leerdoelen
aan het einde van deze sectie kunt u:
- de juiste lengte beschrijven.
- Bereken de samentrekking van de lengte.
- leg uit waarom we deze effecten niet opmerken op alledaagse schalen.
figuur 1. Mensen kunnen afstanden anders beschrijven, maar bij relativistische snelheden zijn de afstanden echt anders. (krediet: Corey Leopold, Flickr)
heb je ooit gereden op een weg die lijkt alsof het eeuwig duurt? Als je vooruit kijkt, kun je zeggen dat je nog ongeveer 10 km te gaan hebt. Een andere reiziger zou kunnen zeggen dat de weg voor ons ongeveer 15 km lang lijkt. Als jullie beiden de weg opmeten, zouden jullie het ermee eens zijn. Reizen met dagelijkse snelheden, de afstand die jullie beiden meten zou hetzelfde zijn. U zult in deze sectie echter lezen dat dit niet waar is bij relativistische snelheden. In de buurt van de lichtsnelheid zijn de gemeten afstanden niet gelijk wanneer ze door verschillende waarnemers worden gemeten.
juiste lengte
een ding waar alle waarnemers het over eens zijn is relatieve snelheid. Hoewel klokken verschillende verstreken tijden meten voor hetzelfde proces, zijn ze het er toch over eens dat relatieve snelheid, dat is Afstand gedeeld door verstreken tijd, hetzelfde is. Dit houdt in dat de afstand ook afhangt van de relatieve beweging van de waarnemer. Als twee waarnemers verschillende tijden zien, dan moeten ze ook verschillende afstanden zien om relatieve snelheid hetzelfde te laten zijn voor elk van hen.
De muon besproken in Voorbeeld 1 in Simultaneity And Time Dilation illustreert dit concept. Voor een waarnemer op aarde, reist de muon bij 0,950 c gedurende 7,05 µs vanaf het moment dat het wordt geproduceerd tot het vergaat. Zo reist hij een afstand
L0 = vΔt = (0,950)(3,00 × 108 m/s)(7,05 × 10-6 s)=2,01 km
ten opzichte van de aarde. In het referentiekader van de muon is de levensduur slechts 2,20 µs. Het heeft genoeg tijd om alleen te reizen
L0 = vΔt0 = (0,950)(3,00 × 108 m/s)(2,20 × 10-6 s) = 0,627 km.
de afstand tussen dezelfde twee gebeurtenissen (productie en verval van een muon) hangt af van wie het Meet en hoe ze ten opzichte daarvan bewegen.
werkelijke lengte
werkelijke lengte L0 is de afstand tussen twee punten gemeten door een waarnemer die in rust is ten opzichte van beide punten.
De aan de aarde gebonden waarnemer meet de juiste lengte L0, omdat de punten waarop de muon wordt geproduceerd en vervalt stationair zijn ten opzichte van de aarde. Voor de muon bewegen de aarde, de lucht en de wolken, en dus is de afstand L die het ziet niet de juiste lengte.
Figuur 2. (A) De aan de aarde gebonden waarnemer ziet de muon 2.01 km reizen tussen wolken. (b) de muon ziet zichzelf hetzelfde pad afleggen, maar slechts een afstand van 0,627 km. De aarde, de lucht en de wolken bewegen ten opzichte van de muon in zijn frame en lijken allemaal kleinere lengtes te hebben in de rijrichting.
lengtecontractie
om een vergelijking te ontwikkelen met afstanden gemeten door verschillende waarnemers, merken we op dat de snelheid ten opzichte van de Aardgebonden waarnemer in ons muon-voorbeeld wordt gegeven door
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
De tijd ten opzichte van de Aardgebonden waarnemer is Δt, omdat het object dat getimed wordt beweegt ten opzichte van deze waarnemer. De snelheid ten opzichte van de bewegende waarnemer wordt gegeven door
v=\frac{L}{\Delta{T}_0}\\.
De bewegende waarnemer reist met de muon en neemt daarom de juiste tijd Δt0 in acht. De twee snelheden zijn identiek; dus
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{T}_0}\\.
we weten dat Δt = γΔt0. Door deze vergelijking in de bovenstaande relatie te vervangen, geeft
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
het vervangen van γ geeft een vergelijking met betrekking tot de afstanden gemeten door verschillende waarnemers.
lengtecontractie
lengtecontractie L is de verkorting van de gemeten lengte van een object dat beweegt ten opzichte van het frame van de waarnemer.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
als we de lengte meten van iets dat beweegt ten opzichte van ons frame, vinden we de lengte L kleiner dan de eigenlijke lengte L0 die zou worden gemeten als het object stilstaat. In het referentiekader van de muon bijvoorbeeld is de afstand tussen de punten waar de muon is geproduceerd en waar hij is vergaan korter. Die punten zijn vast ten opzichte van de aarde, maar bewegen ten opzichte van de muon. Wolken en andere objecten worden ook samengetrokken langs de bewegingsrichting in het referentieframe van de muon.
Voorbeeld 1. Berekening van de samentrekking van de lengte: de afstand tussen sterren trekt samen wanneer je met hoge snelheid reist
stel dat een astronaut, zoals de tweeling die besproken wordt in Simultaneïteit en tijddilatatie, zo snel reist dat γ = 30,00.ze reist van de aarde naar het dichtstbijzijnde sterrenstelsel, Alpha Centauri, op 4.300 lichtjaar afstand, gemeten door een aan de aarde gebonden waarnemer. Hoe ver zijn de aarde en Alpha Centauri uit elkaar, zoals gemeten door de astronaut?
Figuur 3. (A) De aan de aarde gebonden waarnemer meet de juiste afstand tussen de aarde en de Alpha Centauri. (b) de astronaut ziet een lengte samentrekking, omdat de aarde en de Alpha Centauri bewegen ten opzichte van haar schip. Ze kan deze kortere afstand afleggen in een kleinere tijd (haar juiste tijd) zonder de snelheid van het licht te overschrijden.
strategie
merk eerst op dat een lichtjaar (ly) een handige eenheid van afstand is op een astronomische schaal—het is de afstand die licht in een jaar aflegt. Merk voor Deel 1 op dat de 4.300 ly afstand tussen de Alfa Centauri en de aarde de juiste afstand L0 is, omdat deze wordt gemeten door een aardegebonden waarnemer aan wie beide sterren (ongeveer) stationair zijn. Voor de astronaut bewegen de aarde en de Alfa Centauri met dezelfde snelheid, en dus is de afstand tussen hen de samengetrokken lengte L. In Deel 2 krijgen we γ, en dus kunnen we v vinden door de definitie van γ te herschikken om v uit te drukken in termen van c.
Identificeer de knowns:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
Identificeer de onbekende: L
kies de juiste vergelijking:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
herschik de op te lossen vergelijking voor het onbekende.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ e}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ e}\end{array}\\
Oplossing voor Deel 2
het Identificeren van de bekend: γ = 30.00
het Identificeren van de onbekende: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ zodat 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ en \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
als we de vierkantswortel nemen, vinden we \frac{v}{c}=0.99944\\, die is herschikt om een waarde voor de snelheid v = 0,9994 c.
discussie
onthoud eerst dat u de berekeningen niet moet afronden totdat het eindresultaat is verkregen, anders kunt u foutieve resultaten krijgen. Dit geldt met name voor speciale relativiteits berekeningen, waarbij de verschillen pas na enkele decimalen zichtbaar worden. Het relativistische effect is hier groot (γ = 30.00), en we zien dat v nadert (niet gelijk) de snelheid van het licht. Omdat de afstand zoals gemeten door de astronaut is zo veel kleiner, de astronaut kan reizen in veel minder tijd in haar frame.
mensen kunnen zeer grote afstanden (duizenden of zelfs miljoenen lichtjaren) worden gestuurd en slechts een paar jaar oud worden als ze met extreem hoge snelheden reizen. Maar, zoals emigranten van eeuwen geleden, zouden ze de aarde die ze kennen voor altijd verlaten. Zelfs als ze zouden terugkeren, zouden duizenden tot miljoenen jaren op aarde zijn verstreken, waardoor het grootste deel van wat nu bestaat, zou worden vernietigd. Er is ook een ernstiger praktisch obstakel om met zulke snelheden te reizen; immens Grotere energieën dan de klassieke fysica voorspelt zouden nodig zijn om zulke hoge snelheden te bereiken. Dit zal besproken worden in Relatavistische energie.
Figuur 4. De elektrische veldlijnen van een geladen deeltje met hoge snelheid worden langs de bewegingsrichting gecomprimeerd door lengtecontractie. Dit veroorzaakt een ander signaal wanneer het deeltje door een spoel gaat, een experimenteel geverifieerd effect van lengtecontractie.
waarom merken we geen samentrekking van de lengte in het dagelijks leven? De afstand tot de kruidenierswinkel lijkt niet af te hangen van of we verhuizen of niet. Als we de vergelijking L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ bekijken, zien we dat bij lage snelheden (v<<c) de lengtes bijna gelijk zijn, de klassieke verwachting. Maar lengte samentrekking is echt, zo niet algemeen ervaren. Bijvoorbeeld, een geladen deeltje, zoals een elektron, reizen met relativistische snelheid heeft elektrische veldlijnen die worden gecomprimeerd langs de richting van de beweging zoals gezien door een stationaire waarnemer. (Zie Figuur 4. Als het elektron een detector passeert, zoals een draadspoel, interageert het veld veel korter, een effect dat wordt waargenomen bij deeltjesversnellers zoals de 3 km lange Stanford Linear Accelerator (SLAC). In feite, een elektron die langs de straalpijp loopt bij SLAC, bewegen de versneller en de aarde allemaal langs en zijn de lengte samengetrokken. Het relativistische effect is zo groot dat de versneller slechts 0,5 m lang is voor het elektron. Het is eigenlijk makkelijker om de elektronenbundel in de pijp te krijgen, omdat de bundel niet zo precies gericht hoeft te zijn om een korte pijp naar beneden te krijgen als een 3 km lange. Dit is opnieuw een experimentele verificatie van de speciale relativiteitstheorie.
Controleer uw begrip
een deeltje reist met een snelheid van 0,750 c door de atmosfeer van de aarde. voor een aan de aarde gebonden waarnemer is de afstand 2,50 km. Hoe ver reist het deeltje in het referentiekader van het deeltje?
oplossing
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\left(2,50\text{ km}\right)\sqrt{1-\frac{\left(0,750 c\right)^2}{c^2}}=1,65\text{ km}\\
section summary
- alle waarnemers zijn het eens over de relatieve snelheid.
- afstand hangt af van de beweging van de waarnemer. De eigenlijke lengte L0 is de afstand tussen twee punten gemeten door een waarnemer die in rust is ten opzichte van beide punten. Aardgebonden waarnemers meten de juiste lengte bij het meten van de afstand tussen twee punten die stilstaand zijn ten opzichte van de aarde.
- lengtecontractie L is de verkorting van de gemeten lengte van een object dat beweegt ten opzichte van het frame van de waarnemer:
L=L_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\\.
conceptuele vragen
- voor wie lijkt een object langer, een waarnemer die met het object beweegt of een waarnemer die relatief met het object beweegt? Welke waarnemer meet de juiste lengte van het object?
- relativistische effecten zoals tijddilatatie en lengte-samentrekking zijn aanwezig voor auto ‘ s en vliegtuigen. Waarom lijken deze effecten ons vreemd?stel dat een astronaut met een aanzienlijk deel van de lichtsnelheid ten opzichte van de aarde beweegt. (a) ziet hij de snelheid van zijn klokken te hebben vertraagd? (B) welke verandering in de snelheid van Aardgebonden klokken ziet hij? (c) lijkt zijn schip hem te verkorten? (d) Hoe zit het met de afstand tussen sterren die op lijnen evenwijdig aan zijn beweging liggen? (e) zijn hij en een aardegebonden waarnemer het eens over zijn snelheid ten opzichte van de aarde?
problemen & oefeningen
- een ruimteschip, 200 m lang aan boord, beweegt met 0,970 c langs de aarde. Wat is de lengte van het ruimteschip, gemeten door een aan de aarde gebonden waarnemer?
- Hoe snel moet een sportwagen van 6,0 m lang langs U rijden om er slechts 5,5 m lang uit te zien?
- (a) Hoe ver reist de muon in Voorbeeld 1 in Simultaneïteit en Tijddilatie volgens de Aardgebonden waarnemer? (B) hoe ver reist hij, gezien door een waarnemer die met hem meebeweegt? Baseer je berekening op zijn snelheid ten opzichte van de aarde en de tijd die het leeft (de juiste tijd). c) Controleer of deze twee afstanden met elkaar in verband staan door middel van lengtecontractie γ = 3,20.
- (a) Hoe lang zou de muon in Voorbeeld 1 in Simultaneïteit en Tijddilatie hebben geleefd zoals waargenomen op de aarde als zijn snelheid 0,0500 c was? (b) hoe ver zou het hebben gereisd zoals waargenomen op de aarde? (C) welke afstand is dit in het frame van de muon?
- (A) Hoe lang duurt het voor de astronaut in Voorbeeld 1 om 4,30 ly te reizen bij 0,99944 c (gemeten door de aan de aarde gebonden waarnemer)? (b)Hoe lang duurt het volgens de astronaut? (C) Controleer of deze twee keer door tijdsverwijding zijn gerelateerd aan γ = 30.00 zoals aangegeven.
- (a) Hoe snel moet een atleet rennen voor een race van 100 m om er 100 yd lang uit te zien? (b) is het antwoord in overeenstemming met het feit dat relativistische effecten moeilijk waarneembaar zijn in gewone omstandigheden? Leggen.
- onredelijke resultaten. (a) Zoek de waarde van γ voor de volgende situatie. Een astronaut meet de lengte van haar ruimteschip tot 25,0 m, terwijl een aardegebonden waarnemer het meet tot 100 m. (B) Wat is onredelijk aan dit resultaat? (C) welke veronderstellingen zijn onredelijk of inconsistent?
- onredelijke resultaten. Een ruimteschip is direct op weg naar de aarde met een snelheid van 0,800 c. de astronaut aan boord beweert dat hij een bus naar de aarde kan sturen met een snelheid van 1,20 c ten opzichte van de aarde. (a) Bereken de snelheid die de bus moet hebben ten opzichte van het ruimteschip. (B) Wat is onredelijk aan dit resultaat? (C) welke veronderstellingen zijn onredelijk of inconsistent?
verklarende woordenlijst
werkelijke lengte: L0; de afstand tussen twee punten gemeten door een waarnemer die in rust is ten opzichte van zowel de punten; Aarde-gebonden waarnemers meet de juiste lengte zijn bij het meten van de afstand tussen twee punten die stilstaat ten opzichte van de Aarde
lengte contractie: L, de verkorting van de gemeten lengte van een object beweegt ten opzichte van de waarnemer frame:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
Geselecteerde Oplossingen voor Problemen & Oefeningen
1. 48,6 m
3. (a) 1,387 km = 1,39 km; (b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c)\Delta{t}=\gamma\Delta{T}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac {\Delta{t}} {\Delta{T}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\ \
De twee tijden zijn dus gerelateerd wanneer γ = 30.00.
7. (a) 0,250; (b) γ moet ≥ 1 zijn; (c) De aan de aarde gebonden waarnemer moet een kortere lengte meten, zodat het onredelijk is om een langere lengte aan te nemen.