Inleiding
- als het een fysische grootheid is, zoals stress, dan wordt het meestal een tensor genoemd.Als het geen fysieke hoeveelheid is, dan wordt het meestal een matrix genoemd.
- de overgrote meerderheid van de technische tensoren zijn symmetrisch. Een veelvoorkomende kwantiteitdie niet symmetrisch is, en niet wordt aangeduid als een tensor, is een rotatiematrix.
- tensoren zijn in feite elke fysische grootheid die kan worden weergegeven door een scalaire, vector of matrix.Nul-orde tensoren, zoals massa, worden scalaren genoemd, terwijl 1ste orde tensoren vectoren worden genoemd.Voorbeelden van hogere orde tensors zijn stress, spanning, en stijfheid tensors.
- de volgorde of rang van een matrix of tensor is het aantal abonnees dat het bevat. Een vector is een tensor van de eerste rang. Een 3×3 stress tensor is 2e rang.
- Coördinaattransformaties van tensoren worden hier in detail besproken.
identiteitsmatrix
de identiteitsmatrix is
\\]
alles vermenigvuldigen met de identiteitsmatrix is als vermenigvuldigen met één.
Tensor notatie
de identiteitsmatrix in tensor notatie is gewoon \ (\delta_{ij} \).Het is de Kronecker Delta die gelijk is aan 1 wanneer \ (i = j \) en 0 anders.
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
Is het een Matrix of niet?
een noot van de puristen… De identiteitsmatrix is een matrix, maar de Kronecker deltatechnisch niet. \ (\delta_{ij} \) is een enkele scalaire waarde die 1 of 0 is afhankelijk van de waarden van \(i\) en \(j\). Dit is ook de reden waarom tensor notatie niet vet is, omdat het altijd verwijst naar individuele componenten van tensors, maar nooit naar een tensor als geheel.
volg deze link voor een onderhoudend gesprek tussen iemand die de matrix gebruikt, en iemand anders die dat niet doet.
transponeren
de transponeren van een matrix spiegelt zijn componenten rond de hoofddiagonaal. De transpose van matrix \({\bf a}\) wordt geschreven \({\bf A}^{\!T}\).
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
Transponeer voorbeeld
\, \ qquad \ text{then} \ qquad {\bf A}^{\!T} = \ left\]
Tensor notatie
de transponering van \(a_{ij}\) is \(A_{j\,i}\).
determinanten
de determinant van een matrix wordt geschreven als det(\({\bf A}\)) of \(|{\bf a}|\), en wordt berekend als
\
als de determinant van een tensor, of matrix, nul is, dan heeft deze geen inverse.
Tensor notatie
de berekening van een determinant kan op een paar verschillende manieren in tensor notatie worden geschreven
\ de determinant van het product van twee matrices is hetzelfde als het product van de determinanten van de twee matrices. Met andere woorden,
\
de determinant van een vervormingsgradiënt geeft de verhouding tussen begin-en eindvolume van een differentieel element.
Inverses
de inverse van matrix \({\bf A}\) wordt geschreven als \({\bf A}^{\!-1}\) en heeft de volgende zeer belangrijke eigenschap(zie het gedeelte over matrixvermenigvuldiging hieronder)
\
Als \({\bf B}\) de inverse is van \({\bf A}\), dan wordt
\
Tensornotatie
de inverse van \(A_{ij}\) vaak geschreven als \(A^{-1}_{ij}\).Merk op dat dit waarschijnlijk niet rigoureus correct is omdat, zoals eerder besproken,noch \(a_{ij}\) noch \(A^{-1}_{ij}\) technisch matrices zijn.Het zijn slechts componenten van een matrix. Ach ja…
de inverse kan worden berekend met
\
Matrix Inverse Webpage
deze pagina berekent de inverse van een 3×3 matrix.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/InverseForm.png)
Transposes of Inverses of Transposes of…
de inverse van een getransponeerde matrix is gelijk aan de getransponeerde inverse van de matrix. Omdat de volgorde er niet toe doet, wordt de dubbele operatie eenvoudig afgekort als \({\bf{A}}^{\!- T}\).
\
Matrixtoevoeging
Matrices en tensoren worden component voor component toegevoegd, net als vectoren.Dit wordt gemakkelijk uitgedrukt in tensor notatie.
\
matrixvermenigvuldiging (Dotproducten)
het dotproduct van twee matrices vermenigvuldigt elke rij van de eerste met elke kolom van de tweede. Producten worden vaak geschreven met een punt in matrixnotatie als\ ({\bf a} \cdot {\bf B}\), maar soms geschreven zonder de punt als \( {\bf a} {\bf B}\). Multiplicatieregels zijn in feite het beste te verklaren door tensor notatie.
\
(merk op dat er geen punt wordt gebruikt in tensor notatie.) De \(k\) in beide factoren impliceert automatisch
\
wat de IDE rij van de eerste matrix vermenigvuldigd met de JDE kolom van de tweede matrix is. Als u bijvoorbeeld \(C_{23}\) wilt berekenen, dan berekent \(i=2\) en \(j=3\), en
\
webpagina voor matrixvermenigvuldiging
deze pagina het puntproduct van twee 3×3-matrices.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/MatMultForm.png)
matrixvermenigvuldiging Is niet commutatief
het is zeer belangrijk om te erkennen dat matrixvermenigvuldiging niet commutatief is, d.w.z.
\
omzettingen en inversies van producten
de omzetting van een product is gelijk aan het product van de omzettingen in omgekeerde volgorde, en de inverse van een product is gelijk aan het product van de inversies in omgekeerde volgorde.
merk op dat” in omgekeerde volgorde ” cruciaal is.Dit wordt veel gebruikt in de secties over vervormingsgradiënten en groene stammen.
\
Dit geldt ook voor meerdere producten. Bijvoorbeeld
\
Product met eigen transponeren
het product van een matrix en zijn eigen transponeren is altijd een symmetrische matrix.\({\bf A}^T \ cdot {\bf A} \)en \({\bf a} \cdot {\bf A}^T\) geven beide symmetrisch, hoewel verschillende resultaten.Dit wordt veel gebruikt in de secties over vervormingsgradiënten en groene stammen.
producten met dubbele punt
het product met dubbele punt van twee matrices produceert een scalair result.It is geschreven in matrixnotatie als \({\bf a}: {\bf B}\).Hoewel zelden gebruikt buiten continuüm mechanica, is in feite heel gebruikelijk in geavanceerde toepassingen van lineaire elasticiteit. Bijvoorbeeld, \ ({1 \over 2} \sigma : \epsilon \)geeft de rekenergiedichtheid in kleinschalige lineaire elasticiteit.Nogmaals, de berekening kan het best worden verklaard met tensor notatie.
\
aangezien de subscripten \(i\) en \(j\) in beide factoren voorkomen, worden ze beide opgeteld om
\
te geven