ソースを探す: “Wien’s displacement law”–news·newspapers·books·scholar·JSTOR(October2019)(このテンプレートメッセージを削除する方法とタイミングを学ぶ)
黒体放射のスペクトルに対するプランクの法則は、Wien displacement lawを予測し、特定のパラメータ化のための一定の関連温度とピークパラメータ値を数値的に評価するために使用することができます。 一般的に波長パラメータ化が使用され、その場合、黒体のスペクトル輝度（立体角あたりの発光面積あたりのパワー）は、
u≤(λ,T)=2h c2≤5 1e h c/≤k T−1である。 {\displaystyle u_{\lambda}(\lambda,T)={2hc^{2}\over\lambda^{5}}{1\over e^{hc/\lambda kT}-1}である。 u_{\lambda}（\lambda、T）={2hc^{2}\over\lambda^{5}}{1\over e^{hc/\lambda kT}-1}。u(μ,T)をμに関して微分し、導関数をゼロに設定すると、次のようになります。
:
∂u∂λ=2h c2h c k T λ7e c h/λ k T e c h/λ k T−1)2−1λ6 5e c h/λ k T−1)=0,{\displaystyle{\partial u＼\partial\lambda}=2hc^{2}\left({hc＼kT\lambda^{7}}{e^{hc/\lambda kT}\上\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \以上\lambda^{6}}{5\e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,}
を与えるために単純化することができます：
h c≤k T e h c/≤k T e h c/≤k T−1−5=0。 {\displaystyle{hc\over\lambda kT}{e^{hc/\lambda kT}\over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}
次のように定義することにより、次のようになる。
x≤h c≤k t,{\displaystyle x\equiv{hc\over\lambda kT},}
方程式は単一変数xの中で一つになる。
x e x e x−1−5=0。 {\displaystyle{xe^{x}\over e^{x}-1}-5=0.{xe^{x}\over e^{x}-1}-5=0}id{xe^{x}\over e^{x}-1}-5=0}id{xe^{x}\over e^{x}-1}-5=0}id{xe^{x}\over e^{x}-1}overこれは、(x−5)e x+5=0と等価です。 {\displaystyle(x-5)e^{x}+5=0.}
この方程式は、X=4.965114231744276303をもたらすニュートンの方法を使用して簡単に数値的に解くことができます。.. 倍精度浮動小数点精度に変換します。 波長λをミリメートル単位で解き、温度にケルビンを使用すると、次のようになります。
λ peak=hc/xkT=(2.897771955185172661… mm K)/T.
frequencyEditによるパラメータ化
もう一つの一般的なパラメータ化は周波数によるものです。 ピークパラメータ値を導出する導出は類似しているが、周波数λの関数としてのプランクの法則の形で始まる：
u λ(λ,T)=2h≤3c2 1e h λ/k T−1。 {\displaystyle u_{\nu}(\nu,T)={2h\nu^{3}\over c^{2}}{1\over e^{h\nu/kT}-1}である。}
この式を使用した前のプロセスは、
−h≤k T e h≤/k T e h≤/k T−1+3=0を生成します。-h≤k T e h≤/k T e h≤/k T-1+3=0を生成します。
{\displaystyle-{h\nu\over kT}{e^{h\nu/kT}\over e^{h\nu/kT}-1}+3=0.}
(x−3)e x+3=0。 {\displaystyle(x-3)e^{x}+3=0.}
x=3+W(0,−3e−3){\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}
λを解くことで次のようになる。
vpeak=xkT/h=(x=3+W(0,-3e^{-3})}
λを解くと次のようになる。0.05878925757646824946… THz K−1)·T.
Maxima different to parameterizationEdit
与えられた温度に対して、周波数によるパラメータ化は、波長によるパラメータ化とは異なる最大波長を意味することに注意してくださたとえば、T=6000Kと波長によるパラメータ化を使用すると、最大スペクトル輝度の波長はλ=482.962nmで、対応する周波数λ=620.737THzです。 同じ温度であるが、周波数によってパラメータ化される場合、最大スペクトル放射の周波数はλ=352.735THzであり、対応する波長λ=849.907nmである。
これらの関数は、輝度密度関数であり、輝度の単位を与えるようにスケーリングされた確率密度関数です。 密度関数は、与えられたパラメータの線形変化に対する確率密度の変化を測定する横軸の相対的な伸張または圧縮に応じて、異なるパラメータ化につ 波長と周波数は相反する関係を持つため、互いに相対的な確率密度の有意に非線形なシフトを表します。
総輝きは、すべての正の値に対する分布の積分であり、任意のパラメータ化の下で与えられた温度に対して不変である。 さらに、与えられた温度では、2つの波長の間のすべての光子からなる放射輝度は、使用する分布に関係なく同じでなければなりません。 とは言うものの、統合の波長分布からλ1にλ2結果と同じ値として統合する周波数分布の間に、二つの周波数に対応するλ1とλ2ら、c/λ2c/λ1. しかし、分布の形状はパラメータ化に依存し、異なるパラメータ化の場合、これらの計算が示すように、分布は通常異なるピーク密度を持つことになります。
暗黙の方程式を解くために値4を使用すると、比例帯域幅あたりのパラメータradianceで表されるスペクトルradiance密度関数のピークが得られます。 これはおそらく、「ピーク放射の波長」を提示するより直感的な方法です。 それはx=3.920690394872886343をもたらす。.. 倍精度浮動小数点精度に変換します。
しかし、ウィーンの法則の重要な点は、中央波長（または、あるいは、任意の指定された放出の割合が発生する波長以下）を含むそのような波長マーカは、温度の逆数に比例することである。 つまり、与えられたパラメータ化の分布の形状は、温度に応じてスケールされ、変換され、標準温度に対して一度計算され、適切にシフトされ、別の温度の分布を得ることができます。 これは、ウィーンの法則の強力な声明の結果です。