Recentemente, stavo pensando a varie giustificazioni per la definizione di 0! (fattoriale di zero) che è
0 0!=1
Il valore assunto di 1 può sembrare abbastanza ovvio se si considera la formula ricorsiva. Tuttavia, non mi ha soddisfatto “matematicamente”. Ecco perché ho deciso di scrivere queste poche frasi. Darò motivazioni per quelli meno avanzati, ma ci saranno anche motivazioni per un po ‘ più addetti ai lavori.
⭐️Fattoriale di Scalare Calcolatrice
⭐️ Fattoriale e la ricorrenza
Per intero n > 0 fattoriale è definito come segue
$$n!=n\times (n-1)\times (n-2) \times \ldots\times 2 \ times 1
Con facilità puoi vedere che sotto la formula ricorsiva segue
n n!=n \ volte (n-1)!$ $
1 1!=1
⭐ ️ 0! = 1-motivazione basata sulla ricorrenza
Piccola trasformazione di
n n!=n \ volte (n-1)!gives
dà
$ $ (n-1)!= \ frac{n!} {n}
Sostituendo n = 1
$ $ (1-1)!= \ frac{1!}{1}
0 0!=1!=1
Questa spiegazione, sebbene facile, non fornisce (a mio parere) una comprensione abbastanza profonda di “perché questa dovrebbe essere l’opzione migliore”.
⭐️ Fattoriale n! conta le possibili sequenze distinte di n oggetti distinti (permutazioni)
supponiamo di avere un insieme contenente n elementi
$$\{1,2,\ldots,n\}$$
Ora si contano possibile ordinare gli elementi è questo set
- n modi per selezionare il primo elemento (perché abbiamo tutta la serie disponibili)
- n-1 modi di selezione secondo elemento (perché il primo è stato già selezionato, ci sono n-1 a sinistra)
- n-2 modi per selezionare terzo elemento (perché i due erano già stati selezionati, ci sono n-2)
- …
- n- (k-1) modalità di selezione numero di elemento di k (perché il k-1 sono stati già selezionati, n- (k-1) rimangono)
- 2 modalità di selezione numero di elemento n-1 (perché n-2, sono stati selezionati rimangono ancora 2)
- 1 modo per selezionare l’elemento numero n (perché n-1 sono stati selezionati, è rimasto solo uno)
Infine, contando tutti i modi possibili, abbiamo
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1=n!Conclusion
Conclusione: Fattoriale di n conta il numero di permutazione di un insieme contenente n elementi.
⭐️ k-permutazioni di n a volte chiamate permutazioni o variazioni parziali
Le k-permutazioni di n sono le diverse disposizioni ordinate di un sottoinsieme di un elemento k di un n-set. Il numero di tali k-permutazioni di n è
P P_k ^ n = n\volte (n-1)\volte (n-2)\volte\ldots\volte \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!(n-k)!}}
È facile vedere che n-permutazione di n è una permutazione, quindi
P P_n^n=n!n
n n! = \ frac{n!(n-n)!} = \ frac{n!}{0!}
La prossima intuizione perché 0!=1 è la definizione corretta viene da quella per qualsiasi n> 0 dovremmo avere
0 0! \ volte n! = n!$$
⭐️ Funzione come un set di mapping
Funzione
$$f:A\to B$$
la Funzione f : A → B, dove per ogni a ∈ A esiste f(a) = b ∈ B, definisce la relazione tra gli elementi di a e b. Possiamo dire che gli elementi a ∈ A e b ∈ B sono in relazione “f” se e solo se f(a) = b.
⭐️ Funzione come sottoinsieme di prodotto cartesiano
La funzione è una relazione binaria, il che significa che la funzione può essere espressa come sottoinsieme di un prodotto cartesiano.
$$(a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b$$
⭐️ Iniettivo funzione
Iniettivo funzione è una funzione che permette di chiarezza: non è mai mappe elementi distinti del dominio allo stesso elemento della sua codomain. Poco
$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$
⭐️ Surjective funzione
Una funzione f è surjective (o su) se ogni elemento di b in codomain, c’è almeno un elemento del dominio tale che f(a)=b . Non è necessario che x sia unico.
f f:A\to B$$
$${\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in a}\quad}f(a)=b$$
⭐️ Biunivoca funzione
funzione Biunivoca, o uno-a-uno corrispondenza, è una funzione in cui ogni elemento di un insieme è associato esattamente un elemento di un altro insieme, e ogni elemento del set è accoppiato con esattamente un elemento del primo set. Non ci sono elementi spaiati.
In termini matematici, un biunivoca funzione è iniettiva e surjective mappatura di un insieme a ad un insieme B.
⭐️ Biunivoca funzione vs Permutazione
Permutazione è una funzione che restituisce l’ordine di un insieme, cioè, se consideriamo l’insieme di n elementi {1, 2, …, n}, allora permutazione sarà una funzione
$p$:\{1, 2, …, n\}\in\{1, 2, …, n\}$$
soddisfare le biunivoca funzione di condizione.
Chiedendo il numero di permutazioni possiamo ugualmente chiedere il numero di diverse biiezioni da un dato insieme in se stesso.
⭐️ Funzione vuota
Una funzione vuota è ogni funzione il cui dominio è un insieme vuoto.
$ $ f:\emptyset\to B
La funzione vuota “chart” è un insieme vuoto, poiché il prodotto cartesiano di domain e codomain è vuoto.
B\emptyset\times B = \emptyset B
La funzione vuota conserva la distinzione (è iniettiva), perché nel dominio (un insieme vuoto) non ci sono due elementi diversi per i quali il valore della funzione è uguale.
⭐️ Un caso speciale di una funzione vuota
Analizziamo la funzione che mappa il set vuoto a vuoto
f f:\ emptyset \ to \ emptyset
Tale funzione è una bijection perché è una funzione iniettiva (come mostrato sopra) e non c’è alcun elemento in codomain (il codomain è un set vuoto) che non sia in relazione agli elementi nel dominio.
Si noti che esiste esattamente una tale bijection, che è un risultato del fatto che la funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di domain e codomain. In questo caso questo è solo un set possibile.
f f:\ emptyset \ to \ emptyset
\\emptyset\times \emptyset = \ emptyset
L’insieme vuoto ha esattamente un sottoinsieme, che è l’insieme vuoto – quindi tale biiezione è definita in modo univoco.
⭐️ 0! = 1 vs Funzione vuota
Ho scritto sopra che il numero di permutazioni di un insieme di elementi n è uguale al numero di funzioni biiettive distinte da questo insieme in se stesso.
Seguito – la permutazione del set di elementi 0 corrisponde alla bijection da un set vuoto nel set vuoto/
Il caso speciale della funzione vuota è solo 1-e ho presentato la prova che esiste solo una funzione del genere insight
Intuizione abbastanza profonda perché 0! dovrebbe da 1.
⭐️ La funzione gamma
In matematica, la funzione Gamma è una delle estensioni della funzione fattoriale con il suo argomento spostato verso il basso di 1, a numeri reali e complessi.
$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$
Dopo di integrazione per parti otteniamo la formula ricorsiva
$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$
vediamo il valore di
$$\Gamma(1)=?In questo caso, è necessario che il sistema di visualizzazione sia in grado di eseguire le operazioni di visualizzazione.!$ $
0 0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
⭐️ Numero e e relazione fattoriale
Basato sull’espansione della serie di Taylor di e^x è facile mostrare che
$ $ e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} = \ frac{1} {0!} + \ frac{1} {1!} + \ frac{1} {2!} + \ frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂