Introduzione
- Se si tratta di una quantità fisica, come lo stress, di solito viene chiamato tensore.Se non è una quantità fisica, di solito viene chiamata matrice.
- La stragrande maggioranza dei tensori di ingegneria sono simmetrici. Una quantità comuneche non è simmetrica e non indicata come tensore, è una matrice di rotazione.
- I tensori sono in realtà qualsiasi quantità fisica che può essere rappresentata da uno scalare, un vettore o una matrice.I tensori di ordine zero, come la massa, sono chiamati scalari, mentre i tensori di 1 ° ordine sono chiamati vettori.Esempi di tensori di ordine superiore includono tensori di stress, deformazione e rigidità.
- L’ordine, o rango, di una matrice o di un tensore è il numero di pedici che contiene. Un vettore è un tensore di 1 ° rango. Un tensore di stress 3×3 è di 2 ° grado.
- Le trasformazioni di coordinate dei tensori sono discusse in dettaglio qui.
Matrice identità
La matrice identità è
\\]
Moltiplicare qualsiasi cosa per la matrice identità è come moltiplicare per uno.
Notazione tensoriale
La matrice identità nella notazione tensoriale è semplicemente \( \delta_{ij} \).È il Delta di Kronecker che è uguale a 1 quando \ (i = j\) e 0 altrimenti.
È una matrice o no?
Una nota dei puristi… La matrice identità è una matrice, ma il Kronecker deltatechnically non lo è. \ (\delta_{ij}\) è un singolo valore scalare che è 1 o 0 a seconda dei valori di \(i\) e \(j\). Questo è anche il motivo per cui la notazione tensoriale non è in grassetto, perché si riferisce sempre a singoli componenti di tensori, ma mai a un tensore nel suo complesso.
Segui questo link per una discussione divertente tra qualcuno che lo realizza e qualcun altro che non lo fa.
Transpose
La trasposizione di una matrice rispecchia i suoi componenti sulla diagonale principale. La trasposizione della matrice \({\bf A}\) è scritta \({\bf A}^{ \ !T}\).
Trasporre Esempio
\,\qquad\text{then}\qquad{\bf A}^{\!T} = \ left\]
Notazione tensoriale
La trasposizione di \(A_{ij}\) è \(A_{j\,i}\).
Determinanti
Il determinante di una matrice è scritto come det(\({\bf A}\)) o \(|{\bf A}|\), ed è calcolato come
\
Se il determinante di un tensore, o matrice, è zero, allora non ha un inverso.
Notazione tensoriale
Il calcolo di un determinante può essere scritto in notazione tensoriale in un paio di modi diversi
\ Il determinante del prodotto di due matrici è lo stesso del prodotto dei determinanti delle due matrici. In altre parole,
\
Il determinante di un gradiente di deformazione dàil rapporto tra volume iniziale e finale di un elemento differenziale.
Inverte
L’inverso della matrice \({\bf A}\) è scritto come \({\bf A}^{\!-1}\)e ha la seguente proprietà molto importante(vedi la sezione sulla moltiplicazione della matrice sotto)
\
Se \({\bf B}\) è l’inverso di \({\bf A}\), allora
\
Notazione tensoriale
L’inverso di \(A_{ij}\) è spesso scritto come \(A^{-1}_{ij}\).Si noti che questo probabilmente non è rigorosamente corretto poiché, come discusso in precedenza, né \(A_{ij}\) né \(A^{-1}_{ij}\) sono tecnicamente matrici stesse.Sono solo componenti di una matrice. Oh bene…
L’inverso può essere calcolato usando
\
Matrix Inverse Page
Questa pagina calcola l’inverso di una matrice 3×3.
Trasposizioni di inversi di Trasposizioni di…
L’inverso di una trasposizione di una matrice è uguale alla trasposizione di un’inversa della matrice. Poiché l’ordine non ha importanza, la doppia operazione viene abbreviatedsimply come \({\bf{A}}^{\!- T}\).
\
Addizione matrice
Le matrici e i tensori vengono aggiunti componente per componente proprio come i vettori.Questo è facilmente espresso in notazione tensoriale.
\
Moltiplicazione di matrici (Prodotti Dot)
Il prodotto dot di due matrici moltiplica ogni riga della prima per ogni colonnadel secondo. I prodotti sono spesso scritti con un punto in notazione a matrice come\ ({\bf A} \cdot {\bf B} \), ma a volte scritti senza il punto come \ ({\bf A} {\bf B} \). Le regole di moltiplicazione sono in realtà meglio spiegate attraverso la notazione tensoriale.
\
(Si noti che nessun punto è usato nella notazione tensoriale.) Il \(k\) in entrambi i fattori implica automaticamente
\
che è l’esima riga della prima matrice moltiplicata per la colonna j della seconda matrice. Se, ad esempio, si desidera calcolare \(C_{23}\), quindi \(i=2\) e \(j=3\) e
\
Pagina web di moltiplicazione della matrice
Questa pagina calcola il prodotto punto di due matrici 3×3.
La moltiplicazione della matrice non è commutativa
È molto importante riconoscere che la moltiplicazione della matrice NON è commutativa, cioè
\
Traspone e inverte di prodotti
La trasposizione di un prodotto è uguale al prodotto delle traspone in ordine inverso, el’inverso di un prodotto è uguale al prodotto delle inverse in ordine inverso.
Si noti che il “in ordine inverso” è fondamentale.Questo è ampiamente utilizzato nelle sezioni su gradienti di deformazione e ceppi verdi.
\
Questo vale anche per più prodotti. Ad esempio
\
Prodotto con propria trasposizione
Il prodotto di una matrice e la propria trasposizione è sempre una matrice simmetrica.\({\bf A} ^ T \ cdot {\bf A}\) e \({\bf A} \cdot {\bf A}^T\)danno entrambi risultati simmetrici, anche se diversi.Questo è ampiamente utilizzato nelle sezioni su gradienti di deformazione e ceppi verdi.
Prodotti a doppio punto
Il prodotto a doppio punto di due matrici produce uno scalare result.It è scritto in notazione matrice come \({\bf A}: {\bf B}\).Anche se raramente utilizzato al di fuori della meccanica continua,è in realtà abbastanza comune nelle applicazioni avanzate di elasticità lineare. Ad esempio, \ ({1 \over 2} \sigma : \epsilon \)fornisce la densità di energia di deformazione in elasticità lineare su piccola scala.Ancora una volta, il suo calcolo è meglio spiegato con la notazione tensoriale.
\
Poiché gli indici\ (i\) e\ (j\) appaiono in entrambi i fattori, sono entrambi sommati per dare
\