Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, disposte in modo tale che la somma dei numeri in orizzontale, verticale o diagonale principale della linea è sempre lo stesso numero (Kraitchik 1942, p. 142; Andrews, 1960, p. 1; Gardner, 1961, p. 130; Madachy 1979, p. 84; Benson e Jacoby 1981, p. 3; Palla e Coxeter 1987, p. 193), conosciuta come la costante magica

Se ogni numero in un quadrato magico è sottratto , un altro quadrato magico si ottiene chiamato complementari quadrato magico. Un quadrato composto da numeri consecutivi che iniziano con 1 è talvolta noto come un quadrato magico “normale”.

L’unico quadrato normale dell’ordine tre era noto agli antichi cinesi, che lo chiamavano Lo Shu. Una versione dell’ordine-4 magic square con i numeri 15 e 14 nelle colonne centrali adiacenti nella riga inferiore è chiamata magic square di Dürer. I quadrati magici di ordine da 3 a 8 sono mostrati sopra.

La costante magica per un esimo ordine generale quadrato magico di partenza con un numero intero e con le voci di un aumento aritmetica in serie a con la differenza tra i termini è

(Hunter e Madachy 1975).

È un problema irrisolto determinare il numero di quadrati magici di un ordine arbitrario, ma il numero di quadrati magici distinti (esclusi quelli ottenuti per rotazione e riflessione )di ordine , 2, … sono 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, pag. 87). Gli 880 quadrati di ordine quattro sono stati enumerati da Frénicle de Bessy nel 1693, e sono illustrati in Berlekamp et al. (1982, pp. 778-783). Il numero di quadrati magici è stato calcolato da R. Schroeppel nel 1973. Il numero di quadrati non è noto, ma Pinn e Wieczerkowski (1998) hanno stimato che fosse usando la simulazione Monte Carlo e i metodi della meccanica statistica. I metodi per enumerare i quadrati magici sono discussi da Berlekamp et al. (1982) e sul sito web di MathPages.

Un quadrato che non riesce ad essere magico solo perché una o entrambe le somme diagonali principali non sono uguali alla costante magica è chiamato un quadrato semimagico. Se tutte le diagonali (comprese quelle ottenute avvolgendo) di un quadrato magico sommano alla costante magica, il quadrato si dice che sia un quadrato panmagico (chiamato anche quadrato diabolico o quadrato pandiagonale). Se la sostituzione di ogni numero con il suo quadrato produce un altro quadrato magico, si dice che il quadrato sia un quadrato bimagico (o quadrato doppiamente magico). Se un quadrato è magico per , e , si chiama trimagic square (o trebly magic square). Se tutte le coppie di numeri simmetricamente opposte al centro somma a , si dice che il quadrato sia un quadrato magico associativo.

I quadrati che sono magici sotto moltiplicazione invece di addizione possono essere costruiti e sono noti come quadrati magici di moltiplicazione. Inoltre, i quadrati che sono magici sotto sia l’addizione che la moltiplicazione possono essere costruiti e sono noti come quadrati magici di addizione-moltiplicazione (Hunter e Madachy 1975).

Kraitchik (1942) fornisce tecniche generali di costruzione di quadrati pari e dispari di ordine . Per dispari, è possibile utilizzare una tecnica molto semplice nota come metodo siamese, come illustrato sopra (Kraitchik 1942, pp. 148-149). Inizia posizionando un 1 nel quadrato centrale della riga superiore, quindi posizionando in modo incrementale i numeri successivi nell’unità quadrata sopra e a destra. Il conteggio è avvolto intorno, in modo che cadere dall’alto ritorni sul fondo e cadere a destra ritorni a sinistra. Quando si incontra un quadrato che è già riempito, il numero successivo viene invece posizionato sotto il precedente e il metodo continua come prima. Il metodo, chiamato anche metodo di de la Loubere, si presume sia stato segnalato per la prima volta in Occidente quando de la Loubere tornò in Francia dopo aver servito come ambasciatore in Siam.

Una generalizzazione di questo metodo utilizza un “vettore ordinario” che fornisce l’offset per ogni mossa non collisione e un “vettore di interruzione” che fornisce l’offset da introdurre in caso di collisione. Il metodo siamese standard ha quindi un vettore ordinario (1, e un vettore di interruzione (0, 1). Affinché questo produca un quadrato magico, ogni mossa break deve finire su una cella vuota. Classi speciali di quadrati magici possono essere costruite considerando le somme assolute e . Chiama l’insieme di questi numeri la sommadiffi (somme e differenze). Se tutti i sumdiff sono relativamente primi a e il quadrato è un quadrato magico, allora il quadrato è anche un quadrato panmagic. Questa teoria ha avuto origine con de la Hire. La tabella seguente fornisce i sumdiff per scelte particolari di vettori ordinari e break.

Un secondo metodo per generare quadrati magici di ordine dispari è stato discusso da JH Conway sotto il nome del metodo “losanga”. Come illustrato sopra, in questo metodo, i numeri dispari sono costruiti lungo linee diagonali a forma di diamante nella parte centrale del quadrato. I numeri pari che sono stati persi vengono quindi aggiunti in sequenza lungo la continuazione della diagonale ottenuta avvolgendo il quadrato fino a quando la diagonale avvolta raggiunge il suo punto iniziale. Nel quadrato sopra, la prima diagonale si riempie quindi 1, 3, 5, 2, 4, la seconda diagonale si riempie 7, 9, 6, 8, 10, e così via.

Un metodo elegante per costruire quadrati magici di ordine doppiamente uniformeconsiste nel disegnareattraverso ogni sotto quadrato e riempire tutti i quadrati in sequenza. Quindi sostituire ogni voce su una diagonale incrociata da o, equivalentemente, invertire l’ordine delle voci barrate. Pertanto, nell’esempio precedente per , i numeri barrati sono originariamente 1, 4,…, 61, 64, quindi la voce 1 è sostituita con 64, 4 con 61, ecc.

Un metodo molto elegante per costruire quadrati magici di ordine singolarmente pari con (non esiste un quadrato magico di ordine 2) è dovuto a JH Conway, che lo chiama il metodo “LUX”. Creare un array composto di righe di s, 1 riga di Noi, e righe di s, tutti di lunghezza . Scambia la U centrale con la L sopra di essa. Ora genera il quadrato magico di ordine usando il metodo siamese centrato sulla matrice di lettere (iniziando dal quadrato centrale della riga superiore), ma riempi ogni set di quattro quadrati che circondano una lettera in sequenza secondo l’ordine prescritto dalla lettera. Tale ordine è illustrato sul lato sinistro della figura sopra, e il quadrato completato è illustrato a destra. Le” forme ” delle lettere L, U e X suggeriscono naturalmente l’ordine di riempimento, da cui il nome dell’algoritmo.

Le variazioni sui quadrati magici possono anche essere costruite usando lettere (sia nella definizione del quadrato o come voci in esso), come il quadrato alphamagic e il quadrato magico templare.

Varie proprietà numerologiche sono state associate anche ai quadrati magici. Pivari associa i quadrati sopra illustrati con Saturno, Giove, Marte, il Sole, Venere, Mercurio e la Luna, rispettivamente. I modelli attraenti si ottengono collegando numeri consecutivi in ciascuno dei quadrati (ad eccezione del quadrato magico del Sole).