en funksjon relaterer en inngang til en utgang.
 |
det er som en maskin som har inngang og utgang. og utgangen er relatert på en eller annen måte til inngangen. |
| f(x) |
«f(x) = … «er den klassiske måten å skrive en funksjon på . |
Inngang, Forhold, Utgang
vi vil se mange måter å tenke på funksjoner, Men det er alltid tre hoveddeler:
- inngangen
- forholdet
- utgangen
Eksempel: «Multipliser ved 2» er en veldig enkel funksjon.
her er de tre delene:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
Noen Eksempler På Funksjoner
- x2 (kvadrering) er en funksjon
- x3+1 er også en funksjon
- Sinus, Cosinus og Tangent er funksjoner som brukes i trigonometri
- og det er mye mer!
Men vi skal ikke se på bestemte funksjoner …
… i stedet vil vi se på den generelle ideen om en funksjon.
Navn
For Det Første er det nyttig å gi en funksjon et navn.
det vanligste navnet er «f», men vi kan ha andre navn som» g»… eller til og med» marmelade » hvis vi vil.
Men la oss bruke «f»:
Vi sier «f av x er lik x kvadrert»
hva som går inn i funksjonen er satt i parenteser () etter navnet på funksjonen:
så f(x) viser oss at funksjonen kalles «f», og «x» går inn
Og vi ser vanligvis hva en funksjon gjør med inngangen:
f(x) = x2 viser oss at funksjonen «f» tar «x» og firkanter den.
Eksempel: med f(x) = x2:
- blir en inngang på 4
- en utgang på 16.
faktisk kan vi skrive f (4) = 16.
» x » er Bare En Plassholder!
ikke bli for opptatt av «x», det er bare der for å vise oss hvor inngangen går og hva som skjer med det.
Det kan være noe!
så denne funksjonen:
f(x) = 1 – x + x2
Er den samme funksjonen som:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(A) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
variabelen (x, q, A, etc) er bare der, så vi vet hvor du skal sette verdiene:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
Noen ganger Er Det Ikke Noe Funksjonsnavn
noen ganger har en funksjon ikke noe navn, og vi ser noe som:
y = x2
Men det er fortsatt:
- en inngang (x)
- et forhold (kvadrering)
- og en utgang (y)
Relatert
på toppen sa vi at en funksjon var som en maskin. Men en funksjon har egentlig ikke belter eller tannhjul eller noen bevegelige deler – og det ødelegger faktisk ikke det vi legger inn i det!
en funksjon relaterer en inngang til en utgang.
Å Si «f(4) = 16» er som å si at 4 på en eller annen måte er relatert til 16. Eller 4 → 16
Eksempel: dette treet vokser 20 cm hvert år, så høyden på treet er relatert til sin alder ved hjelp av funksjonen h:
h(alder) = alder × 20
Så, hvis alderen er 10 år, er høyden:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
her er noen eksempelverdier:
| alder | h(alder) = alder × 20 | |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 20 | 3.2 | 64 |
| 15 | 300 | |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
«Numbers» seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… det kan også være bokstaver («A»→» B»), ELLER ID-koder («A6309″→» Pass») eller stranger things. |
så vi trenger noe kraftigere, og det er her settene kommer inn:
 |
et sett er en samling av ting.Her er noen eksempler:
|
hver enkelt ting i settet (for eksempel «4» eller «hat») kalles et medlem eller element.
så, en funksjon tar elementer av et sett, og gir tilbake elementer av et sett.
En Funksjon Er Spesiell
Men en funksjon har spesielle regler:
- Den må fungere for alle mulige inngangsverdier
- Og den har bare ett forhold for hver inngangsverdi
Dette kan sies i en definisjon:
Formell Definisjon Av En Funksjon
en funksjon relaterer hvert element av et sett
med nøyaktig ett element av en annensett
(muligens det samme settet).
De To Viktige Tingene!
|
«…hvert element…»betyr at hvert element I X er relatert til noe element I Y. vi sier at funksjonen dekker X (relaterer hvert element av Det). (men noen elementer Av Y er kanskje ikke relatert til i det hele tatt, noe som er greit.) |
|
«…nøyaktig en…»betyr at en funksjon er enkelt verdsatt. Det vil ikke gi tilbake 2 eller flere resultater for samme inngang. Så «f (2) = 7 eller 9» er ikke riktig! |
|
«en-til-mange» er ikke tillatt, men «mange-til-en» er tillatt: |
||
| (en-til-mange) dette er ikke ok i en funksjon | men dette er ok i en funksjon | |
når en forholdet følger ikke disse to reglene, så det er ikke en funksjon … det er fortsatt et forhold, bare ikke en funksjon.
Eksempel: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- Hvert element I X er relatert Til Y
- Ingen element I X har to eller flere relasjoner
Så det følger reglene.
(Legg merke til hvordan både 4 og -4 forholder seg til 16, som er tillatt.)
Eksempel: dette forholdet er ikke en funksjon:
Det er et forhold, men det er ikke en funksjon, av disse grunnene:
- Verdien «3» I X har ingen sammenheng I Y
- Verdien «4» I X har ingen sammenheng I Y
- Verdien «5» er relatert til mer enn en verdi I Y
(men det faktum at «6» I Y ikke har noe forhold spiller ingen rolle)
Vertikal linjetest
på en graf betyr ideen Om Enkeltverdi at ingen vertikal linje krysser mer enn en Verdi.
hvis den krysser mer enn en gang, er den fortsatt en gyldig kurve, men er ikke en funksjon.For å finne ut mer kan Du lese Injektiv, Surjektiv og Bijektiv
Uendelig Mange
mine eksempler har bare noen få verdier, men funksjoner fungerer vanligvis på sett med uendelig mange elementer.
Eksempel: y = x3
- inngangssettet «X» er Alle Reelle Tall
- utgangssettet «Y» er også Alle De Reelle Tallene
vi kan ikke vise alle verdiene, så her er bare noen få eksempler:
| x: x | y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
Domene, Codomain og Range
i våre eksempler ovenfor
- settet «X» kalles Domenet,
- settet «Y» kalles Codomain, og
- settet med elementer som blir pekt på I Y (de faktiske verdiene som produseres av funksjonen) kalles rekkevidde.
Vi har en spesiell side Om Domene, Range Og Codomain hvis du vil vite mer.
Så Mange Navn!
Funksjoner har blitt brukt i matematikk i svært lang tid, og mange forskjellige navn og måter å skrive funksjoner på har oppstått.
her er noen vanlige begreper du bør bli kjent med:
Eksempel: z = 2u3:
- «u» kan kalles «uavhengig variabel»
- «z» kan kalles «avhengig variabel» (det avhenger av verdien av u)
eksempel: f(4) = 16:
- «4» kan kalles «Argumentet»
- «16» kan kalles «verdien av funksjonen»
eksempel: h(år) = 20 × år:
- h() er funksjonen
- «år» kan kalles «argumentet», eller «variabelen»
- en fast verdi som «20» kan kalles en parameter
vi kaller ofte en funksjon «f(x)» når faktisk funksjonen er virkelig «f»
bestilte par
og her er en annen måte å tenke på funksjoner:
skriv inngang og utgang av en funksjon som et «bestilt par», for eksempel (4,16).
de kalles bestilte par fordi inngangen alltid kommer først, og utgangen andre:
(input, output)
så det ser slik ut:
(x, f(x))
Eksempel:
(4,16) betyr at funksjonen tar inn «4» og gir ut «16»
Sett Med Bestilte Par
en funksjon kan da defineres som et sett med bestilte par:
eksempel: {(2,4), (3,5), (7,3)} er en funksjon som sier
«2 er relatert til 4», «3 er relatert til 5» og «7 er relatert 3».
legg Også merke til at:
- domenet er {2,3,7} (inngangsverdiene)
- og området er {4,5,3} (utgangsverdiene)
men funksjonen må være enkelt verdsatt, så vi sier også
«hvis den inneholder (a, b) og (a, c), må b være lik c»
Som bare er en måte å si at en inngang på «a» kan ikke produsere to forskjellige resultater.
Eksempel: {(2,4), (2,5), (7,3)} er ikke en funksjon fordi {2,4} og {2,5} betyr at 2 kan være relatert til 4 eller 5.
Med andre ord er det ikke en funksjon fordi den ikke er enkelt verdsatt
En Fordel Med Bestilte Par
vi kan tegne dem…
… fordi de også er koordinater!
så et sett med koordinater er også en funksjon (hvis de følger reglene ovenfor, det vil si)
En Funksjon kan være I Stykker
Vi kan lage funksjoner som oppfører seg annerledes avhengig av inngangsverdien
Eksempel: en funksjon med to stykker:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
 |
Here are some example values:
|
Les Mer På Stykkevis Funksjoner.
Eksplisitt vs Implisitt
Et siste emne: begrepene «eksplisitt» og «implisitt».
Eksplisitt er når funksjonen viser oss hvordan vi går direkte fra x til y, for eksempel:
y = x3 − 3
når vi vet x, kan vi finne y
det er den klassiske y = f(x) stilen som vi ofte jobber med.
Implisitt er Når det ikke er gitt direkte som:
x2 − 3xy + y3 = 0
når vi vet x, hvordan finner vi y?
Det kan være vanskelig (eller umulig!) å gå direkte fra x til y.
«Implisitt» kommer fra «implisitt», med andre ord vist indirekte.
Grafer
- Funksjonen Grapher kan bare håndtere eksplisitte funksjoner,
- Ligningen Grapher kan håndtere begge typer (men tar litt lengre tid, og noen ganger blir det galt).
Konklusjon
- en funksjon relaterer innganger til utganger
- en funksjon tar elementer fra et sett (domenet) og relaterer dem til elementer i et sett (kodomenet).
- alle utgangene (de faktiske verdiene relatert til) kalles sammen området
- en funksjon er en spesiell type relasjon der:
- hvert element i domenet er inkludert, og
- enhver inngang produserer bare en utgang (ikke dette eller det)
- en inngang og dens matchende utgang kalles sammen et bestilt par
- så en funksjon kan også ses som et sett med bestilte par