Una funzione mette in relazione un input con un output.
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È come una macchina che ha un input e un output. E l’output è correlato in qualche modo all’input. |
| f(x) |
“f(x) = … “è il modo classico di scrivere una funzione. |
Input, di Relazione, di Uscita
vedremo molti modi di pensare di funzioni, ma ci sono sempre tre parti principali:
- ingresso
- rapporto
- output
Esempio: “Moltiplicare per 2” è una funzione molto semplice.
Ecco le tre parti:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
Alcuni Esempi di Funzioni
- x2 (quadratura) è una funzione
- x3+1 è anche una funzione
- Seno, Coseno e Tangente sono funzioni utilizzate in trigonometria
- e ci sono un sacco di più!
Ma non esamineremo funzioni specifiche …
… invece vedremo l’idea generale di una funzione.
Nomi
In primo luogo, è utile dare un nome a una funzione.
Il nome più comune è “f”, ma possiamo avere altri nomi come “g” … o anche “marmellata” se vogliamo.
Ma usiamo”f”:
diciamo “f di x è uguale a x al quadrato”
ciò che va con la funzione viene messo all’interno di parentesi tonde dopo il nome della funzione:
f(x), ci mostra che la funzione è denominata “f”, e “x” va in
E che siamo abituati a vedere ciò che una funzione con l’ingresso:
f(x) = x2 ci mostra che la funzione “f” prende “x” e le piazze di esso.
Esempio: con f(x) = x2:
- un ingresso di 4
- diventa un output di 16.
Infatti possiamo scrivere f(4) = 16.
La “x” è solo un segnaposto!
Non preoccuparti troppo di “x”, è solo lì per mostrarci dove va l’input e cosa succede ad esso.
Potrebbe essere qualsiasi cosa!
questa funzione:
f(x) = 1 – x + x2
È la stessa funzione:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(A) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
La variabile (x, q, A, ecc) è proprio così sappiamo dove mettere i valori:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
a Volte Non C’è il Nome della Funzione
a Volte una funzione senza nome, e vediamo qualcosa di simile:
y = x2
Ma c’è ancora:
- un input (x)
- una relazione (quadratura)
- e un’uscita (y)
Relativa
In alto abbiamo detto che una funzione era come una macchina. Ma una funzione in realtà non ha cinghie o ingranaggi o parti in movimento-e in realtà non distrugge ciò che ci mettiamo dentro!
Una funzione mette in relazione un input con un output.
Dire “f (4) = 16” è come dire che 4 è in qualche modo correlato a 16. Oppure 4 → 16
Esempio: questo albero cresce a 20 cm ogni anno, quindi, l’altezza dell’albero è legata alla sua età utilizzando la funzione h:
h(età) = età × 20
Così, se l’età è di 10 anni, l’altezza è:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Ecco alcuni valori di esempio:
| età | h(età) = età × 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
“Numbers” seems an obvious answer, but …
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… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
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… potrebbe anche essere lettere (“A” → “B”), o codici ID (“A6309″→” Pass”) o cose più strane. |
Quindi abbiamo bisogno di qualcosa di più potente, e che è dove gli insiemi vengono in:
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un set è Un insieme di cose.Ecco alcuni esempi:
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Ogni singola cosa nel set (come “4” o “hat”) è chiamata membro o elemento.
Quindi, una funzione prende elementi di un set e restituisce elementi di un set.
Funzione è Speciale
Ma una funzione di regole speciali:
- deve funzionare per ogni possibile valore di input
- E ha solo una relazione per ogni valore di input
Questo può essere detto in una definizione:
Definizione formale di una funzione
Una funzione mette in relazione ogni elemento di un set
con esattamente un elemento di un altro set
(possibilmente lo stesso set).
Le due cose importanti!
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“…ogni elemento…”significa che ogni elemento in X è correlato a qualche elemento in Y. Diciamo che la funzione copre X (riferisce ogni elemento di esso). (Ma alcuni elementi di Y potrebbero non essere affatto correlati, il che va bene.) |
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“…esattamente uno…”significa che una funzione è a valore singolo. Non restituirà 2 o più risultati per lo stesso input. Quindi “f (2) = 7 o 9” non è giusto! |
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“Uno-a-molti” non è consentito, ma “molti-a-uno” è consentito: |
||
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| (uno-a-molti) | (molti-a-uno) | |
| Questo NON è giusto in una funzione | Ma questo è OK in una funzione |
Quando una relazione non seguire queste due regole, quindi non è una funzione … è ancora una relazione, non solo una funzione.
Esempio: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- Ogni elemento in X è correlato a Y
- Nessun elemento in X ha due o più relazioni
Quindi segue le regole.
(Si noti come sia 4 che -4 si riferiscono a 16, che è consentito.)
Esempio: Questa relazione non è una funzione:
È una relazione, ma non è una funzione, per questi motivi:
- il Valore “3” X non ha alcuna relazione con Y
- il Valore “4” X non ha alcuna relazione con Y
- il Valore “5” è legata a più di un valore in Y
(Ma il fatto che il “6” in Y non ha alcuna relazione non importa)
Linea Verticale Test
Su un grafico, l’idea di un singolo valore, che significa che nessuna linea verticale mai attraversa più di un valore.
Se attraversa più di una volta è ancora una curva valida, ma non è una funzione.
Alcuni tipi di funzioni hanno regole più severe, per saperne di più puoi leggere Iniettivi, Suriettivi e Biiettivi
Infinitamente molti
I miei esempi hanno solo pochi valori, ma le funzioni di solito funzionano su insiemi con infiniti elementi.
Esempio: y = x3
- Il set di input “X” è tutti i Numeri Reali
- L’uscita del set di “Y” è anche di tutti i Numeri Reali
non Siamo in grado di visualizzare TUTTI i valori, quindi, qui ci sono solo un paio di esempi:
| X: x | Y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
Dominio, Codomain e Gamma
Nei nostri esempi sopra
- set di “X” è chiamato il Dominio
- set di “Y” è chiamato il Codomain, e
- l’insieme di elementi che indicata in Y (i valori effettivi prodotta dalla funzione) viene chiamato Intervallo.
Abbiamo una pagina speciale su Domain, Range e Codomain se vuoi saperne di più.
Tanti nomi!
Le funzioni sono state utilizzate in matematica per un tempo molto lungo e sono nati molti nomi e modi diversi di scrivere funzioni.
Qui ci sono alcuni dei termini più comuni che si dovrebbe avere familiarità con:
Esempio: z = 2u3:
- “u” si potrebbe chiamare la “variabile indipendente”
- la”z” si potrebbe chiamare la “variabile dipendente” (dipende dal valore di u)
Esempio: f(4) = 16:
- “4” potrebbe essere chiamato il “argomento”
- “16” potrebbe essere chiamato il “valore della funzione”
Esempio: h(anno) = 20 × anno:
- h() è la funzione
- “anno”, potrebbe essere chiamato il “argomento”, o “variabile”
- un valore fisso come “20” può essere definito un parametro
spesso chiamata di una funzione f(x)” quando in realtà la funzione è davvero “f”
Ordinato di Coppie
E qui è un altro modo di pensare le funzioni di:
Scrivere l’input e l’output di una funzione come “coppia ordinata”, come (4,16).
Sono chiamati coppie ordinate perché l’input viene sempre prima e l’output secondo:
(input, output)
in Modo che assomiglia a questo:
( x, f(x) )
Esempio:
(4,16) significa che la funzione prende in “4” e da “16”
Insieme di Coppie Ordinate
Una funzione può quindi essere definito come un insieme di coppie ordinate:
Esempio: {(2,4), (3,5), (7,3)} è una funzione che dice
“2 è correlato a 4”, “3 è correlato a 5” e “7 è collegato 3”.
Inoltre, si noti che:
- il dominio {2,3,7} (i valori di input)
- la gamma {4,5,3} (valori in uscita)
Ma la funzione è un valore singolo, così anche noi dobbiamo dire
“se contiene (a, b) e (a, c), quindi b deve essere uguale a c”
Che è solo un modo di dire che un ingresso di “a” non può produrre due risultati diversi.
Esempio: {(2,4), (2,5), (7,3)} non è una funzione perché {2,4} e {2,5} significa che 2 potrebbe essere correlato a 4 o 5.
In altre parole non è una funzione perché non è a valore singolo
Un vantaggio delle coppie ordinate
Possiamo graficarle…
… perché sono anche coordinate!
Quindi un insieme di coordinate è anche una funzione (se seguono le regole sopra, cioè)
Una funzione può essere in pezzi
Possiamo creare funzioni che si comportano in modo diverso a seconda del valore di input
Esempio: Una funzione con due pezzi:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
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Here are some example values:
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Per saperne di più su Funzioni a tratti.
Explicit vs Implicit
Un ultimo argomento: i termini “explicit” e “implicit”.
Esplicito è quando la funzione ci mostra come andare direttamente da x a y, come ad esempio:
y = x3 − 3
Quando conosciamo x, possiamo trovare y
Che è il classico stile y = f(x) con cui lavoriamo spesso.
Implicito è quando non viene dato direttamente come:
x2 – 3xy + y3 = 0
Quando conosciamo x, come troviamo y?
Potrebbe essere difficile (o impossibile!) per andare direttamente da x a y.
“Implicito” deriva da “implicito”, in altre parole mostrato indirettamente.
Grafica
- Il grafico delle funzioni può gestire solo funzioni esplicite,
- Il grafico delle equazioni può gestire entrambi i tipi (ma richiede un po ‘ di più e talvolta sbaglia).
Conclusione
- una funzione mette in relazione gli input con gli output
- una funzione prende elementi da un insieme (il dominio) e li mette in relazione con elementi di un insieme (il codominio).
- tutte le uscite (i valori effettivi relative al), il range
- una funzione è un particolare tipo di relazione in cui:
- ogni elemento del dominio è incluso, e
- ingresso produce una sola uscita (non questo o quello)
- ingresso e la corrispondenza in uscita insieme sono chiamati una coppia ordinata
- in modo che una funzione può anche essere visto come un insieme di coppie ordinate