Grenseløs Algebra

Endringshastigheter

Lineære funksjoner gjelder for reelle problemer som involverer en konstant hastighet.

Endringshastighet

Lineære ligninger inkluderer ofte en endringshastighet. For eksempel kalles hastigheten der avstanden endres over tid hastighet. Hvis to punkter i tid og den totale distansen er kjent, kan endringshastigheten, også kjent som helling, bestemmes. Fra denne informasjonen kan en lineær ligning skrives, og deretter kan spådommer gjøres fra ligningen av linjen.

hvis enheten eller mengden i forhold til hvilken noe endrer seg ikke er spesifisert, er frekvensen vanligvis per tidsenhet. Den vanligste typen hastighet er «per tidsenhet», for eksempel hastighet, hjertefrekvens og flux. Forholdstall som har en ikke-tid nevner inkluderer valutakurser, leseferdighet og elektrisk felt (i volt/meter).

ved å beskrive enhetene i en hastighet, brukes ordet «per» til å skille enhetene til de to målingene som brukes til å beregne hastigheten (for eksempel er en hjertefrekvens uttrykt «slag per minutt»).

Endringshastighet: Virkelige Verden Søknad

en idrettsutøver begynner han normal praksis for neste maraton i løpet av kvelden. Klokka 6: 00 begynner han å løpe og forlater hjemmet sitt. Klokken 7: 30 fullfører utøveren løp hjemme og har kjørt totalt 7,5 miles. Hvor rask var gjennomsnittsfarten i løpet av løpet?

endringshastigheten er hastigheten på hans løp; avstand over tid. Derfor er de to variablene tid (x) og avstand (y). Det første punktet er på huset hans, hvor hans klokke lese 6: 00 pm. Dette er begynnelsen tid så la oss sette den til 0. Så vårt første poeng er (0,0) fordi han ikke løp hvor som helst ennå. La oss tenke på vår tid i timer. Vårt andre punkt er 1,5 timer senere, og vi kjørte 7,5 miles. Det andre punktet er (1,5, 7,5). Vår hastighet (endringshastighet) er ganske enkelt skråningen av linjen som forbinder de to punktene. Skråningen, gitt av: m = \frac{y_{2} – y_{1}}{x_{2} – x_{1}} blir m = \frac{7.5}{1.5}=5 miles per time.

Eksempel: Graf linjen som illustrerer hastighet

for å tegne denne linjen trenger vi y-avskjæringen og skråningen for å skrive ligningen. Hellingen var 5 miles per time, og siden utgangspunktet var på (0,0), er y-avskjæringen 0. Så vår endelige funksjon er y=5x.

med denne nye funksjonen kan vi nå svare på noen flere spørsmål.

• Hvor mange miles løp han etter den første halvtimen? Bruk ligningen, hvis x=\frac{1}{2}, løs for y. hvis y=5x, så y=5 (0,5)=2,5 miles.
• Hvis han fortsatte å løpe i samme tempo i totalt 3 timer, hvor mange miles vil han ha kjørt? Hvis x=3, løs for y. hvis y = 5x, så y=5 (3) = 15 miles.

det er mange slike applikasjoner for lineære ligninger. Alt som innebærer en konstant endringshastighet, kan være pent representert med en linje med skråningen. Faktisk, så lenge du bare har to poeng, hvis du vet at funksjonen er lineær, kan du tegne den og begynne å stille spørsmål! Bare vær sikker på hva du spør og grafer gir mening. For eksempel, i maratoneksemplet, er domenet egentlig bare x\geq0, siden det ikke er fornuftig å gå inn i negativ tid og miste miles!

Lineære Matematiske Modeller

Lineære matematiske modeller beskriver virkelige applikasjoner med linjer.

Matematiske Modeller

en matematisk modell er en beskrivelse av et system ved hjelp av matematiske begreper og språk. Matematiske modeller brukes ikke bare i naturvitenskap og ingeniørfag, men også i samfunnsvitenskap. Lineær modellering kan inkludere befolkningsendring, telefonsamtaler, kostnaden for å leie en sykkel, vektstyring eller fundraising. En lineær modell inkluderer endringshastigheten (m) og den opprinnelige mengden, y-avskjæringen b. Etter at modellen er skrevet og en graf av linjen er gjort, enten man kan brukes til å gjøre spådommer om atferd.

Virkelig Lineær Modell

Mange daglige aktiviteter krever bruk av matematiske modeller, kanskje ubevisst. En vanskelighet med matematiske modeller ligger i å oversette den virkelige verden søknad til en nøyaktig matematisk representasjon.

Eksempel: Leie En Flyttebil

et utleiefirma belaster en fast avgift på $30 og en ekstra $ 0,25 per kilometer for å leie en flyttebil. Skriv en lineær ligning for å tilnærme kostnaden y (i dollar) i form av x, antall miles drevet. Hvor mye koster en 75 mil tur?

Ved hjelp av skråningsskjærings form av en lineær ligning, med den totale kostnaden merket y (avhengig variabel) og miles merket x (uavhengig variabel):

\displaystyle y=mx+b

den totale kostnaden er lik satsen per mil ganger antall miles kjørt pluss kostnaden for flat avgift:

\displaystyle y=0,25 x+30

for å beregne kostnadene for en 75 mil tur, erstatning 75 for x i ligningen:

\displaystyle \begin{align} y&=0,25 x+30\\ &&& =48.75 \ end{align}

Real Life Model Med Flere Ligninger

det er også mulig å modellere flere linjer og deres ligninger.

Eksempel

i Utgangspunktet er tog A Og B 325 miles unna hverandre. Tog A reiser mot B på 50 miles per time og tog B reiser mot a på 80 miles per time. Når skal de to togene møtes? På denne tiden hvor langt gjorde togene reise?

først begynner du med startposisjonene til togene, (y-avskjærer, b). Tog a starte er opprinnelsen, (0,0). Siden tog B er 325 miles unna tog A i utgangspunktet, er dens posisjon (0,325).For Det Andre, for å skrive ligningene som representerer hvert togs totale avstand i form av tid, beregne endringshastigheten for hvert tog. Siden tog A reiser mot tog B, som har en større y-verdi, må togets endringshastighet være positiv og lik hastigheten på 50. Tog B reiser mot A, som har en mindre y-verdi, noe Som gir B en negativ endringshastighet: -80.

de to linjene er således:

\displaystyle y_A=50x\\

Og:

\displaystyle y_B=−80x+325

de to togene møtes der de to linjene krysser hverandre. For å finne hvor de to linjene krysser hverandre, sett ligningene lik hverandre og løse for x:

\displaystyle y_{a}=y_{b}

\displaystyle 50x= – 80x + 325

Løse for x gir:

\displaystyle x=2,5

de to togene møtes etter 2,5 timer. For å finne hvor dette er, plugg 2.5 inn i begge ligninger.Plugging den inn i den første ligningen gir oss 50 (2,5)=125, noe som betyr at den møtes etter en reise 125 miles.

her er avstand versus tid grafisk modell av de to togene:

Montering Av En Kurve

Kurvetilpasning med en linje forsøker å tegne en linje slik at den» passer best » alle dataene.

Kurvetilpasning

Kurvetilpasning Er prosessen med å konstruere en kurve, eller matematisk funksjon, som passer best til en rekke datapunkter, muligens underlagt begrensninger. Kurvetilpasning kan innebære enten interpolering, hvor en nøyaktig tilpasning til dataene kreves, eller utjevning, der en» jevn » funksjon er konstruert som omtrent passer til dataene. Tilpassede kurver kan brukes som et hjelpemiddel for datavisualisering, for å utlede verdier av en funksjon der ingen data er tilgjengelige, og for å oppsummere forholdet mellom to eller flere variabler. Ekstrapolering refererer til bruk av en tilpasset kurve utenfor rekkevidden av de observerte dataene, og er gjenstand for en større grad av usikkerhet siden det kan gjenspeile metoden som brukes til å konstruere kurven så mye som den reflekterer de observerte dataene.

I denne delen vil vi bare tilpasse linjer til datapunkter, men det skal bemerkes at man kan passe polynomfunksjoner, sirkler, stykkevis funksjoner og et hvilket som helst antall funksjoner til data, og det er et tungt brukt emne i statistikk.

Lineær Regresjonsformel

Lineær regresjon Er en tilnærming til modellering av det lineære forholdet mellom en avhengig variabel, y og en uavhengig variabel, x. med lineær regresjon, en linje i skråningsskjærings form, er y=mx+b funnet at» best passer » dataene.

den enkleste og kanskje mest vanlige lineære regresjonsmodellen er den vanlige minste kvadraters tilnærming. Denne tilnærmingen forsoker a minimere summene av den kvadrerte avstanden mellom linjen og hvert punkt.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

for å finne hellingen til linjen med best passform, beregne i følgende trinn:

1. summen av produktet av x-og y-koordinatene \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. summen av x-koordinatene \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. summen av y-koordinatene \sum_{j=1}^{n}y_{j}.
4. summen av kvadratene til x-koordinatene \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{2}).
5. summen av x-koordinatene kvadrert (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
6. kvotienten til telleren og nevneren.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \venstre (\bar{y} – m \bar{x} \right) \end{align}

for å finne y-avskjæringen (b), beregn ved hjelp av følgende trinn:

1. gjennomsnittet av y-koordinatene. La \ bar{y}, uttalt y-bar, representerer gjennomsnittet (eller gjennomsnittet) y-verdien av alle datapunktene: \ bar y =\frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} y_{i}.
2. gjennomsnittet av x-koordinatene. Henholdsvis \ bar{x}, uttalt x-bar, er gjennomsnittet (eller gjennomsnittet) x verdien av alle datapunktene: \ bar x=\frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} x_{i}.
3. Erstatt verdier i formelen over b=\bar{y} – m \bar{x}.

Ved å bruke disse verdiene av m og b har vi nå en linje som tilnærmer punktene på grafen.

Eksempel: Skriv minste kvadraters passelinje og grafer deretter linjen som passer best til dataene

for n = 8 poeng: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) og (6,4).

finn først hellingen (m) og y-avskjæringen (b) som best tilnærmer disse dataene, ved å bruke ligningene fra forrige seksjon:

for å finne hellingen, beregne:

1. summen av produktet av x-og y-koordinatene \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. summen av x-koordinatene \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. summen av y-koordinatene \sum_{i=1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \ end{align}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Beregn telleren: produktet av x
og y-koordinatene
minus en åttende produktet av summen av x-koordinatene og summen av y-koordinatene:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

telleren i skråningsligningen er:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Beregn nevneren:
summen av kvadratene til x-koordinatene minus en åttendedel summen av x-koordinatene kvadrert:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} {2})&&=92 \end{align}

nevneren er 92- \ frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 og skråningen er kvotienten til telleren og nevnen: \frac{23.25}{42} \ approx0.554.

Nå for y-avskjæringen, (b) en åttende ganger gjennomsnittet av x-koordinatene: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 og en åttende ganger gjennomsnittet av y-koordinatene: \ bar{y}=\frac{13.5}{8}=1.6875.

Derfor b=\frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} x_{i}\\:

\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

vår endelige ligning er derfor y=0,554 x+0,3025, og denne linjen er grafisk sammen med punktene.

Outliers og Least Square Regression

hvis vi har et punkt som er langt borte fra den tilnærmende linjen, vil det skje resultatene og gjøre linjen mye verre. For eksempel, la oss si i vårt opprinnelige eksempel, i stedet for punktet (-1,0) vi har (-1,6).

ved å bruke de samme beregningene som ovenfor med det nye punktet, er resultatene: m\approx0.0536 og b\approx2.3035, for å få den nye ligningen y=0.0536 x+2.3035.

Ser på punktene og linjen i den nye figuren under, passer denne nye linjen ikke godt til dataene, på grunn av outlier (-1,6). Faktisk, prøver å passe lineære modeller til data som er kvadratisk, kubikk, eller noe ikke-lineær, eller data med mange utliggere eller feil kan føre til dårlige tilnærminger.