Veranderingspercentages
lineaire functies zijn van toepassing op reële problemen met een constante snelheid.
leerdoelen
lineaire vergelijkingen toepassen om problemen over veranderingspercentages op te lossen
Key afhaalpunten
Key Points
- Als u weet dat een reëel probleem lineair is, zoals de afstand die u aflegt wanneer u gaat joggen, kunt u de functie grafieken en enkele veronderstellingen maken met slechts twee punten.
- de helling van een functie is hetzelfde als de veranderingssnelheid voor de afhankelijke variabele (y). Bijvoorbeeld, als je afstand vs. tijd grafisch maakt, dan is de helling hoe snel je afstand verandert met de tijd, of met andere woorden, je snelheid.
sleuteltermen
- wijzigingspercentage: verhouding tussen twee gerelateerde hoeveelheden die veranderen.
- lineaire vergelijking: een veeltermvergelijking van de eerste graad (zoals x=2y-7).
- helling: de verhouding tussen de verticale en horizontale afstanden tussen twee punten op een lijn; nul als de lijn horizontaal is, ongedefinieerd als deze verticaal is.
veranderingssnelheid
lineaire vergelijkingen bevatten vaak een veranderingssnelheid. Bijvoorbeeld, de snelheid waarmee afstand verandert in de tijd wordt snelheid genoemd. Als twee punten in de tijd en de totale afgelegde afstand bekend is, kan de snelheid van verandering, ook bekend als helling, worden bepaald. Uit deze informatie kan een lineaire vergelijking worden geschreven en dan kunnen voorspellingen worden gemaakt van de vergelijking van de lijn.
als de eenheid of hoeveelheid ten aanzien waarvan iets verandert niet is gespecificeerd, is de snelheid meestal per tijdseenheid. De meest voorkomende vorm van snelheid is “per tijdseenheid”, zoals snelheid, hartslag en flux. Ratio ‘ s die een non-time noemer hebben omvatten wisselkoersen, alfabetiseringspercentages en elektrisch veld (in volt/meter).
bij het beschrijven van de eenheden van een snelheid wordt het woord “per” gebruikt om de eenheden van de twee metingen te scheiden die worden gebruikt om de snelheid te berekenen (een hartslag wordt bijvoorbeeld uitgedrukt als “slagen per minuut”).
wijzigingspercentage: Real World applicatie
een atleet begint de normale training voor de volgende marathon tijdens de avond. Om 18: 00 uur begint hij te rennen en verlaat zijn huis. Om 19: 30, de atleet eindigt de run thuis en heeft een totaal van 7.5 mijl gelopen. Hoe snel was zijn gemiddelde snelheid in de loop van de run?
De snelheid van verandering is de snelheid van zijn run; Afstand in de tijd. Daarom zijn de twee variabelen tijd (x) en afstand (y). Het eerste punt is bij zijn huis, waar zijn horloge 18:00 uur stond. Dit is de begintijd dus laten we het op 0 zetten. Dus ons eerste punt is (0,0) omdat hij nog nergens heen Rende. Laten we nadenken over onze tijd in uren. Ons tweede punt is 1,5 uur later, en we renden 7,5 mijl. Het tweede punt is (1.5,7.5). Onze snelheid (snelheid van verandering) is gewoon de helling van de lijn die de twee punten verbindt. De helling, gegeven door: m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} wordt m = \frac{7.5}{1.5}=5 mijl per uur.
voorbeeld: Grafiek de lijn die de snelheid
illustreert om deze lijn te tekenen, hebben we de Y-as en de helling nodig om de vergelijking te schrijven. De helling was 5 mijl per uur en aangezien het startpunt op (0,0) lag, is de Y-as 0. Dus onze uiteindelijke functie is y=5x.
Afstand en tijd Grafiek: de grafiek van y = 5x. de twee variabelen zijn tijd (x) en afstand (y). Het tarief de loper loopt is 5 mijl per uur. Met behulp van de grafiek kunnen voorspellingen worden gedaan, ervan uitgaande dat zijn gemiddelde snelheid hetzelfde blijft.
met deze nieuwe functie kunnen we nu nog wat vragen beantwoorden.
- hoeveel mijl liep hij na het eerste half uur? Met behulp van de vergelijking, als x=\frac{1}{2}, oplossen voor y. Als y=5x, dan y=5(0,5)=2,5 mijl.
- als hij in totaal 3 uur in hetzelfde tempo bleef rennen, hoeveel mijl heeft hij dan gelopen? Als x=3, Los voor y. Als y = 5x, dan y=5 (3) = 15 mijl.
Er zijn veel van dergelijke toepassingen voor lineaire vergelijkingen. Alles wat een constante snelheid van verandering impliceert kan mooi worden weergegeven met een lijn met de helling. Inderdaad, zolang je maar twee punten hebt, als je weet dat de functie lineair is, kun je het grafisch maken en vragen gaan stellen! Zorg ervoor dat wat je vraagt en grafieken zinvol zijn. Bijvoorbeeld, in het marathon voorbeeld, het domein is eigenlijk alleen x \ geq0, omdat het niet zinvol om te gaan in negatieve tijd en verliezen mijlen!
Lineaire wiskundige modellen
Lineaire wiskundige modellen beschrijven toepassingen in de reële wereld met lijnen.
leerdoelstellingen
lineaire wiskundige modellen toepassen op reële problemen
Key Takeaways
Key Points
- een wiskundig model beschrijft een systeem met behulp van wiskundige concepten en taal.
- Lineaire wiskundige modellen kunnen met lijnen worden beschreven. Bijvoorbeeld, een auto die 50 km / u rijdt, heeft een afstand afgelegd die wordt weergegeven door y = 50x, waarbij x de tijd in uren is en y de mijlen. De vergelijking en grafiek kunnen worden gebruikt om voorspellingen te maken.
- Real world toepassingen kunnen ook gemodelleerd worden met meerdere lijnen, bijvoorbeeld als twee treinen naar elkaar toe rijden. Het punt waar de twee lijnen elkaar kruisen is het punt waar de treinen elkaar ontmoeten.
sleuteltermen
- mathematisch model: een abstracte wiskundige representatie van een proces, apparaat of concept; het gebruikt een aantal variabelen om inputs, outputs, interne toestanden en verzamelingen van vergelijkingen en ongelijkheden weer te geven om hun interactie te beschrijven.
- lineaire regressie: Een benadering van het modelleren van de lineaire relatie tussen een afhankelijke variabele y en een onafhankelijke variabele x.
wiskundige modellen
een wiskundig model is een beschrijving van een systeem dat wiskundige concepten en taal gebruikt. Wiskundige modellen worden niet alleen gebruikt in de natuurwetenschappen en technische disciplines, maar ook in de sociale wetenschappen. Lineaire modellering kan onder meer de bevolking veranderen, telefoongesprek kosten, de kosten van het huren van een fiets, gewichtsbeheersing, of fondsenwerving. Een lineair model omvat de veranderingssnelheid (m) en de initiële hoeveelheid, de Y-ordinaat b. Nadat het model is geschreven en een grafiek van de lijn is gemaakt, kan een van beide worden gebruikt om voorspellingen te doen over gedrag.
reëel lineair Model
veel dagelijkse activiteiten vereisen het gebruik van wiskundige modellen, misschien onbewust. Een probleem met wiskundige modellen ligt in het vertalen van de toepassing in de echte wereld in een nauwkeurige wiskundige weergave.
voorbeeld: het huren van een verhuiswagen
een verhuurbedrijf rekent een vaste vergoeding van $30 en een extra $0,25 per mijl om een verhuiswagen te huren. Schrijf een lineaire vergelijking om de kosten y (in dollars) te benaderen in termen van x, het aantal gereden mijlen. Hoeveel zou een reis van 75 mijl kosten?
gebruikmakend van de helling-interceptvorm van een lineaire vergelijking, met de totale kosten gelabeld y (afhankelijke variabele) en de mijlen gelabeld x (onafhankelijke variabele):
\displaystyle y=mx+b
de totale kosten zijn gelijk aan de snelheid per mijl maal het aantal gereden mijlen plus de kosten voor de vaste vergoeding:
\displaystyle y=0,25 x+30
om de kosten van een reis van 75 mijl te berekenen, vervang 75 voor X in de vergelijking:
\displaystyle \ begin{align} y& = 0,25 x + 30\\ &&&=48.75 \end{align}
Real life Model met meerdere vergelijkingen
Het is ook mogelijk om meerdere lijnen en hun vergelijkingen te modelleren.
voorbeeld
aanvankelijk zijn treinen A en B 325 mijl van elkaar verwijderd. Trein A is reizen naar B op 50 mijl per uur en trein B is reizen naar A op 80 mijl per uur. Hoe laat zullen de twee treinen elkaar ontmoeten? Hoe ver reden de treinen op dit moment?
begin met de startposities van de treinen (y-intercepts, b). Trein A start zijn de oorsprong, (0,0). Sinds trein B is 325 mijl afstand van trein A in eerste instantie, de positie is (0,325).
ten tweede, om de vergelijkingen te schrijven die de totale afstand van elke trein in termen van tijd weergeven, bereken de snelheid van verandering voor elke trein. Aangezien trein A naar trein B reist, die een grotere y-waarde heeft, moet de snelheid van trein A positief zijn en gelijk zijn aan de snelheid van 50. Trein B rijdt richting A, die een lagere y-waarde heeft, wat B een negatieve verandering geeft: -80.
de twee lijnen zijn dus:
\displaystyle y_A=50x\\
en:
\displaystyle y_B=−80x+325
de twee treinen zullen elkaar ontmoeten waar de twee lijnen elkaar kruisen. Om uit te vinden waar de twee lijnen elkaar kruisen stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar in en los voor x op:
\displaystyle y_{a}=y_{B}
\displaystyle 50x=-80x+325
oplossen voor x geeft:
\displaystyle x=2,5
de twee treinen ontmoeten elkaar na 2,5 uur. Om te vinden waar dit is, plug 2.5 in beide vergelijkingen.
het inpluggen in de eerste vergelijking geeft ons 50(2,5)=125, wat betekent dat het voldoet na een reis 125 mijl.
Hier is het afstand versus tijd grafische model van de twee treinen:
treinen: trein a (rode lijn) wordt weergegeven door de vergelijking: y=50x, en trein B (blauwe lijn) wordt weergegeven door de vergelijking: y=-80x+325. De twee treinen ontmoeten elkaar op de kruispunten (2,5, 125), dat is na 125 mijl in 2,5 uur.
Fitting a Curve
Curve fitting with a line probeert een lijn te tekenen zodat deze het beste past bij alle gegevens.
leerdoelen
Gebruik de kleinste-kwadratenregressieformule om de regel te berekenen die het best past voor een verzameling punten
Key afhaalpunten
Key Points
- Curve fitting is nuttig voor het vinden van een curve die het beste bij de gegevens Past. Dit maakt aannames over hoe de gegevens ruwweg worden verspreid en voorspellingen over toekomstige gegevenspunten mogelijk.
- lineaire regressie probeert een lijn te tekenen die het beste bij de gegevens Past.
- gewone kleinste kwadraten-benadering is een type lineaire regressie dat de som van de kwadraten van het verschil tussen de geschatte waarde (van de lijn) en de werkelijke waarde minimaliseert.
- de helling van de lijn die n datapunten benadert wordt gegeven door m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}.
- Het y-snijpunt van de lijn die n datapunten benadert wordt gegeven door: b= \displaystyle{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{I} = \left (\bar{y} – m \bar{x} \right)}
sleuteltermen
- curve fitting: het proces van het construeren van een curve, of een wiskundige functie, die het beste heeft geschikt voor een reeks datapunten, eventueel onderhevig aan beperkingen.
- uitschieter: een waarde in een statistische steekproef die niet in een patroon past en de meeste andere gegevenspunten niet beschrijft.
- kleinste kwadraten benadering: een poging om de som van de kwadraatafstand tussen het voorspelde punt en het werkelijke punt te minimaliseren.
- lineaire regressie: een benadering voor het modelleren van de lineaire relatie tussen een afhankelijke variabele, y en een onafhankelijke variabele, x.
Curve fitting
Curve fitting is het proces van het construeren van een curve, of wiskundige functie, die het best past bij een reeks gegevenspunten, mogelijk onderhevig aan beperkingen. Curve fitting kan ofwel interpolatie, waar een exacte pasvorm aan de gegevens is vereist, of smoothing, waarin een “gladde” functie is geconstrueerd die ongeveer past bij de gegevens. Fitted curves kunnen worden gebruikt als hulpmiddel voor datavisualisatie, om waarden van een functie af te leiden waar geen gegevens beschikbaar zijn, en om de relaties tussen twee of meer variabelen samen te vatten. Extrapolatie heeft betrekking op het gebruik van een gemonteerde kromme buiten het bereik van de waargenomen gegevens, en is onderhevig aan een grotere mate van onzekerheid, aangezien deze de methode die wordt gebruikt om de kromme te construeren even goed kan weerspiegelen als de waargenomen gegevens.
in deze sectie zullen we alleen lijnen passen op gegevenspunten, maar er moet worden opgemerkt dat men veeltermfuncties, Cirkels, stukwijzefuncties en een willekeurig aantal functies aan gegevens kan aanpassen en het is een veel gebruikt onderwerp in statistieken.
lineaire regressie formule
lineaire regressie is een benadering van het modelleren van de lineaire relatie tussen een afhankelijke variabele, y en een onafhankelijke variabele, x. met lineaire regressie, een lijn in helling-intercept vorm, y=mx+b wordt gevonden dat “het beste past” de gegevens.
het eenvoudigste en misschien wel meest voorkomende lineaire regressiemodel is de gewone kleinste-kwadratenbenadering. Deze benadering probeert de som van de kwadraatafstand tussen de lijn en elk punt te minimaliseren.
\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}
Om de helling van de lijn van het beste passen, te berekenen in de volgende stappen:
- De som van het product van de x-en y-coördinaten \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
- de som van de x-coördinaten \sum_{i = 1}^{n}x_{i}.
- de som van de y-coördinaten \sum_{j = 1}^{n}y_{j}.
- de som van de kwadraten van de x-coördinaten \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}).
- de som van de x-coördinaten in het kwadraat (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
- het quotiënt van de teller en de noemer.
\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \left (\bar{y} – m \bar{x} \right) \end{align}
Om de y-as (b) bereken met behulp van de volgende stappen uit:
- het gemiddelde van De y-coördinaten. Laat \bar{y}, uitgesproken als y-bar, De gemiddelde (of gemiddelde) y-waarde van alle gegevenspunten vertegenwoordigen: \bar y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i}.
- Het gemiddelde van de x-coördinaten. Respectievelijk \bar{x}, uitgesproken als x-bar, is de gemiddelde (of gemiddelde) x-waarde van alle gegevenspunten: \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
- vervang waarden in de formule hierboven b = \bar{y} – m \bar{x}.
met behulp van deze waarden van m en b hebben we nu een lijn die de punten op de grafiek benadert.
voorbeeld: schrijf de kleinste vierkanten die passen bij de regel en grafiek de regel die het beste past bij de gegevens
voor n = 8 punten: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) en (6,4).
Voorbeeldpunten: de punten worden op een spreidingswijze weergegeven.
zoek eerst de helling (m) en y-ordinaat (b) die deze gegevens het best benadert, gebruikmakend van de vergelijkingen uit de vorige sectie:
om de helling te vinden, bereken:
- De som van het product van de x-en y-coördinaten \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
- de som van de x-coördinaten \sum_{i = 1}^{n}x_{i}.
- de som van de y-coördinaten \sum_{i = 1}^{n}y_{i}.
\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \end{align}
\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}
4. Het berekenen van de teller: het product van De x
en y-coördinaten
min één-achtste van het product van de som van de x-coördinaten en de som van de y-coördinaten zijn:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}
De teller in de helling vergelijking is:
\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25
5. Bereken de noemer: De
de som van de kwadraten van de x-coördinaten min-één-achtste van de som van de x-coördinaten in het kwadraat:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}
\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})&&=92 \end{align}
De noemer 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 en de helling is het quotiënt van de teller en de noemer: \frac{van 23,25}{42}\approx0.554.
nu voor de Y-as, (b) een achtste keer het gemiddelde van de x-coördinaten: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 en een achtste keer het gemiddelde van de y-coördinaten: \ bar{y}=\frac{13.5}{8}=1.6875.
daarom b=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} x_{i} \\:
\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.
onze eindvergelijking is daarom y = 0.554 x + 0.3025, en deze lijn wordt samen met de punten weergegeven.
kleinste kwadraten passen op Regel: De lijn gevonden door de kleinste kwadraten benadering, y = 0.554 x + 0.3025. Merk op dat 4 punten boven de lijn liggen en 4 punten onder de lijn.
uitschieters en kleinste-Kwadratenregressie
als we een punt hebben dat ver weg is van de benaderende lijn, dan zal het de resultaten scheef trekken en de lijn veel erger maken. Bijvoorbeeld, laten we zeggen in ons oorspronkelijke voorbeeld, in plaats van het punt (-1,0) hebben we (-1,6).
gebruikmakend van dezelfde berekeningen als hierboven met het nieuwe punt, zijn de resultaten:m\ong.0.0536 en b\ong.2.3035, om de nieuwe vergelijking y=0.0536 x+2.3035 te krijgen.
kijkend naar de punten en de lijn in de nieuwe figuur hieronder, past deze nieuwe lijn niet goed bij de gegevens, vanwege de uitschieter (-1,6). Inderdaad, proberen om lineaire modellen aan te passen aan gegevens die kwadratisch, kubisch, of iets niet-lineair, of gegevens met veel uitschieters of fouten kan resulteren in slechte benaderingen.
benaderde lijn: hier is de benaderde lijn gegeven het nieuwe uitschietpunt op (-1, 6).