Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, zodanig dat de som van de getallen in elke horizontale of verticale belangrijkste diagonale lijn is altijd hetzelfde nummer (Kraitchik 1942, blz. 142; Andrews 1960, blz. 1; Gardner 1961, blz. 130; Madachy 1979, blz. 84; Benson en Jacoby 1981, blz. 3; Bal en Coxeter 1987, blz. 193), bekend als de magische constante

Als elk nummer in een magisch vierkant wordt afgetrokken van , een ander magisch vierkant is verkregen genoemd de aanvulling van de magic square. Een vierkant bestaande uit opeenvolgende getallen beginnend met 1 wordt ook wel een “normaal” magisch vierkant genoemd.

Het unieke normale kwadraat van orde drie was bekend bij de oude Chinezen, die het de Lo Shu noemden. Een versie van de orde-4 magic square met de nummers 15 en 14 in aangrenzende middelste kolommen in de onderste rij heet Dürer ‘ s magic square. Magische vierkanten van orde 3 tot en met 8 zijn hierboven weergegeven.

De magische constante voor een TH orde algemeen magisch vierkant beginnend met een geheel getal en met entries in een toenemende rekenkundige reeks met verschil tussen termen is

(hunter and madachy 1975).

Het is een onopgelost probleem om het aantal magische vierkanten van een willekeurige orde te bepalen, maar het aantal verschillende magische vierkanten (met uitzondering van die verkregen door rotatie en reflectie) van orde , 2,… zijn 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, blz. 87). De 880 vierkanten van de orde werden opgesomd door Frénicle de Bessy in 1693, en zijn geïllustreerd in Berlekamp et al. (1982, blz. 778-783). Het aantal magische vierkanten werd berekend door R. Schroeppel in 1973. Het aantal kwadraten is niet bekend, maar Pinn en Wieczerkowski (1998) schatten het op met behulp van Monte Carlo simulatie en methoden van statistische mechanica. Methoden voor het opsommen van magische vierkanten worden besproken door Berlekamp et al. (1982) en op de website van MathPages.

een vierkant dat alleen niet magisch is omdat één of beide van de hoofddiagonale sommen niet gelijk zijn aan de magische constante wordt een semimagisch vierkant genoemd. Als alle diagonalen (inclusief die verkregen door het omwikkelen) van een magische kwadraat som tot de magische constante, het vierkant wordt gezegd dat een panmagisch vierkant (ook wel een diabolisch vierkant of pandiagonaal vierkant). Als elk getal wordt vervangen door zijn vierkant een ander magisch vierkant produceert, wordt gezegd dat het een bimagisch vierkant (of dubbel magisch vierkant) is. Als een vierkant magisch is voor , en , wordt het een trimagisch vierkant (of trebly magisch vierkant) genoemd. Als alle getallenparen symmetrisch tegenover de middelste Som staan tot , dan wordt gezegd dat het vierkant een associatief magisch vierkant is.

kwadraten die magisch zijn onder vermenigvuldiging in plaats van optellen kunnen geconstrueerd worden en staan bekend als magische kwadraten van vermenigvuldiging. Bovendien kunnen vierkanten die magisch zijn onder zowel optellen als vermenigvuldigen worden geconstrueerd en staan bekend als magische vierkanten voor optellen en vermenigvuldigen (Hunter en Madachy 1975).

Kraitchik (1942) geeft algemene technieken voor het construeren van even en oneven kwadraten van orde. Voor odd kan een zeer eenvoudige techniek worden gebruikt die bekend staat als de Siamese methode, zoals hierboven geïllustreerd (Kraitchik 1942, blz.148-149). Het begint met het plaatsen van een 1 in het midden van de bovenste rij, dan stapsgewijs plaatsen van de volgende nummers in het vierkant een eenheid boven en naar rechts. De telling is omwikkeld, zodat vallen van de top terug op de bodem en vallen van de rechter terug aan de linkerkant. Wanneer een vierkant wordt aangetroffen dat al is gevuld, wordt het volgende nummer in plaats daarvan onder het vorige geplaatst en gaat de methode verder als voorheen. De methode, ook wel de la Loubere ‘ s methode, wordt beweerd te zijn voor het eerst gemeld in het Westen toen de la Loubere terug naar Frankrijk na het dienen als ambassadeur in Siam.

een generalisatie van deze methode maakt gebruik van een “gewone vector” die de offset geeft voor elke niet-aanvallende beweging en een “break vector” die de offset geeft om in te voeren bij een botsing. De standaard Siamese methode heeft daarom een gewone vector (1, en een breukvector (0, 1). Om dit een magisch vierkant te laten produceren, moet elke break move eindigen op een ongevulde cel. Speciale klassen van magische vierkanten kunnen worden geconstrueerd door de absolute sommen , en . Noem de verzameling van deze getallen de sumdiffs (sommen en verschillen). Als alle sumdiffs relatief priem zijn tot en het vierkant een magisch vierkant is, dan is het vierkant ook een panmagisch vierkant. Deze theorie is ontstaan bij de La Hire. De volgende tabel geeft de somdiffs voor bepaalde keuzes van gewone en breukvectoren.

een tweede methode voor het genereren van magische kwadraten van oneven orde is besproken door J. H. Conway onder de naam van de” lozenge ” methode. Zoals hierboven afgebeeld, worden bij deze methode de oneven getallen opgebouwd langs diagonale lijnen in de vorm van een diamant in het centrale deel van het vierkant. De even nummers die werden gemist worden vervolgens achtereenvolgens toegevoegd langs de voortzetting van de diagonaal verkregen door wikkeling rond het vierkant totdat de verpakte diagonaal zijn beginpunt bereikt. In het bovenstaande vierkant vult de eerste diagonaal dus in 1, 3, 5, 2, 4, de tweede diagonaal vult in 7, 9, 6, 8, 10, en zo verder.

een elegante methode voor het construeren van magische vierkanten van dubbel even volgorde is om s door elke subsquare te tekenen en alle vierkanten achter elkaar te vullen. Vervang vervolgens elke vermelding op een doorgestreepte diagonaal door of omgekeerd de volgorde van de doorgestreepte vermeldingen. Dus in het bovenstaande voorbeeld voor , zijn de doorgestreepte nummers oorspronkelijk 1, 4,…, 61, 64, dus vermelding 1 wordt vervangen door 64, 4 door 61, enz.

een zeer elegante methode voor het construeren van magische vierkanten van afzonderlijke even orde met (er is geen magisch vierkant van orde 2) is te wijten aan J. H. Conway, die het de” LUX ” methode noemt. Maak een array aan bestaande uit rijen van s, 1 rij van ons, en rijen van s, alle Lengte . Wissel de middelste U met de l erboven. Genereer nu het magische kwadraat van de orde met behulp van de Siamese methode gecentreerd op de array van letters (beginnend in het middelste vierkant van de bovenste rij), maar vul elke verzameling van vier vierkanten rond een letter achtereenvolgens in volgens de volgorde die door de letter wordt voorgeschreven. Die volgorde is aan de linkerkant van de bovenstaande figuur afgebeeld, en het voltooide vierkant is rechts afgebeeld. De” vormen ” van de letters L, U en X suggereren natuurlijk de vulvolgorde, vandaar de naam van het algoritme.

variaties op magische vierkanten kunnen ook worden geconstrueerd met letters (in het definiëren van het vierkant of als ingangen erin), zoals het alfamagische vierkant en het Tempelier magische vierkant.

verschillende Numerologische eigenschappen zijn ook geassocieerd met magische vierkanten. Pivari associeert de hierboven afgebeelde vierkanten met respectievelijk Saturnus, Jupiter, Mars, De Zon, Venus, Mercurius en de maan. Aantrekkelijke patronen worden verkregen door opeenvolgende getallen in elk van de vierkantjes te verbinden (met uitzondering van het Sun magic square).