Obiettivi formativi
Alla fine di questa sezione, sarai in grado di:
- Descrivere la lunghezza corretta.
- Calcola la contrazione della lunghezza.
- Spiega perché non notiamo questi effetti alle scale di tutti i giorni.
Figura 1. Le persone potrebbero descrivere le distanze in modo diverso, ma a velocità relativistiche, le distanze sono davvero diverse. (credito: Corey Leopold, Flickr)
Hai mai guidato su una strada che sembra andare avanti per sempre? Se si guarda avanti, si potrebbe dire che avete circa 10 km a sinistra per andare. Un altro viaggiatore potrebbe dire che la strada da percorrere sembra lunga circa 15 km. Se entrambi misurato la strada, tuttavia, si sarebbe d’accordo. Viaggiando a velocità quotidiane, la distanza che entrambi misurano sarebbe la stessa. Leggerete in questa sezione, tuttavia, che questo non è vero a velocità relativistiche. Vicino alla velocità della luce, le distanze misurate non sono le stesse se misurate da diversi osservatori.
Lunghezza corretta
Una cosa su cui tutti gli osservatori concordano è la velocità relativa. Anche se gli orologi misurano diversi tempi trascorsi per lo stesso processo, concordano ancora sul fatto che la velocità relativa, che è la distanza divisa per il tempo trascorso, è la stessa. Ciò implica che anche la distanza dipende dal moto relativo dell’osservatore. Se due osservatori vedono tempi diversi, allora devono anche vedere distanze diverse perché la velocità relativa sia la stessa per ciascuno di essi.
Il muone discusso nell’esempio 1 in Simultaneità e Dilatazione del tempo illustra questo concetto. Per un osservatore sulla Terra, il muone viaggia a 0,950 c per 7,05 µs dal momento in cui viene prodotto fino al decadimento. Così viaggia una distanza
L0 = vΔt = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(7.05 × 10-6 s) = 2.01 km
rispetto alla Terra. Nel quadro di riferimento del muone, la sua durata è di soli 2,20 µs. Ha abbastanza tempo per viaggiare solo
L0 = vΔt0 = (0,950)(3,00 × 108 m / s)(2,20 × 10-6 s) = 0,627 km.
La distanza tra gli stessi due eventi (produzione e decadimento di un muone) dipende da chi lo misura e da come si muovono rispetto ad esso.
Lunghezza corretta
Lunghezza corretta L0 è la distanza tra due punti misurata da un osservatore che è a riposo rispetto a entrambi i punti.
L’osservatore legato alla Terra misura la lunghezza corretta L0, perché i punti in cui il muone viene prodotto e decade sono stazionari rispetto alla Terra. Per il muone, la Terra, l’aria e le nuvole si stanno muovendo, e quindi la distanza che vede non è la giusta lunghezza.
Figura 2. (a) L’osservatore terrestre vede il muone viaggiare 2,01 km tra le nuvole. (b) Il muone si vede percorrere lo stesso percorso, ma solo una distanza di 0,627 km. La Terra, l’aria e le nuvole si muovono rispetto al muone nel suo telaio, e tutti sembrano avere lunghezze più piccole lungo la direzione di marcia.
Contrazione della lunghezza
Per sviluppare un’equazione relativa alle distanze misurate da diversi osservatori, notiamo che la velocità relativa all’osservatore legato alla Terra nel nostro esempio di muone è data da
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
Il tempo relativo all’osservatore legato alla Terra è Δt, poiché l’oggetto temporizzato si muove rispetto a questo osservatore. La velocità relativa all’osservatore in movimento è data da
v=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
L’osservatore in movimento viaggia con il muone e quindi osserva il tempo corretto Δt0. Le due velocità sono identiche; quindi,
\frac{L_0} {\Delta {t}}=\frac{L} {\Delta{t} _0}\\.
Sappiamo che Δt = γΔt0. Sostituendo questa equazione nella relazione precedente si ottiene
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
Sostituendo γ si ottiene un’equazione relativa alle distanze misurate da diversi osservatori.
Contrazione della lunghezza
La contrazione della lunghezza L è l’accorciamento della lunghezza misurata di un oggetto in movimento rispetto al fotogramma dell’osservatore.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
Se misuriamo la lunghezza di qualsiasi cosa in movimento rispetto al nostro fotogramma, troviamo che la sua lunghezza L sia inferiore alla lunghezza corretta L0 che verrebbe misurata se l’oggetto fosse fermo. Ad esempio, nel quadro di riferimento del muone, la distanza tra i punti in cui è stato prodotto e dove è decaduto è più breve. Questi punti sono fissi rispetto alla Terra ma in movimento rispetto al muone. Nuvole e altri oggetti sono anche contratti lungo la direzione del movimento nel telaio di riferimento del muone.
Esempio 1. Calcolo della contrazione della lunghezza: la distanza tra le stelle si contrae quando si viaggia ad alta velocità
Supponiamo che un astronauta, come il gemello discusso in Simultaneità e dilatazione del tempo, viaggi così velocemente che γ = 30.00.
- Viaggia dalla Terra al sistema stellare più vicino, Alpha Centauri, a 4.300 anni luce (ly) di distanza come misurato da un osservatore legato alla Terra. Quanto distanti sono la Terra e Alpha Centauri come misurato dall’astronauta?
- In termini di c, qual è la sua velocità rispetto alla Terra? Si può trascurare il moto della Terra rispetto al Sole. (Vedi Figura 3.)
Figura 3. (a) L’osservatore legato alla Terra misura la giusta distanza tra la Terra e l’Alfa Centauri. (b) L’astronauta osserva una contrazione della lunghezza, poiché la Terra e l’Alfa Centauri si muovono rispetto alla sua nave. Può percorrere questa distanza più breve in un tempo più piccolo (il suo tempo corretto) senza superare la velocità della luce.
Strategia
Per prima cosa si noti che un anno luce (ly) è una comoda unità di distanza su scala astronomica: è la distanza percorsa dalla luce in un anno. Per la Parte 1, si noti che la distanza di 4.300 ly tra Alpha Centauri e la Terra è la distanza corretta L0, perché è misurata da un osservatore legato alla Terra a cui entrambe le stelle sono (approssimativamente) stazionarie. Per l’astronauta, la Terra e l’Alfa Centauri sono di muoversi alla stessa velocità, e quindi la distanza tra loro è il contratto di lunghezza L. la Parte 2, che ci vengono date, γ, e così possiamo trovare v riorganizzando la definizione di γ esprimere v, in termini di c.
Soluzione per la Parte 1
Identificare l’ignoto:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
Identificare l’ignoto: L
Scegliere l’equazione appropriata:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
Riorganizzare l’equazione per risolvere per l’ignoto.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ l}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ l}\end{array}\\
Soluzione per la Parte 2
Identificare il noto: γ = 30.00
Identificare l’ignoto: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ in modo che 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ e \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
Prendere la radice quadrata, troviamo \frac{v}{c}=0.99944\\, che è riorganizzato per produrre un valore per la velocità v = 0.9994 c.
Discussione
Prima di tutto, ricordate che non si deve concludere i calcoli fino ad ottenere il risultato finale, o si potrebbe ottenere risultati errati. Ciò è particolarmente vero per i calcoli di relatività speciale, dove le differenze potrebbero essere rivelate solo dopo diverse cifre decimali. L’effetto relativistico è grande qui (γ = 30.00), e vediamo che v si sta avvicinando (non eguagliando) alla velocità della luce. Poiché la distanza misurata dall’astronauta è molto più piccola, l’astronauta può percorrerla in molto meno tempo nel suo telaio.
Le persone potrebbero essere inviate a distanze molto grandi (migliaia o addirittura milioni di anni luce) e invecchiare solo pochi anni sulla strada se viaggiavano a velocità estremamente elevate. Ma, come emigranti dei secoli passati, avrebbero lasciato la Terra che conoscono per sempre. Anche se fossero tornati, migliaia o milioni di anni sarebbero passati sulla Terra, cancellando la maggior parte di ciò che ora esiste. C’è anche un ostacolo pratico più serio al viaggio a tali velocità; energie immensamente maggiori di quelle che la fisica classica prevede sarebbero necessarie per raggiungere velocità così elevate. Questo sarà discusso in Energia relatavistica.
Figura 4. Le linee di campo elettrico di una particella carica ad alta velocità sono compresse lungo la direzione del movimento per contrazione della lunghezza. Questo produce un segnale diverso quando la particella passa attraverso una bobina, un effetto verificato sperimentalmente di contrazione della lunghezza.
Perché non notiamo la contrazione della lunghezza nella vita di tutti i giorni? La distanza dal negozio di alimentari non sembra dipendere dal fatto che ci stiamo muovendo o meno. Esaminando l’equazione L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\, vediamo che a basse velocità (v<<c) le lunghezze sono quasi uguali, l’aspettativa classica. Ma la contrazione della lunghezza è reale, se non comunemente sperimentata. Ad esempio, una particella carica, come un elettrone, che viaggia a velocità relativistica ha linee di campo elettrico che sono compresse lungo la direzione del movimento come visto da un osservatore stazionario. (Vedi Figura 4.) Mentre l’elettrone passa un rivelatore, come una bobina di filo, il suo campo interagisce molto più brevemente, un effetto osservato negli acceleratori di particelle come lo Stanford Linear Accelerator (SLAC) lungo 3 km. Infatti, per un elettrone che viaggia lungo il tubo del fascio a SLAC, l’acceleratore e la Terra sono tutti in movimento e sono lunghezza contratta. L’effetto relativistico è così grande che l’acceleratore è lungo solo 0,5 m per l’elettrone. In realtà è più facile per ottenere il fascio di elettroni lungo il tubo, dal momento che il fascio non deve essere esattamente mirato a scendere un tubo corto come sarebbe giù uno 3 km di lunghezza. Questa, ancora una volta, è una verifica sperimentale della Teoria della Relatività Speciale.
Verifica la tua comprensione
Una particella sta viaggiando attraverso l’atmosfera terrestre ad una velocità di 0,750 c. Per un osservatore legato alla Terra, la distanza percorsa è di 2,50 km. Fino a che punto viaggia la particella nel quadro di riferimento della particella?
Soluzione
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\left(2.50\text{ km}\right)\sqrt{1-\frac{\left(0.750 c\right)^2}{c^2}}=1.65\text{ km}\\
Sezione di Riepilogo
- Tutti gli osservatori concordano velocità relativa.
- La distanza dipende dal movimento di un osservatore. La lunghezza corretta L0 è la distanza tra due punti misurata da un osservatore che è a riposo rispetto a entrambi i punti. Gli osservatori legati alla Terra misurano la lunghezza corretta quando misurano la distanza tra due punti stazionari rispetto alla Terra.
- Contrazione della lunghezza L è l’accorciamento della lunghezza misurata di un oggetto in movimento rispetto al fotogramma dell’osservatore:
L=L_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
Domande concettuali
- A chi un oggetto sembra più lungo, un osservatore che si muove con l’oggetto o un osservatore che si muove rispetto all’oggetto? Quale osservatore misura la lunghezza corretta dell’oggetto?
- Effetti relativistici come la dilatazione del tempo e la contrazione della lunghezza sono presenti per auto e aerei. Perché questi effetti ci sembrano strani?
- Supponiamo che un astronauta si muova rispetto alla Terra ad una frazione significativa della velocità della luce. (a) Osserva egli il ritmo dei suoi orologi di aver rallentato? (b) Quale cambiamento vede nel ritmo degli orologi legati alla Terra? (c)Gli sembra che la sua nave si accorci? (d) Che dire della distanza tra le stelle che si trovano su linee parallele al suo moto? (e) Concordano lui e un osservatore legato alla Terra sulla sua velocità rispetto alla Terra?
Problemi& Esercizi
- Un’astronave, lunga 200 m come si vede a bordo, si muove dalla Terra a 0,970 c. Qual è la sua lunghezza misurata da un osservatore legato alla Terra?
- Quanto velocemente un’auto sportiva lunga 6,0 m deve passare davanti a te in modo che appaia lunga solo 5,5 m?
- (a) Quanto lontano viaggia il muone nell’esempio 1 in Simultaneità e dilatazione del tempo secondo l’osservatore legato alla Terra? (b) Fino a che punto viaggia visto da un osservatore che si muove con esso? Basare il calcolo sulla sua velocità rispetto alla Terra e il tempo che vive (tempo corretto). (c) Verificare che queste due distanze siano correlate attraverso la contrazione della lunghezza γ = 3.20.
- (a) Per quanto tempo il muone nell’esempio 1 in Simultaneità e dilatazione del tempo sarebbe vissuto come osservato sulla Terra se la sua velocità fosse di 0,0500 c? (b) Fino a che punto avrebbe viaggiato come si è visto sulla Terra? (c) A che distanza è questo nel telaio del muone?
- (a) Quanto tempo impiega l’astronauta nell’esempio 1 per viaggiare 4.30 ly a 0.99944 c (come misurato dall’osservatore legato alla Terra)? (b) Quanto tempo ci vuole secondo l’astronauta? (c) Verificare che questi due tempi siano correlati attraverso la dilatazione del tempo con γ = 30.00 come dato.
- (a) Quanto velocemente un atleta dovrebbe correre per una gara di 100 m per sembrare lungo 100 yd? (b) La risposta è coerente con il fatto che gli effetti relativistici sono difficili da osservare in circostanze ordinarie? Spiegare.
- Risultati irragionevoli. (a) Trova il valore di γ per la seguente situazione. Un astronauta misura la lunghezza della sua astronave per essere 25,0 m, mentre un osservatore terrestre misura per essere 100 m. (b) Cosa c’è di irragionevole in questo risultato? (c) Quali ipotesi sono irragionevoli o incoerenti?
- Risultati irragionevoli. Un’astronave si sta dirigendo direttamente verso la Terra ad una velocità di 0,800 c. L’astronauta a bordo afferma di poter inviare un contenitore verso la Terra a 1,20 c rispetto alla Terra. (a) Calcolare la velocità che il contenitore deve avere rispetto all’astronave. (b) Cosa c’è di irragionevole in questo risultato? (c) Quali ipotesi sono irragionevoli o incoerenti?
Glossario
lunghezza corretta: L0; la distanza tra due punti misurata da un osservatore in quiete rispetto a entrambi i punti; legato alla Terra osservatori misura della lunghezza giusta quando si misura la distanza tra due punti che sono fermi rispetto alla Terra
lunghezza contrazione: L, l’accorciamento della lunghezza misurata di un oggetto in movimento rispetto all’osservatore frame:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
Selezionato le Soluzioni ai Problemi & Esercizi
1. 48,6 m
3. a) 1,387 km = 1,39 km; b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c)\Delta{t}=\gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac {\Delta{t}} {\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\ \
Quindi, i due tempi sono correlati quando γ = 30.00.
7. (a) 0,250; (b) γ deve essere ≥ 1; (c) L’osservatore legato alla Terra deve misurare una lunghezza più breve, quindi è irragionevole assumere una lunghezza più lunga.