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l’equazione di una retta (quando l’equazione è scritta come y = mx + b”), la pendenza è il numero di “m” che viene moltiplicato x, e “b” è l’intercetta di y (che è il punto in cui la linea attraversa l’asse verticale y). Questa forma utile dell’equazione di linea è sensibilmente chiamata “forma di intercettazione del pendio”.
La grafica da questo formato può essere abbastanza semplice, in particolare se i valori di “m” e “b” sono numeri relativamente semplici, come 2 o -4.5, piuttosto che qualcosa di disordinato come
o 1.67385.
In questa lezione, esamineremo i significati del “mondo reale” che la pendenza e l’intercetta y di una linea possono avere, nel contesto. In altre parole, dato un” problema di parole ” che modella qualcosa nel mondo reale, o un vero e proprio modello lineare del mondo reale, cosa significano la pendenza e l’intercettazione dell’equazione di modellazione, in termini pratici?
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Quando stavamo per la prima volta disegnando linee rette, abbiamo visto che la pendenza di una determinata linea misura quanto il valore di y cambia per ogni tanto che il valore di x cambia. Ad esempio, considera questa riga:
La pendenza della riga precedente è il valore
. Ciò significa che, partendo da qualsiasi punto di questa linea, possiamo arrivare a un altro punto della linea salendo 3 unità e poi andando a destra 5 unità. Ma (e questa è la cosa utile) potremmo anche vedere questa pendenza come una frazione su 1; vale a dire:
la pendenza è 3/5 su 1Questo ci dice, in termini pratici, che, per ogni unità che la variabile x aumenta (cioè si sposta a destra), la variabile y aumenta (cioè sale) di tre quinti di un’unità. Anche se questo non necessariamente graficamente facilmente come “tre su e cinque sopra”, può essere un modo più utile di visualizzare le cose quando stiamo facendo problemi di parole o considerando modelli del mondo reale.
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Slope: Molto spesso, i problemi di parole con equazioni lineari trattano i cambiamenti nel corso del tempo; le equazioni si occuperanno di quanto qualcosa (rappresentato dal valore sull’asse verticale) cambia al passare del tempo (rappresentato sull’asse orizzontale).
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Un esercizio potrebbe, ad esempio, parlare di come la popolazione cresce, anno dopo anno, in una certa città, supponendo che la popolazione aumenti di un certo importo fisso ogni anno. Per ogni anno che passa (cioè per ogni aumento di 1 lungo l’asse orizzontale), la popolazione aumenterebbe (cioè, salirebbe lungo l’asse verticale) di quell’importo fisso.
Intercetta: Quando x = 0, il corrispondente valore y è l’intercetta y. Nel particolare contesto dei problemi di parole, l’intercetta y (cioè il punto in cui x = 0) si riferisce anche al valore iniziale. Per un esercizio basato sul tempo, questo sarà il valore quando hai iniziato a leggere o quando hai iniziato a monitorare il tempo e le relative modifiche.
Nell’esempio sopra, l’intercetta y sarebbe la popolazione quando i sociologi hanno iniziato a tenere traccia della popolazione. Se hanno iniziato a prendere le loro misure o fare i loro calcoli da un anno ” base “del 1997, allora” x = 0 “corrisponderebbe a” l’anno 1997 “e l’intercetta y corrisponderebbe a”la popolazione nel 1997”.
Advisory: “Quando hai iniziato a tenere traccia “non è lo stesso di”quando (qualunque cosa tu stia misurando) è iniziato”. Usando l’esempio sopra, il tuo modello di crescita della popolazione potrebbe essere molto accurato per gli anni 1997 attraverso 2015, ma la città la cui popolazione viene misurata potrebbe essere stata fondata nel lontano 1672. In questo caso,” t = 0 “significherebbe” quando abbiamo iniziato a misurare, nel 1997″; non rappresenterebbe” l’anno zero per la città, che fu la sua fondazione nel 1672″;” t = 2 ” rappresenterebbe il 1999, due anni dopo aver iniziato a contare; e così via.
Presta attenzione a come vengono definite le variabili!
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I seguenti sono alcuni esempi per aiutare a illustrare come funziona.
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La durata della vita media delle donne americane è stata monitorata e il modello per i dati è y = 0.2t + 73, dove t = 0 corrisponde al 1960. Spiega il significato della pendenza e dell’intercetta y.
Qual è la pendenza? È m = 0.2. Questo valore mi dice che, per ogni aumento di 1 nella mia variabile di input t (cioè, per ogni aumento di un anno), il valore della mia variabile di output y aumenterà di 0.2.
Qual è il significato della pendenza?
La pendenza mi dice che, ogni anno, la durata media della vita delle donne americane è aumentata di 0,2 anni, o circa 2,4 mesi.
Quando t = 0, qual è il valore di y? Guardando l’equazione, vedo che y = 73.
Qual è il significato di questo valore y?
Il valore intercept mi dice che, nel 1960 (quando hanno iniziato a contare), la durata media di una donna americana era di 73 anni.
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L’equazione per la velocità (non l’altezza) di una palla che viene lanciata verso l’alto in aria è data da v = 128 – 32t, dove v è la velocità (in piedi al secondo) e t è il numero di secondi dopo che la palla viene lanciata. Con quale velocità iniziale è stata lanciata la palla? Qual è il significato della pendenza?
Qual è la pendenza? È m = -32. Questo valore mi dice che, per ogni aumento di 1 nella mia variabile di input t, ottengo una diminuzione di 32 nella mia variabile di output v.
Qual è il significato della pendenza?
La pendenza mi dice che, per ogni secondo che passa, la velocità della palla diminuisce di 32 piedi al secondo.
(Anche, a proposito, la velocità alla fine diventerà zero (quando la palla raggiunge il picco del suo arco), e quindi diventerà negativa (quando la gravità prende il sopravvento e tira la palla a terra).
Quando t = 0, qual è il valore di v? Guardando l’equazione, vedo che v = 128. L’esercizio definisce v come misurare la velocità della palla.
Qual è il significato di questo valore v?
Il valore di intercettazione mi dice che, quando la palla è stata rilasciata, è stata lanciata verso l’alto ad una velocità di 128 piedi al secondo.
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I pescatori della regione dei Finger Lakes hanno registrato i pesci morti che incontrano mentre pescano nella regione. Il Dipartimento di Conservazione ambientale monitora l’indice di inquinamento per la regione dei Finger Lakes. Il modello per il numero di morti di pesce ” y “per un dato indice di inquinamento” x ” è y = 9.607 x + 111.958. Qual è il significato della pendenza? Qual è il significato dell’intercettazione y?
Qual è la pendenza? È m = 9.607. Questo valore mi dice che, per ogni aumento di 1 nella mia variabile di input x, ottengo un aumento di 9.607 nella mia variabile di output y.
Qual è il significato della pendenza?
La pendenza mi dice che, per ogni aumento dell’indice di inquinamento di un’unità (diciamo, da un indice di inquinamento di 6 a un indice di inquinamento di7), ci sono nove o dieci morti di pesce in più durante l’anno.
(Perché “o”? Perché la porzione 0.607 di un pesce non ha senso in termini pratici. Il numero di pesci trovati sarà un numero intero; in questo caso, che il numero intero dovrebbe essere o nove o dieci.
Quando x = 0, qual è il valore di y? Guardando l’equazione, vedo che y = 111.958.
Qual è il significato di questo valore y?
Il valore intercept mi dice che, anche se l’indice fosse zero (cioè, anche se l’acqua fosse completamente pura), ci sarebbero comunque circa 112 morti di pesce all’anno.
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Problemi di parole con equazioni lineari (cioè con modelli a linea retta) funzionano quasi sempre in questo modo: la pendenza è la velocità di variazione e l’intercetta y è il valore iniziale. (Non posso, in cima alla mia testa, pensare a qualsiasi istanza in cui questo non sarebbe il caso.)
La difficoltà principale è di solito nell’interpretare la variabile orizzontale, specialmente quando quella variabile è impostata su un determinato anno. Assicurati sempre di essere chiaro sulle definizioni delle variabili e dovresti andare bene.
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