det er en spesiell type system som krever ytterligere studier. Denne typen system kalles et homogent system av ligninger, som vi definerte ovenfor I Definisjon . Vårt fokus i denne delen er å vurdere hvilke typer løsninger som er mulige for et homogent system av ligninger.
Vurder følgende definisjon.
Definisjon \(\PageIndex{1}\): Trivial Løsning
Vurder det homogene systemet av ligninger gitt av \ Da \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} = 0\) er alltid en løsning på dette systemet. Vi kaller dette den trivielle løsningen .
hvis systemet har en løsning der ikke alle \(x_1, \cdots, x_n\) er lik null, kaller vi denne løsningen nontrivial . Den trivielle løsningen forteller oss ikke mye om systemet, som det står at \(0=0\)! Derfor, når vi arbeider med homogene ligningssystemer, vil vi vite når systemet har en nontrivial løsning.
Anta at vi har et homogent system av \(m\) ligninger, ved hjelp av \(n\) variabler, og anta at \(n > m\). Med andre ord er det flere variabler enn ligninger. Da viser det seg at dette systemet alltid har en ubehagelig løsning. Ikke bare vil systemet ha en nontrivial løsning, men det vil også ha uendelig mange løsninger. Det er også mulig, men ikke nødvendig, å ha en ubehagelig løsning hvis \(n=m\) og \(n <m\).
Tenk på følgende eksempel.
Eksempel \(\PageIndex{1}\): Løsninger til Et Homogent System Av Ligninger
Finn nontrivial løsninger til følgende homogene system av ligninger \
Løsning
Legg Merke til at dette systemet har \(m = 2\) ligninger og \(n = 3\) variabler, så \(n > m\). Derfor ved vår tidligere diskusjon forventer vi at dette systemet har uendelig mange løsninger.
prosessen vi bruker for å finne løsningene for et homogent system av ligninger, er den samme prosessen vi brukte i forrige avsnitt. Først konstruerer vi den utvidede matrisen, gitt av\\], så bærer vi denne matrisen til sin , gitt nedenfor. \\ ] Det tilsvarende system av ligninger er \ Siden \ (z\) ikke er begrenset av noen ligning, vet vi at denne variabelen vil bli vår parameter. La \(z=t\) hvor \(t\) er et hvilket som helst tall. Derfor har vår løsning skjemaet \ Derfor har dette systemet uendelig mange løsninger, med en parameter \(t\).
Anta at vi skulle skrive løsningen til forrige eksempel i en annen form. Spesielt kan \ skrives som \ = \left + t \left\] Legg Merke til at vi har konstruert en kolonne fra konstantene i løsningen (alle lik \(0\)), samt en kolonne som svarer til koeffisientene på \(t\) i hver ligning. Mens vi vil diskutere denne løsningsformen mer i ytterligere kapitler, for nå vurdere kolonnen av koeffisienter for parameteren \(t\). I dette tilfellet er dette kolonnen \(\left\).
det er et spesielt navn for denne kolonnen, som er grunnleggende løsning. De grunnleggende løsningene til et system er kolonner konstruert fra koeffisientene på parametere i løsningen. Vi betegner ofte grunnleggende løsninger med \(X_1, X_2\) etc., avhengig av hvor mange løsninger som oppstår. Derfor Har Eksempel den grunnleggende løsningen \(X_1 = \ left\).
vi undersøker dette videre i følgende eksempel.
Eksempel \(\PageIndex{1}\): Grunnleggende Løsninger av Et Homogent System
Vurder følgende homogene system av ligninger. \ Finn de grunnleggende løsningene på dette systemet.den utvidede matrisen til dette systemet og resultatet er \ \rightarrow \ cdots \ rightarrow \ left\] når det skrives i ligninger, er dette systemet gitt av \ Notice at bare \ (x\) tilsvarer en pivotkolonne. I dette tilfellet vil vi ha to parametere, en for \(y\) og en for \(z\). La \(y = s\) og\ (z=t\) for alle tall \(s\) og\(t\). Da blir vår løsning \ som kan skrives som \ = \left + s \left + t \left\] Du kan se her at vi har to kolonner med koeffisienter som svarer til parametere, spesielt en for \(s\) og en for \(t\). Derfor har dette systemet to grunnleggende løsninger! Disse er\, X_2 = \ left\]
vi presenterer nå en ny definisjon.
Definisjon \(\PageIndex{1}\): Lineær Kombinasjon
La \(X_1,\cdots, X_n, V\) være kolonnematriser. Da \(V\) sies å være en lineær kombinasjon av kolonnene\(X_1,\ cdots , X_n\) hvis det finnes skalarer, \ (a_{1},\cdots, a_{n}\) slik at \
et bemerkelsesverdig resultat av denne delen er at en lineær kombinasjon av de grunnleggende løsningene igjen er en løsning på systemet. Enda mer bemerkelsesverdig er at hver løsning kan skrives som en lineær kombinasjon av disse løsningene. Derfor, hvis vi tar en lineær kombinasjon av de to løsningene til Eksempel, vil dette også være en løsning. For eksempel kan vi ta følgende lineære kombinasjon
\ + 2 \ left = \ left\] Du bør ta et øyeblikk for å bekrefte at \ = \ left\]
er faktisk en løsning på systemet I Eksempel .
En annen måte der vi kan finne ut mer informasjon om løsningene til et homogent system er å vurdere rangen av den tilhørende koeffisientmatrisen. Vi definerer nå hva som menes med rangen av en matrise.
Definisjon \(\PageIndex{1}\): Rangering av En Matrise
La \(A\) være en matrise og vurdere noen av \(A\). Deretter er tallet \(r\) av ledende oppføringer av \(A\) ikke avhengig av det du velger, og kalles rangen av \(A\). Vi betegner Det Etter Rang (\(A\)).På Samme måte kan vi telle antall pivotposisjoner (eller pivotkolonner) for å bestemme rangen av \(A\).
Eksempel \(\PageIndex{1}\): Finne Rangen til En Matrise
Vurder matrisen \\] Hva er dens rang?
Løsning
Først må vi finne av \(A\). Gjennom den vanlige algoritmen finner vi at dette er\\] Her har vi to ledende oppføringer, eller to pivotposisjoner, vist ovenfor i bokser.Rangeringen av \(A\) er \(r = 2.\ )
Legg Merke til at vi ville ha oppnådd det samme svaret hvis vi hadde funnet av \(A\) i stedet for .
Anta at vi har et homogent system av \(m\) ligninger i \(n\) variabler, og anta at \(n> m\). Fra vår ovennevnte diskusjon vet vi at dette systemet vil ha uendelig mange løsninger. Hvis vi vurderer rangen av koeffisientmatrisen til dette systemet, kan vi finne ut enda mer om løsningen. Merk at vi ser på bare koeffisientmatrisen, ikke hele den utvidede matrisen.
Theorem \(\PageIndex{1}\): Rang og Løsninger til Et Homogent System
La \(A\) være \(m\ ganger n\) koeffisientmatrise som svarer til et homogent system av ligninger, og anta \(A\) har rang \(r\). Deretter har løsningen til det tilsvarende systemet\ (n-r\) parametere.
Vurder Vårt eksempel ovenfor i sammenheng med denne setningen. Systemet i dette eksemplet har \(m = 2\) ligninger i \(n = 3\) variabler. For det første fordi \(n>m\), vet vi at systemet har en ubehagelig løsning, og derfor uendelig mange løsninger. Dette forteller oss at løsningen vil inneholde minst en parameter. Rangeringen av koeffisientmatrisen kan fortelle oss enda mer om løsningen! Rangeringen av koeffisientmatrisen til systemet er \(1\), da den har en ledende oppføring i . Teorem forteller oss at løsningen vil ha \(n-r = 3-1 = 2\) parametere. Du kan sjekke at dette er sant i løsningen Til Eksempel .
Legg merke til at hvis \(n=m\) eller \ (n <m\), er det mulig å ha enten en unik løsning (som vil være den trivielle løsningen) eller uendelig mange løsninger.
vi er ikke begrenset til homogene systemer av ligninger her. Rangeringen av en matrise kan brukes til å lære om løsningene av ethvert system av lineære ligninger. I den forrige delen diskuterte vi at et system av ligninger ikke kan ha noen løsning, en unik løsning eller uendelig mange løsninger. Anta at systemet er konsistent, enten det er homogent eller ikke. Følgende teorem forteller oss hvordan vi kan bruke rangen til å lære om hvilken type løsning vi har.
Theorem \(\PageIndex{1}\): Rang og Løsninger til Et Konsistent System Av Ligninger
La \(A\) være \(m \ganger \venstre( n+1 \høyre)\) forstørret matrise som svarer til et konsistent system av ligninger i\ (n\) variabler, og anta \(A\) har rang \(r\). Så
-
systemet har en unik løsning hvis \(r = n\)
-
systemet har uendelig mange løsninger hvis \(r < n\)
Vi vil ikke presentere et formelt bevis på dette, men vurder følgende diskusjoner.
-
Ingen Løsning ovenstående teorem antar at systemet er konsistent, det vil si at det har en løsning. Det viser seg at det er mulig for den utvidede matrisen til et system uten løsning å ha noen rang \(r\) så lenge \(r > 1\). Derfor må vi vite at systemet er konsistent for å kunne bruke denne setningen!
-
Unik Løsning Anta \(r=n\). Deretter er det en svingposisjon i hver kolonne av koeffisientmatrisen til \(A\). Derfor er det en unik løsning.Uendelig Mange Løsninger Antar \(r <n\). Da er det uendelig mange løsninger. Det er mindre pivotposisjoner (og dermed mindre ledende oppføringer) enn kolonner, noe som betyr at ikke hver kolonne er en pivotkolonne. Kolonnene som er \(ikke\) pivot kolonner tilsvarer parametere. Faktisk har vi i dette tilfellet\ (n-r\) parametere.