Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, ordnet slik at summen av tall i en horisontal, vertikal eller hoveddiagonal linje alltid er det samme tallet (Kraitchik 1942, s. 142; Andrews 1960, s. 1; Gardner 1961, s. 130; Madachy 1979, s. 84; Benson og Jacoby 1981, s. 3; ball og coxeter 1987, s. 193), kjent som den magiske konstanten

hvis hvert tall i en magisk firkant trekkes fra, blir En annen magisk firkant oppnådd kalt Komplementær magisk Firkant. En firkant bestående av påfølgende tall som begynner med 1 er noen ganger kjent som en «normal» magisk firkant.

den unike normale rekkefølgen tre var kjent for den gamle Kinesen, som kalte Den Lo Shu. En versjon av order-4 magic square med tallene 15 og 14 i tilstøtende midterste kolonner i nederste rad kalles Dü ‘ s magic square. Magiske firkanter av ordre 3 til 8 er vist ovenfor.

den magiske konstanten for en rekkefølgen generelt magisk firkant som starter med et heltall og med oppføringer i en økende aritmetisk serie med forskjell mellom begrepene er

(hunter og madachy 1975).

det er et uløst problem å bestemme antall magiske firkanter av en vilkårlig rekkefølge, men antall forskjellige magiske firkanter (unntatt de som oppnås ved rotasjon og refleksjon) av rekkefølge , 2,… er 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, s. 87). De 880 kvadrater av ordre fire ble nummerert Av Fré de Bessy i 1693, og er illustrert I Berlekamp et al. (1982, s. 778-783). Antallet magiske firkanter ble beregnet Av R. Schroeppel i 1973. Antallet kvadrater er ikke kjent, Men Pinn Og Wieczerkowski (1998) anslo at det var Ved Hjelp Av Monte Carlo-simulering og metoder fra statistisk mekanikk. Metoder for opplisting magiske firkanter er diskutert Av Berlekamp et al. (1982) Og På MathPages hjemmeside.en firkant som ikke er magisk bare fordi en eller begge av de viktigste diagonale summene ikke er lik den magiske konstanten kalles en semimagisk firkant. Hvis alle diagonaler (inkludert de som oppnås ved å pakke rundt) av en magisk kvadratsum til den magiske konstanten, sies torget å være et panmagisk torg(også kalt et diabolisk torg eller pandiagonal torg). Hvis du erstatter hvert tall med sin firkant produserer et annet magisk torg, sies torget å være et bimagisk torg (eller dobbelt magisk torg). Hvis et kvadrat er magisk for og , kalles det et trimagisk kvadrat (eller trebly magic square). Hvis alle par av tall symmetrisk motsatt senter summen til , er kvadratet sies å være en assosiativ magisk kvadrat.

Kvadrater som er magiske under multiplikasjon i stedet for addisjon kan konstrueres og er kjent som multiplikasjon magiske firkanter. I tillegg kan firkanter som er magiske under både tillegg og multiplikasjon konstrueres og er kjent som addisjon-multiplikasjon magiske firkanter (Hunter And Madachy 1975).

Kraitchik (1942) gir generelle teknikker for å konstruere jevne og odde kvadrater av orden . For odd, kan en veldig grei teknikk kjent som Den Siamesiske metoden brukes, som illustrert ovenfor (Kraitchik 1942, s. 148-149). Det begynner med å plassere en 1 i midtfeltet i toppraden, og deretter plassere etterfølgende tall i kvadratet en enhet over og til høyre. Tellingen er viklet rundt, slik at fallende av toppen returnerer på bunnen og faller av høyre avkastning til venstre. Når en firkant er oppstått som allerede er fylt, er neste nummer i stedet plassert under den forrige og metoden fortsetter som før. Metoden, også kalt De La Loubere metode, er påstått å ha blitt først rapportert I Vesten når de La Loubere tilbake til Frankrike etter å ha fungert som ambassadør Til Siam.

en generalisering av denne metoden bruker en «ordinær vektor» som gir forskyvningen for hvert ikke-kolliderende trekk og en «break vector» som gir forskyvningen å introdusere ved en kollisjon. Standard siamese metoden har derfor vanlig vektor (1, og bryte vektor (0, 1). For at dette skal produsere en magisk firkant, må hver pause flytte ende opp på en ufylt celle. Spesielle klasser av magiske firkanter kan konstrueres ved å vurdere de absolutte summene og . Ring settet av disse tallene summendiffs(summer og forskjeller). Hvis alle sumdiffer er relativt prime til og torget er et magisk torg, så er torget også et panmagisk torg. Denne teorien stammer fra de La Hire. Tabellen nedenfor gir sumdiffs for bestemte valg av ordinære og bryte vektorer.

En annen metode for å generere magiske firkanter av merkelig rekkefølge har blitt diskutert Av Jh Conway under navnet» pastill » – metoden. Som illustrert ovenfor, i denne metoden, er de odde tallene bygget opp langs diagonale linjer i form av en diamant i den sentrale delen av torget. De jevne tallene som ble savnet, legges deretter sekvensielt langs fortsettelsen av diagonalen oppnådd ved å pakke rundt torget til den innpakket diagonalen når sitt opprinnelige punkt. I ovennevnte firkant fyller den første diagonalen derfor inn 1, 3, 5, 2, 4, den andre diagonalen fyller inn 7, 9, 6, 8, 10, og så videre.

en elegant metode for å konstruere magiske firkanter av dobbelt jevn rekkefølge er å tegne s gjennom hver subsquare og fylle alle rutene i rekkefølge. Erstatt deretter hver oppføring på en krysset diagonal ved eller tilsvarende omvendt rekkefølgen på de kryssede oppføringene. Således i eksemplet ovenfor for er de kryssede tallene opprinnelig 1, 4,…, 61, 64, så oppføring 1 er erstattet med 64, 4 med 61, etc.

en meget elegant metode for å konstruere magiske kvadrater av enkeltvis jevn rekkefølge med (Det er ingen magisk firkant av orden 2) skyldes Jh Conway, som kaller det «LUX» – metoden. Lag en matrise bestående av rader av s, 1 Rad Av Oss Og rader av s, hele lengden . Bytt den midterste U med L over den. Generer nå det magiske kvadratet av orden ved hjelp Av Den Siamesiske metoden sentrert på bokstavsrekken (starter i midtfeltet i øverste rad), men fyll hvert sett med fire firkanter rundt et brev sekvensielt i henhold til rekkefølgen foreskrevet av brevet. Den rekkefølgen er illustrert på venstre side av figuren ovenfor, og det ferdige torget er illustrert til høyre. «Figurene» av bokstavene L, U og X foreslår naturlig fyllingsordren, derav navnet på algoritmen.Variasjoner på magiske firkanter kan også konstrueres ved hjelp av bokstaver (enten ved å definere kvadratet eller som oppføringer i det), for eksempel alphamagic square og templar magic square.

Ulike numerologiske egenskaper har også vært forbundet med magiske firkanter. Pivari knytter rutene illustrert ovenfor Med Henholdsvis Saturn, Jupiter, Mars, Solen, Venus, Merkur og Månen. Attraktive mønstre oppnås ved å koble påfølgende tall i hver av rutene(med unntak Av Sun magic square).