5} betekent dat 2 gerelateerd kan zijn aan 4 of 5.
met andere woorden het is geen functie omdat het geen enkele waarde heeft
een voordeel van geordende paren
We kunnen ze grafieken…
… omdat het ook coördinaten zijn!
dus een verzameling coördinaten is ook een functie (als ze de bovenstaande regels volgen, dat wil zeggen)
een functie kan in stukken
zijn we kunnen functies maken die zich anders gedragen afhankelijk van de invoerwaarde
voorbeeld: een functie met twee stukken:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
 |
Here are some example values:
|
Lees meer bij stuksgewijze functies.
expliciet vs impliciet
nog een laatste onderwerp: de termen “expliciet” En “impliciet”.
expliciet is wanneer de functie ons laat zien hoe we direct van x naar y kunnen gaan, zoals:
y = x3 − 3
wanneer we x kennen, kunnen we y
vinden, dat is de klassieke Y = f(x) stijl waar we vaak mee werken.
impliciet is wanneer het niet direct wordt gegeven zoals:
x2 − 3xy + y3 = 0
wanneer we x kennen, hoe vinden we y?
Het kan moeilijk zijn (of onmogelijk!) om direct van x naar y te gaan.
“impliciet “komt Van” impliciet”, met andere woorden indirect getoond.
Graphing
- De Functiegrapher kan alleen expliciete functies aan,
- de Vergelijkingsgrapher kan beide typen aan (maar duurt iets langer en heeft het soms verkeerd).
conclusie
- een functie relateert inputs aan outputs
- een functie neemt elementen uit een verzameling (het domein) en relateert ze aan elementen in een verzameling (het codomein).
- alle uitgangen (de werkelijke waarden gerelateerd aan) worden samen genoemd het bereik
- een functie is een speciaal Type relatie waarbij:
- elk element in het domein is opgenomen, en
- elke input produceert slechts één uitvoer (niet dit of dat)
- een input en de bijbehorende uitvoer worden samen genoemd een geordend paar
- dus een functie kan ook worden gezien als een set van geordende paren