Læringsmål
ved slutten av denne delen vil du kunne:
- Beskrive riktig lengde.
- Beregn lengde sammentrekning.
- Forklar hvorfor vi ikke merker disse effektene på dagligdagse skalaer.
Figur 1. Folk kan beskrive avstander annerledes, men ved relativistiske hastigheter er avstandene virkelig forskjellige. (kreditt: Corey Leopold, Flickr)
Har du noen gang kjørt på en vei som virker som det går på for alltid? Hvis du ser fremover, kan du si at du har ca 10 km igjen å gå. En annen reisende kan si at veien fremover ser ut som den er ca 15 km lang. Hvis dere begge målt veien, ville du være enig. Reiser på hverdagens hastigheter, avstanden du både måle ville være den samme. Du vil imidlertid lese i denne delen at dette ikke er sant ved relativistiske hastigheter. Nær lysets hastighet er avstandene målt ikke det samme når de måles av forskjellige observatører.
Riktig Lengde
en ting alle observatører er enige om er relativ hastighet. Selv om klokker måler forskjellige forløpte tider for samme prosess, er de fortsatt enige om at relativ hastighet, som er avstand dividert med forløpt tid, er den samme. Dette innebærer at avstanden også avhenger av observatørens relative bevegelse. Hvis to observatører ser forskjellige tider, må de også se forskjellige avstander for at relativ hastighet skal være den samme for hver av dem.
myonet som er omtalt I Eksempel 1 I Simultanitet og Tidsutvidelse illustrerer dette konseptet. Til en observatør på Jorden reiser myon på 0.950 c for 7.05 µ fra det tidspunkt det produseres til det faller. Dermed reiser det en avstand
L0 = vδ = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(7.05 × 10-6 s) = 2.01 km
i forhold til Jorden. I myons referanseramme er levetiden bare 2,20 µ. Det har nok tid til å reise bare
L0 = vδ0 = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(2.20 × 10-6 s) = 0.627 km.avstanden mellom de samme to hendelsene (produksjon og forfall av et myon) avhenger av hvem som måler det og hvordan de beveger seg i forhold til det.
Riktig Lengde
Riktig lengde L0 er avstanden mellom to punkter målt av en observatør som er i ro i forhold til begge punktene.
Den Jordbundne observatøren måler riktig lengde L0, fordi punktene der myon er produsert og henfall er stasjonære i forhold til Jorden. Til myon beveger Jorden, luften og skyene seg, og så avstanden L den ser, er ikke riktig lengde.
Figur 2. (A) Den Jordbundne observatøren ser myonen reise 2,01 km mellom skyene. (b) myonen ser seg selv reise den samme banen, men bare en avstand på 0,627 km. Jorden, luften og skyene beveger seg i forhold til myonet i rammen, og alle ser ut til å ha mindre lengder langs kjøreretningen.
Lengdekontraksjon
for å utvikle en ligning relatert avstander målt av forskjellige observatører, merker vi at hastigheten i forhold til Den Jordbundne observatøren i vårt myoneksempel er gitt av
v=\frac{L_0} {\Delta{t}}\\.
tiden i forhold til den Jordbundne observatøren er Δ, siden objektet som blir tidsbestemt beveger seg i forhold til denne observatøren. Hastigheten i forhold til den bevegelige observatøren er gitt av
v=\frac{L} {\Delta{t}_0}\\.
den bevegelige observatøren reiser med myonet og observerer derfor riktig tid Δ0. De to hastighetene er identiske; dermed
\frac{L_0} {\Delta{t}}=\frac{L} {\Delta{t}_0}\\.
Vi vet at Δ = γδ0. Ved å erstatte denne ligningen i forholdet ovenfor gir
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
Ved Å Erstatte γ gir en ligning som relaterer avstandene målt av forskjellige observatører.
Lengdekontraksjon
lengdekontraksjon L er forkortelsen av den målte lengden på et objekt som beveger seg i forhold til observatørens ramme.
\ displaystyle{L}=L_0\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \ \
hvis vi måler lengden På noe som beveger seg i forhold til rammen vår, finner vi lengden L til å være mindre Enn den riktige lengden L0 som ville bli målt hvis objektet var stasjonært. For eksempel, i myons referanseramme, er avstanden mellom punktene der den ble produsert og hvor den forfalt, kortere. Disse punktene er faste i Forhold Til Jorden, men beveger seg i forhold til myonen. Skyer og andre objekter er også kontrahert langs bevegelsesretningen i myons referanseramme.
Eksempel 1. Beregning Av Lengde Sammentrekning: Avstanden Mellom Stjerner Kontrakter når Du Reiser Med Høy Hastighet
Anta at en astronaut, Slik som tvilling diskutert I Simultanitet og Tid Dilatasjon, reiser så fort at γ = 30.00.
- hun reiser fra Jorden til Nærmeste stjernesystem, Alpha Centauri, 4.300 lysår unna målt av En Jordbundet observatør. Hvor langt fra Hverandre er Jorden og Alfa Centauri målt av astronauten?
- når det gjelder c, hva er hennes hastighet i forhold til Jorden? Du kan forsømme bevegelsen Av Jorden i forhold Til Solen. (Se Figur 3.)
Figur 3. (A) Den Jordbundne observatøren måler riktig avstand mellom Jorden og Alfa Centauri. (b) astronauten observerer en lengde sammentrekning, Siden Jorden og Alpha Centauri beveger seg i forhold til skipet hennes. Hun kan reise denne kortere avstanden på en mindre tid (hennes rette tid) uten å overskride lysets hastighet.
Strategi
først merk at et lysår (ly) er en praktisk avstandsenhet på en astronomisk skala—det er avstandslyset reiser om et år. For Del 1, merk at 4.300 ly avstanden Mellom Alpha Centauri Og Jorden er riktig avstand L0, fordi den måles Av En Jordbundet observatør til hvem begge stjernene er (omtrent) stasjonære. Til astronauten beveger Jorden Og Alpha Centauri seg med samme hastighet, og avstanden mellom Dem er den avtalte lengden L. I Del 2 får Vi γ, og så kan vi finne v ved å omorganisere definisjonen av γ for å uttrykke v i form av c.
Løsning For Del 1
Identifiser knowns:
L0 − 4.300 ly; γ = 30. 00
Identifiser det ukjente: L
Velg riktig ligning:
L=\frac{L_0} {\gamma}\\.
Omorganiser ligningen for å løse for det ukjente.
\start{array}{lll}l&&\frac{L_0}{\gamma}\\tekst{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ ly}\end{array}\\
løsning for del 2
identifiser det kjente: γ = 30.00
identifiser det ukjente: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ slik at 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\ og\ frac{v^2}=1-\frac{1} {900.0}=0.99888\prikker\\
Tar kvadratroten, finner vi\frac{v} {c}=0.99944\\, som omarrangeres for å produsere en verdi for hastigheten v = 0.9994 c.
diskusjon
husk først at du ikke bør avrunde beregninger til sluttresultatet er oppnådd, eller du kan få feilaktige resultater. Dette gjelder spesielt for spesielle relativitetsberegninger, hvor forskjellene bare kan avsløres etter flere desimaler. Den relativistiske effekten er stor her (γ = 30.00), og vi ser at v nærmer seg (ikke tilsvarer) lysets hastighet. Siden avstanden målt av astronauten er så mye mindre, kan astronauten reise den på mye mindre tid i rammen.Folk kan bli sendt svært store avstander (tusenvis eller millioner av lysår) og alder bare noen få år på vei hvis de reiste med ekstremt høye hastigheter. Men, som emigranter fra århundrer tidligere, ville de forlate Jorden de kjenner for alltid. Selv om de kom tilbake, ville tusenvis til millioner av år ha gått på Jorden, og utryddet det meste av det som nå eksisterer. Det er også en mer alvorlig praktisk hindring for å reise med slike hastigheter; enormt større energier enn klassisk fysikk forutsier ville være nødvendig for å oppnå slike høye hastigheter. Dette vil bli diskutert I Relatavistic Energy.
Figur 4. De elektriske feltlinjene til en høyhastighets ladet partikkel komprimeres langs bevegelsesretningen ved lengdekontraksjon. Dette gir et annet signal når partikkelen går gjennom en spole, en eksperimentelt verifisert effekt av lengdekontraksjon.
Hvorfor ser vi ikke lengdekontraksjon i hverdagen? Avstanden til butikken ser ikke ut til å avhenge av om vi flytter eller ikke. Ved å undersøke ligningen L=L_0\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}\\ ser vi at ved lave hastigheter (v<<c) er lengdene nesten like, den klassiske forventningen. Men lengde sammentrekning er ekte, hvis ikke ofte opplevd. For eksempel har en ladet partikkel, som et elektron, som reiser ved relativistisk hastighet, elektriske feltlinjer som komprimeres langs bevegelsesretningen som sett av en stasjonær observatør. (Se Figur 4.) Når elektronen passerer en detektor, for eksempel en trådspole, interagerer feltet mye mer kort, en effekt observert ved partikkelakseleratorer som Den 3 km lange Stanford Linear Accelerator (SLAC). Faktisk, til en elektron som reiser ned strålerøret VED SLAC, beveger akseleratoren og Jorden alle sammen og er lengde kontrahert. Den relativistiske effekten er så stor enn akseleratoren er bare 0,5 m lang til elektronen. Det er faktisk lettere å få elektronstrålen ned i røret, siden strålen ikke trenger å være så nøyaktig rettet mot å komme ned et kort rør som det ville ned en 3 km lang. Dette er igjen en eksperimentell verifisering av Den Spesielle Relativitetsteorien.
Sjekk Din Forståelse
en partikkel reiser gjennom Jordens atmosfære med en hastighet på 0,750 c. til En Jordbundet observatør er avstanden den reiser 2,50 km. Hvor langt går partikkelen i partikkelens referanseramme?
Løsning
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\venstre(2,50\tekst{ km}\høyre)\sqrt{1-\frac{\venstre(0,750 c\høyre)^2}{c^2}=1,65\tekst{ km}\\
seksjonssammendrag
- alle observatører er enige om relativ hastighet.
- Avstand avhenger av en observatørs bevegelse. Riktig lengde L0 er avstanden mellom to punkter målt av en observatør som er i ro i forhold til begge punktene. Jordbundne observatører måler riktig lengde når man måler avstanden mellom to punkter som er stasjonære i forhold Til Jorden.
- lengde sammentrekning L er forkortelsen av den målte lengden av et objekt som beveger seg i forhold til observatørens ramme:
L=l_{0}\sqrt{1 – \frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{l}_{0}}{\gamma}\\.
Konseptuelle Spørsmål
- Til Hvem virker et objekt større i lengde, en observatør som beveger seg med objektet eller en observatør som beveger seg i forhold til objektet? Hvilken observatør måler objektets riktige lengde?
- Relativistiske effekter som tidsutvidelse og lengdekontraksjon er tilstede for biler og fly. Hvorfor virker disse effektene rart for oss?Anta at en astronaut beveger seg i forhold til Jorden med en betydelig brøkdel av lysets hastighet. (a) ser han hastigheten på klokkene sine for å ha bremset? (b) hvilken endring i frekvensen Av Jordbundne klokker ser han? (c) synes hans skip å forkorte seg? (d) hva med avstanden mellom stjerner som ligger på linjer parallelt med hans bevegelse? (e) er han og En Jordbundet observatør enige om sin hastighet i Forhold Til Jorden?
Problemer& Øvelser
- et romskip, 200 m langt som sett om bord, beveger Seg Av Jorden på 0,970 c. hva er dens lengde målt Av En Jordbundet observatør?
- Hvor fort må en 6,0 m lang sportsbil gå forbi deg for at den skal vises bare 5,5 m lang?
- (A) Hvor langt går myonen I Eksempel 1 I Simultanitet og Tidsutvidelse i henhold til Den Jordbundne observatøren? (b) Hvor langt reiser det som sett av en observatør som beveger seg med den? Basere beregningen på dens hastighet i forhold Til Jorden og tiden den lever (riktig tid). (c) Kontroller at disse to avstandene er relatert gjennom lengde sammentrekning γ = 3.20.(A) Hvor lenge ville myonet I Eksempel 1 I Simultanitet og Tidsutvidelse ha levd som observert på Jorden hvis hastigheten var 0.0500 c? (b) Hvor langt ville det ha reist som observert på Jorden? (c) hvilken avstand er dette i myons ramme?
- (A) Hvor lang tid tar det astronauten I Eksempel 1 å reise 4.30 ly ved 0.99944 c (målt Av Jordbundet observatør)? (B) Hvor lang tid tar det i henhold til astronauten? (c) Kontroller at disse to tidene er relatert gjennom tidsutvidelse med γ = 30.00 som angitt.
- (A) Hvor fort vil en utøver må kjøre for en 100-m løp for å se 100 yd lang? (b) er svaret i samsvar med det faktum at relativistiske effekter er vanskelige å observere under vanlige forhold? Forklare.
- Urimelige Resultater. (A) Finn verdien av γ for følgende situasjon. En astronaut måler lengden på romskipet til 25,0 m, mens En Jordbundet observatør måler det til 100 m. (B) hva er urimelig med dette resultatet? hvilke forutsetninger er urimelige eller inkonsekvente?
- Urimelige Resultater. Et romskip går direkte mot Jorden med en hastighet på 0.800 c. astronauten ombord hevder at han kan sende en beholder mot Jorden ved 1.20 c i forhold til Jorden. (A) Beregn hastigheten beholderen må ha i forhold til romskipet. (B) hva er urimelig med dette resultatet? hvilke forutsetninger er urimelige eller inkonsekvente?
Ordliste
riktig lengde: L0; avstanden mellom to punkter målt av en observatør som er i ro i forhold til begge punktene; Jordbundne observatører måler riktig lengde når man måler avstanden mellom to punkter som er stasjonære i forhold til Jorden
lengdekontraksjon: L, forkortelsen av den målte lengden på et objekt som beveger seg i forhold til observatørens ramme:
l=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{l}_{0}}{\Gamma}\\
utvalgte løsninger På problemer & øvelser
1. 48,6 m
3. (a) 1.387 km = 1.39 km; (b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t}=\gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\Frac{\Delta{t}}{\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303 \ text{ y}}{0.1434{ y}} = 30.0\ \
dermed er de to gangene relaterte når γ = 30.00.
7. (a) 0.250; (b) γ må være ≥ 1; (c) Den Jordbundne observatøren må måle en kortere lengde, så det er urimelig å anta en lengre lengde.