Matematica per le Arti Liberali Corequisite

L’Evoluzione di un Sistema

Il nostro sistema numerico, composto dai dieci simboli {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} è chiamato sistema indù-arabo. Questo è un sistema base-dieci (decimale) poiché i valori dei luoghi aumentano di potenze di dieci. Inoltre, questo sistema è posizionale, il che significa che la posizione di un simbolo ha influenza sul valore di quel simbolo all’interno del numero. Ad esempio, la posizione del simbolo 3 nel numero 435,681 gli conferisce un valore molto maggiore del valore del simbolo 8 nello stesso numero. Esploreremo i sistemi di base più a fondo in seguito. Lo sviluppo di questi dieci simboli e il loro uso in un sistema posizionale ci arriva principalmente dall’India.

Figura 10. Al-Biruni

Non è stato fino al XV secolo che i simboli che conosciamo oggi hanno preso forma in Europa. Tuttavia, la storia di questi numeri e del loro sviluppo risale a centinaia di anni fa. Un’importante fonte di informazioni su questo argomento è lo scrittore al-Biruni, la cui immagine è mostrata nella figura 10. Al-Biruni, nato nell’Uzbekistan moderno, aveva visitato l’India in diverse occasioni e fatto commenti sul sistema numerico indiano. Quando guardiamo le origini dei numeri che al-Biruni incontrato, dobbiamo tornare al III secolo AC per esplorare le loro origini. È allora che venivano usati i numeri Brahmi.

I numeri di Brahmi erano più complicati di quelli usati nel nostro sistema moderno. Avevano simboli separati per i numeri da 1 a 9, così come simboli distinti per 10, 100, 1000,…, anche per 20, 30, 40,… e altri per 200, 300, 400, …, 900. I simboli Brahmi per 1, 2 e 3 sono mostrati di seguito.

Questi numeri furono usati fino al IV secolo d.C., con variazioni nel tempo e nella posizione geografica. Ad esempio, nel primo secolo DC, un particolare insieme di numeri di Brahmi ha assunto la seguente forma:

Dal quarto secolo in poi, è possibile tracciare diversi percorsi che i numeri di Brahmi hanno preso per arrivare a diversi punti e incarnazioni. Uno di questi percorsi ha portato al nostro attuale sistema numerico e ha attraversato quelli che sono chiamati numeri Gupta. I numeri Gupta erano di primo piano durante un periodo governato dalla dinastia Gupta e sono stati diffusi in tutto l ” impero come conquistarono terre durante il quarto al sesto secolo. Hanno la seguente forma:

Come i numeri sono arrivati alla loro forma Gupta è aperto a un considerevole dibattito. Sono state offerte molte ipotesi possibili, la maggior parte delle quali si riduce a due tipi di base. Il primo tipo di ipotesi afferma che i numeri provenivano dalle lettere iniziali dei nomi dei numeri. Questo non è raro . . . i numeri greci si sono sviluppati in questo modo. Il secondo tipo di ipotesi afferma che sono stati derivati da alcuni sistemi numerici precedenti. Tuttavia, ci sono altre ipotesi che vengono offerte, una delle quali è dal ricercatore Ifrah. La sua teoria è che in origine c’erano nove numeri, ognuno rappresentato da un numero corrispondente di linee verticali. Una possibilità è questa:

Poiché questi simboli avrebbero impiegato molto tempo per scrivere, alla fine si sono evoluti in simboli corsivi che potevano essere scritti più rapidamente. Se confrontiamo questi con i numeri di Gupta sopra, possiamo provare a vedere come quel processo evolutivo potrebbe aver avuto luogo, ma la nostra immaginazione sarebbe quasi tutto ciò su cui dovremmo dipendere dal momento che non sappiamo esattamente come si è svolto il processo.

I numeri Gupta alla fine si evolsero in un’altra forma di numeri chiamati numeri Nagari, e questi continuarono ad evolversi fino all’undicesimo secolo, momento in cui assomigliavano a questo:

Si noti che a questo punto è apparso il simbolo per 0! I Maya nelle Americhe avevano un simbolo per zero molto prima di questo, tuttavia, come vedremo più avanti nel capitolo.

Questi numeri furono adottati dagli arabi, molto probabilmente nell’VIII secolo durante le incursioni islamiche nella parte settentrionale dell’India. Si ritiene che gli arabi siano stati determinanti nel diffonderli in altre parti del mondo, inclusa la Spagna (vedi sotto).

Altri esempi di variazioni fino all’XI secolo includono:

Figura 11. Devangari, VIII secolo

Figura 12. Gobar arabo occidentale, decimo secolo

Figura 13. Spagna, 976 AC

Infine, la figura 14 mostra varie forme di questi numeri mentre si sviluppavano e alla fine convergevano nel XV secolo in Europa.

Figura 14.

Numeri romani

Il sistema numerico rappresentato dai numeri romani ha avuto origine nell’antica Roma (753 AC–476 DC) e rimase il solito modo di scrivere numeri in tutta Europa fino al Tardo Medioevo (generalmente comprendente i secoli 14th e 15th (c. 1301-1500)). I numeri in questo sistema sono rappresentati da combinazioni di lettere dell’alfabeto latino. Numeri romani, come oggi, si basano su sette simboli:

L’uso dei numeri Romani continua a lungo dopo il declino dell’Impero Romano. Dal 14 ° secolo in poi, i numeri romani cominciarono ad essere sostituiti nella maggior parte dei contesti dai più convenienti numeri indù-arabi; però, questo processo è stato graduale, e l ” uso di numeri romani persiste in alcune applicazioni minori fino ad oggi.

I numeri da 1 a 10 sono solitamente espressi in numeri romani come segue:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

I numeri sono formati combinando simboli e aggiungendo i valori, quindi II è due (due) e XIII è tredici (dieci e tre). Poiché ogni numero ha un valore fisso piuttosto che rappresentare multipli di dieci, cento e così via, in base alla posizione, non c’è bisogno di “mantenere il posto” zeri, come in numeri come 207 o 1066; quei numeri sono scritti come CCVII (duecento, cinque e due) e MLXVI (mille, cinquanta, dieci, cinque e uno).

I simboli vengono posizionati da sinistra a destra in ordine di valore, iniziando dal più grande. Tuttavia, in alcuni casi specifici, per evitare che quattro caratteri vengano ripetuti in successione (come IIII o XXXX), viene utilizzata la notazione sottrattiva: come in questa tabella:

In summary:

• ho messo la prima V o X indica uno di meno, quindi, quattro, IV (meno di cinque) e nove IX (uno in meno di dieci)
• X posto prima L o C indica dieci in meno, così quaranta è XL (dieci in meno di cinquanta) e novanta è XC (dieci in meno di un centinaio)
• C posto prima di D o M indica un centinaio di meno, così quattrocento è il CD (un centinaio di meno di cinquecento) e nove cento è di CM (un centinaio di meno di un migliaio)

uso Moderno

Dal 11 ° secolo, Indù–arabo era stato introdotto in Europa da al-Andalus, di commercianti Arabi e trattati di aritmetica. I numeri romani, tuttavia, si dimostrarono molto persistenti, rimanendo di uso comune in Occidente fino ai secoli XIV e xv, anche in contabilità e altri documenti aziendali (dove i calcoli effettivi sarebbero stati fatti usando un abaco). La sostituzione con i loro equivalenti “arabi” più convenienti è stata abbastanza graduale e i numeri romani sono ancora usati oggi in determinati contesti. Alcuni esempi del loro uso attuale sono:

spagnolo Reale tramite “IIII” invece di IV

• Nomi di sovrani e papi, ad esempio Elisabetta II del Regno Unito, il Papa Benedetto XVI. Questi sono indicati come regnal numeri; ad esempio II è pronunciato il “secondo”. Questa tradizione iniziò sporadicamente in Europa nel Medioevo, guadagnando un uso diffuso in Inghilterra solo durante il regno di Enrico VIII. In precedenza, il monarca non era conosciuto con numeri ma con un epiteto come Edoardo il Confessore. Alcuni monarchi (ad esempio Carlo IV di Spagna e Luigi XIV di Francia) sembrano aver preferito l’uso di IIII invece di IV sulla loro monetazione (vedi immagine sopra).
• Suffissi generazionali, in particolare negli Stati Uniti, per persone che condividono lo stesso nome tra generazioni, ad esempio William Howard Taft IV.
• Nel calendario repubblicano francese, iniziato durante la Rivoluzione francese, gli anni erano numerati con numeri romani – dall’anno I (1792) quando questo calendario fu introdotto all’anno XIV (1805) quando fu abbandonato.
• L’anno di produzione di film, spettacoli televisivi e altre opere d’arte all’interno dell’opera stessa. E “stato suggerito – da BBC News, forse facetiously – che questo è stato originariamente fatto” nel tentativo di mascherare l ” età di film o programmi televisivi.”Al di fuori di riferimento al lavoro userà regolari indù–numeri arabi.
• Ora segna su orologi. In questo contesto, 4 è solitamente scritto IIII.
• L’anno di costruzione su facciate e capisaldi dell’edificio.
• Numerazione delle pagine di prefazioni e introduzioni di libri, e talvolta anche di allegati.
• Volume del libro e numeri di capitolo, così come i diversi atti all’interno di un gioco (ad esempio Atto iii, Scena 2).
• Sequel di alcuni film, videogiochi e altre opere (come in Rocky II).
• Delinea che utilizzano i numeri per mostrare le relazioni gerarchiche.
• Occorrenze di un grande evento ricorrente, ad esempio:
  • L’Estate e Giochi Olimpici Invernali (ad esempio, la XXI Giochi Olimpici Invernali; i Giochi della XXX Olimpiade)
  • Il Super Bowl, l’annuale partita di campionato della National Football League (ad esempio il Super Bowl XXXVII; Super Bowl 50 è un eccezione)
  • WrestleMania, l’annuale wrestling evento per il WWE (es. WrestleMania XXX). Anche questo utilizzo è stato incoerente.