Er is een speciaal type systeem dat aanvullende studie vereist. Dit type systeem wordt een homogeen systeem van vergelijkingen genoemd, dat we hierboven in definitie hebben gedefinieerd . Onze focus in deze sectie is om na te gaan welke soorten oplossingen mogelijk zijn voor een homogeen systeem van vergelijkingen.
beschouw de volgende definitie.
definitie \ (\Paginindex{1}\): Triviale oplossing
beschouw het homogene stelsel van vergelijkingen gegeven door \ dan is \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) altijd een oplossing voor dit systeem. We noemen dit de triviale oplossing .
als het systeem een oplossing heeft waarin niet alle \(x_1, \ cdots, x_n\) gelijk zijn aan nul, dan noemen we deze oplossing niet triviaal . De triviale oplossing vertelt ons niet veel over het systeem, omdat het zegt dat \(0=0\)! Daarom willen we bij het werken met homogene stelsels van vergelijkingen weten wanneer het systeem een niet-triviale oplossing heeft.
stel dat we een homogeen systeem hebben van \(m\) vergelijkingen, met behulp van \(n\) variabelen, en stel dat \(n > m\). Met andere woorden, er zijn meer variabelen dan vergelijkingen. Dan blijkt dat dit systeem altijd een niet-triviale oplossing heeft. Niet alleen zal het systeem een niet-triviale oplossing hebben, maar het zal ook oneindig veel oplossingen hebben. Het is ook mogelijk, maar niet vereist, om een niet-triviale oplossing te hebben als \(n = M\) en \(n<m\).
beschouw het volgende voorbeeld.
voorbeeld \(\Paginindex{1}\): Oplossingen voor een homogeen stelsel van vergelijkingen
vind de niet-triviale oplossingen voor het volgende homogene stelsel van vergelijkingen \
oplossing
merk op dat dit systeem \(m = 2\) vergelijkingen en \(n = 3\) variabelen heeft, dus \(n>m\). Daarom verwachten we bij onze vorige discussie dat dit systeem oneindig veel oplossingen zal hebben.
het proces dat we gebruiken om oplossingen te vinden voor een homogeen stelsel van vergelijkingen is hetzelfde proces dat we in de vorige paragraaf gebruikten. Eerst construeren we de vergrote matrix, gegeven door \\] Dan dragen we deze matrix naar zijn, hieronder gegeven. \\] Het overeenkomstige stelsel van vergelijkingen is \ omdat \(z\) niet wordt tegengehouden door een vergelijking, weten we dat deze variabele onze parameter wordt. Laat \(z=t\) waarbij \(t\) een willekeurig getal is. Daarom heeft onze oplossing de vorm \ vandaar dat dit systeem oneindig veel oplossingen heeft, met één parameter \(t\).
stel dat we de oplossing in een andere vorm naar het vorige voorbeeld zouden schrijven. Specifiek, \ kan worden geschreven als \ = \ left + t \ left\] merk op dat we een kolom hebben geconstrueerd uit de constanten in de oplossing (allemaal gelijk aan \(0\)), evenals een kolom die overeenkomt met de coëfficiënten op \(t\) in elke vergelijking. Terwijl we deze vorm van oplossing meer in verdere hoofdstukken zullen bespreken, overweeg nu de kolom van coëfficiënten van de parameter \(t\). In dit geval is dit de kolom \(\left\).
er is een speciale naam voor deze kolom, die basisoplossing is. De basisoplossingen van een systeem zijn kolommen opgebouwd uit de coëfficiënten op parameters in de oplossing. We geven vaak basisoplossingen aan door \(X_1, X_2\) etc. afhankelijk van het aantal oplossingen. Daarom heeft voorbeeld de basisoplossing \(X_1 = \left\).
we onderzoeken dit verder in het volgende voorbeeld.
voorbeeld \(\Paginindex{1}\): basisoplossingen van een homogeen systeem
overweeg het volgende homogene stelsel van vergelijkingen. \ Vind de basisoplossingen voor dit systeem.
oplossing
de verhoogde matrix van dit systeem en de resulterende zijn \ \ rightarrow \ cdots \ rightarrow \ left\] wanneer geschreven in vergelijkingen, wordt dit systeem gegeven door \ Let op dat alleen \(x\) overeenkomt met een draaikolom. In dit geval hebben we twee parameters, één voor \(y\) en één voor \(z\). Laat \(y = s\) en \(z=t\) voor alle getallen \(s\) en \(t\). Dan wordt onze oplossing \ die kan worden geschreven als \ = \ left + s \ left + t \ left\] je kunt hier zien dat we twee kolommen met coëfficiënten hebben die overeenkomen met parameters, specifiek één voor \(s\) en één voor \(t\). Daarom heeft dit systeem twee basisoplossingen! Dit zijn \, X_2 = \left\]
We presenteren nu een nieuwe definitie.
definitie \(\Paginindex{1}\): lineaire combinatie
laat \(X_1,\cdots ,X_n,V\) kolommatrices zijn. Dan is \(V\) een lineaire combinatie van de kolommen \(X_1,\cdots , X_n\) als er scalars bestaan, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) zodanig dat \
een opmerkelijk resultaat van deze sectie is dat een lineaire combinatie van de basisoplossingen weer een oplossing voor het systeem is. Nog opmerkelijker is dat elke oplossing kan worden geschreven als een lineaire combinatie van deze oplossingen. Als we daarom een lineaire combinatie van de twee oplossingen als voorbeeld nemen, zou dit ook een oplossing zijn. We zouden bijvoorbeeld de volgende lineaire combinatie kunnen nemen
\ + 2 \left = \left\] neem even de tijd om te controleren of \ = \left\]
in feite een oplossing is voor het systeem in Voorbeeld .
een andere manier waarop we meer informatie kunnen vinden over de oplossingen van een homogeen systeem is door de rang van de bijbehorende coëfficiënt matrix te overwegen. We definiëren nu wat wordt bedoeld met de rang van een matrix.
definitie \(\Paginindex{1}\): rang van een Matrix
laat \(A\) een matrix zijn en beschouw elk van \(A\). Dan hangt het nummer \(r\) van de leidende vermeldingen van \(A\) niet af van de keuze die je kiest, en wordt de rang van \(A\) genoemd. We duiden het aan met Rang (\(A\)).
evenzo kunnen we het aantal draaiposities (of draaikolommen) tellen om de rang van \(A\) te bepalen.
voorbeeld \(\Paginindex{1}\): Het vinden van de rang van een Matrix
beschouw de matrix \\] Wat is zijn rang?
oplossing
eerst moeten we de van \(A\) vinden. Door middel van het gebruikelijke algoritme, vinden we dat dit \\] hier hebben we twee leidende items, of twee draaiposities, hierboven weergegeven in dozen.De rang van \(A\) is \(r = 2.\)
merk op dat we hetzelfde antwoord zouden hebben bereikt als we de van \(A\) hadden gevonden in plaats van de .
stel dat we een homogeen systeem hebben van \(m\) vergelijkingen in \(n\) variabelen, en stel dat \(n > m\). Uit onze bovenstaande discussie weten we dat dit systeem oneindig veel oplossingen zal hebben. Als we kijken naar de rang van de coëfficiënt matrix van dit systeem, kunnen we nog meer te weten komen over de oplossing. Merk op dat we alleen kijken naar de coëfficiënt matrix, niet de hele augmented matrix.
stelling \(\Paginindex{1}\): rang en oplossingen voor een homogeen systeem
laat \(A\) de \(M \times n\) coëfficiënt matrix zijn die overeenkomt met een homogeen stelsel van vergelijkingen, en stel dat \(A\) rang \(r\) heeft. Dan heeft de oplossing voor het bijbehorende systeem \(n-r\) parameters.
beschouw ons bovenstaande voorbeeld in de context van deze stelling. Het systeem in dit voorbeeld heeft \(m = 2\) vergelijkingen in \(n = 3\) variabelen. Ten eerste, omdat \(n>m\), weten we dat het systeem een niet-triviale oplossing heeft, en dus oneindig veel oplossingen. Dit vertelt ons dat de oplossing minstens één parameter zal bevatten. De rang van de coëfficiënt matrix kan ons nog meer vertellen over de oplossing! De rang van de coëfficiënt matrix van het systeem is \(1\), omdat het een leidende ingang heeft. Stelling vertelt ons dat de oplossing \(n-r = 3-1 = 2\) parameters zal hebben. U kunt controleren of dit waar is in de oplossing voor voorbeeld .
merk op dat als \(n=m\) of \(n<m\), het mogelijk is om een unieke oplossing (die de triviale oplossing zal zijn) of oneindig veel oplossingen te hebben.
We zijn hier niet beperkt tot homogene stelsels van vergelijkingen. De rang van een matrix kan worden gebruikt om te leren over de oplossingen van elk systeem van lineaire vergelijkingen. In het vorige hoofdstuk bespraken we dat een stelsel van vergelijkingen geen oplossing kan hebben, een unieke oplossing, of oneindig veel oplossingen. Stel dat het systeem consistent is, of het homogeen is of niet. De volgende stelling vertelt ons hoe we de rang kunnen gebruiken om te leren over het type oplossing dat we hebben.
stelling \(\Paginindex{1}\): rang en oplossingen voor een Consistent stelsel van vergelijkingen
laat \(A\) de \(M \times \left( n+1 \right)\) verhoogde matrix zijn die overeenkomt met een consistent stelsel van vergelijkingen in \(n\) variabelen, en stel dat \(A\) rang \(r\) heeft. Dan
-
het systeem heeft een unieke oplossing als \(r = n\)
-
het systeem heeft oneindig veel oplossingen als \(r < n\)
We zullen hier geen formeel bewijs van geven, maar overwegen de volgende discussies.
-
geen oplossing de bovenstaande stelling veronderstelt dat het systeem consistent is, dat wil zeggen dat het een oplossing heeft. Het blijkt dat het mogelijk is dat de augmented matrix van een systeem zonder oplossing een rang \(r\) heeft zolang als \(r>1\). Daarom moeten we weten dat het systeem consistent is om deze stelling te gebruiken!
-
unieke oplossing veronderstel \(r = n\). Dan is er een draaipositie in elke kolom van de coëfficiënt matrix van \(A\). Daarom is er een unieke oplossing.
-
oneindig veel oplossingen veronderstellen \(r<n\). Dan zijn er oneindig veel oplossingen. Er zijn minder draaiposities (en dus minder toonaangevende items) dan kolommen, wat betekent dat niet elke kolom een draaikolom is. De kolommen die \(niet\) draaikolommen zijn, komen overeen met parameters. In feite hebben we in dit geval\ (n-r\) parameters.