Introduksjon
- Hvis det er en fysisk mengde, som stress, så kalles det vanligvis en tensor.Hvis det ikke er en fysisk mengde, kalles det vanligvis en matrise.
- de aller fleste tekniske tensorer er symmetriske. En vanlig mengdedet er ikke symmetrisk, og ikke referert til som en tensor, er en rotasjonsmatrise.
- Tensorer er faktisk enhver fysisk mengde som kan representeres av en skalar, vektor eller matrise.Nullordens tensorer, som masse, kalles skalarer, mens 1. ordens tensorer kalles vektorer.Eksempler på høyere orden tensors inkluderer stress, belastning, og stivhet tensors.
- rekkefølgen, eller rang, av en matrise eller tensor er antall subscriptsit inneholder. En vektor er en 1. rang tensor. En 3×3 stress tensor er 2.rang.
- Koordinattransformasjoner av tensorer diskuteres i detalj her.
Identitetsmatrise
identitetsmatrisen Er
\\]
Multiplisere noe med identitetsmatrisen er som å multiplisere med en.
Tensor Notasjon
identitetsmatrisen i tensor notasjon er ganske enkelt \ (\delta_{ij} \).Det Er Kronecker Delta som er lik 1 når \ (i = j \) og 0 ellers.
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
Er Det En Matrise eller Ikke?
et notat fra puristene… Identitetsmatrisen er en matrise, Men Kronecker deltateknisk er det ikke. \( \delta_{ij}\) er en enkelt skalarverdi som er enten 1 eller 0 avhengig av verdiene til \(i\) og \ (j\). Dette er også grunnen til at tensor notasjon ikke er fet, fordi det alltid refererer til individuelle komponenter av tensorer, men aldritil en tensor som helhet.
Følg denne lenken for en underholdende diskusjon mellom noen som gjør det, og noen andre som ikke gjør det.
Transponere
transponere av en matrise speiler komponentene om hoveddiagonalen. Den transposeof matrise \({\bf a}\) er skrevet \({\bf a}^{ \ !T}\).
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
Transponere Eksempel
\, \ qquad \ tekst{deretter} \ qquad {\bf a}^{ \ !!T} = \ left\]
Tensor Notasjon
transponeringen av \(a_{ij}\) er \(a_{j\, i}\).
Determinanter
determinanten til en matrise er skrevet som det(\({\bf a}\)) eller \(|{\bf a}|\), og beregnes som
\
hvis determinanten til en tensor eller matrise er null, har den ikke en invers.
Tensor Notasjon
beregningen av en determinant kan skrives i tensor notasjon på et par forskjellige måter
\ determinanten av produktet av to matriser er det samme som produktet av determinanter av de to matrisene. Med andre ord,
\
determinanten av en deformasjonsgradientforholdet mellom innledende og endelig volum av et differensialelement.
Inverses
den inverse av matrisen \({\bf a}\) er skrevet som \({\bf a}^{\!-1}\) og har følgende svært viktige egenskap (se avsnittet om matrisemultiplikasjon nedenfor)
\
Hvis \({\bf b}\) er den inverse av \({\bf a}\), så
\
Tensor Notasjon
den inverse av \(a_{ij}\) er ofte skrevet som \(a^{-1}_{ij}\).Merk at dette sannsynligvis ikke er strengt korrekt siden,som diskutert tidligere, verken \(a_{ij}\) eller \(a^{-1}_{ij}\) er teknisk matriser selv.De er bare komponenter i en matrise. Ja vel…
den inverse kan beregnes ved hjelp
\
Matrix Inverse Webside
denne siden beregner den inverse av en 3×3 matrise.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/InverseForm.png)
Transposes Av Inverser Av Transposes av…
den inverse av en transponering av en matrise er lik transponeringen av en invers av matrisen. Siden ordren ikke betyr noe, forkortes dobbeltoperasjonen bare som \({\bf{a}}^{ \ !- T}\).
\
Matrise Tillegg
Matriser og tensorer er lagt komponent for komponent akkurat som vektorer.Dette uttrykkes lett i tensor notasjon.
\
Matrisemultiplikasjon (Punktprodukter)
prikkproduktet av to matriser multipliserer hver rad av den første med hver kolonneav den andre. Produkter er ofte skrevet med en prikk i matrisenotasjon som\ ({\bf a} \ cdot {\bf b} \), men noen ganger skrevet uten prikken som \( {\bf a} {\bf b} \). Multiplikasjonsregler er faktisk best forklart gjennom tensor notasjon.
\
(Merk at ingen prikk brukes i tensor notasjon.) \(K\) i begge faktorene innebærer automatisk
\
som er ith-raden i den første matrisen multiplisert med jth-kolonnen i den andre matrisen. Hvis du for eksempel vil beregne \(C_{23}\), så \(i=2\) og \(j=3\), og
\
Matrix Multiplikasjon Webside
denne siden beregner prikkproduktet av to 3×3 matriser.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/MatMultForm.png)
Matrisemultiplikasjon Er Ikke Kommutativ
det er svært viktig å erkjenne at matrisemultiplikasjon IKKE er kommutativ, dvs.
\
Transponerer og Inverser Av Produkter
transponeringen av et produkt er lik produktet av transposene i omvendt rekkefølge, ogden inverse av et produkt er lik produktet av inversene i omvendt rekkefølge.
Merk at «i omvendt rekkefølge» er kritisk.Dette brukes mye i seksjonene på deformasjonsgradienter og Grønne stammer.
\
dette gjelder også for flere produkter. For eksempel
\
Produkt med Egen Transponere
produktet av en matrise og sin egen transponere er alltid en symmetrisk matrise.\({\bf A}^t \cdot {\bf a} \) og \({\bf a} \cdot {\bf A}^T\)begge gir symmetriske, selv om forskjellige resultater.Dette brukes mye i seksjonene på deformasjonsgradienter og Grønne stammer.
Dobbel Prikk Produkter
den dobbel prikk produkt av to matriser produserer en skalar result.It er skrevet i matrise notasjon som \({\bf a}: {\bf b}\).Selv om sjelden brukt utenfor kontinuum mekanikk, er faktisk ganske vanlig i avanserte anvendelser oflinear elastisitet. For eksempel gir \ ({1 \ over 2} \ sigma: \ epsilon\) belastningsenergitettheten i liten skala lineær elastisitet.Igjen er beregningen best forklart med tensor notasjon.
\
Siden \(i\) og \(j\) abonnementene vises i begge faktorer, er de begge summert for å gi
\