Tassi di variazione
Le funzioni lineari si applicano ai problemi del mondo reale che coinvolgono una velocità costante.
Obiettivi formativi
Applica equazioni lineari per risolvere problemi sui tassi di variazione
Key Takeaways
Key Points
- Se sai che un problema reale è lineare, come la distanza percorsa quando fai jogging, puoi tracciare un grafico della funzione e fare alcune ipotesi con solo due punti.
- La pendenza di una funzione è la stessa del tasso di variazione per la variabile dipendente (y). Ad esempio, se stai disegnando la distanza rispetto al tempo, la pendenza è la velocità con cui la distanza cambia nel tempo, o in altre parole, la velocità.
Termini chiave
- tasso di variazione: Rapporto tra due quantità correlate che stanno cambiando.
- equazione lineare: un’equazione polinomiale di primo grado (come x=2y-7).
- pendenza: Il rapporto tra le distanze verticale e orizzontale tra due punti su una linea; zero se la linea è orizzontale, undefined se è verticale.
Tasso di variazione
Le equazioni lineari spesso includono un tasso di variazione. Ad esempio, la velocità con cui la distanza cambia nel tempo è chiamata velocità. Se due punti nel tempo e la distanza totale percorsa è noto il tasso di cambiamento, noto anche come pendenza, può essere determinato. Da queste informazioni, un’equazione lineare può essere scritta e quindi le previsioni possono essere fatte dall’equazione della linea.
Se l’unità o la quantità rispetto alla quale qualcosa sta cambiando non è specificata, di solito il tasso è per unità di tempo. Il tipo più comune di frequenza è “per unità di tempo”, come velocità, frequenza cardiaca e flusso. I rapporti che hanno un denominatore non temporale includono i tassi di cambio, i tassi di alfabetizzazione e il campo elettrico (in volt/metro).
Nel descrivere le unità di una frequenza, la parola “per” viene utilizzata per separare le unità delle due misurazioni utilizzate per calcolare la frequenza (ad esempio una frequenza cardiaca è espressa “battiti al minuto”).
Tasso di variazione: Applicazione del mondo reale
Un atleta inizia la pratica normale per la prossima maratona durante la serata. Alle 6: 00 pm inizia a correre e lascia la sua casa. Alle 7: 30 pm, l’atleta termina la corsa a casa e ha percorso un totale di 7,5 miglia. Quanto era veloce la sua velocità media nel corso della corsa?
Il tasso di cambiamento è la velocità della sua corsa; distanza nel tempo. Pertanto, le due variabili sono il tempo (x) e la distanza (y). Il primo punto è a casa sua, dove il suo orologio legge 6: 00 pm. Questa è l’ora di inizio, quindi impostiamo su 0. Quindi il nostro primo punto è (0,0) perché non ha ancora corso da nessuna parte. Pensiamo al nostro tempo in ore. Il nostro secondo punto è 1,5 ore dopo, e abbiamo corso 7,5 miglia. Il secondo punto è (1.5, 7.5). La nostra velocità (tasso di variazione) è semplicemente la pendenza della linea che collega i due punti. La pendenza, data da: m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} diventa m= \ frac{7.5}{1.5} = 5 miglia all’ora.
Esempio: Grafico della linea che illustra la velocità
Per tracciare questa linea, abbiamo bisogno dell’intercetta y e della pendenza per scrivere l’equazione. La pendenza era di 5 miglia all’ora e poiché il punto di partenza era a (0,0), l’intercetta y è 0. Quindi la nostra funzione finale è y = 5x.
Grafico della distanza e del tempo: Il grafico di y = 5x. Le due variabili sono il tempo (x) e la distanza (y). La tariffa del corridore è di 5 miglia all’ora. Usando il grafico, le previsioni possono essere fatte supponendo che la sua velocità media rimanga la stessa.
Con questa nuova funzione, ora possiamo rispondere ad altre domande.
- Quante miglia ha percorso dopo la prima mezz’ora? Usando l’equazione, se x=\frac{1}{2}, risolvi per y. Se y=5x, allora y=5(0,5)=2,5 miglia.
- Se ha continuato a correre allo stesso ritmo per un totale di 3 ore, quante miglia avrà corso? Se x=3, risolvi per y. Se y=5x, allora y = 5(3) = 15 miglia.
Esistono molte applicazioni di questo tipo per equazioni lineari. Tutto ciò che comporta un tasso costante di cambiamento può essere ben rappresentato con una linea con la pendenza. Infatti, finché hai solo due punti, se sai che la funzione è lineare, puoi disegnarla e iniziare a fare domande! Basta assicurarsi che quello che stai chiedendo e grafica ha un senso. Ad esempio, nell’esempio marathon, il dominio è in realtà solo x\geq0, dal momento che non ha senso andare in tempo negativo e perdere miglia!
Modelli matematici lineari
I modelli matematici lineari descrivono applicazioni reali con linee.
Obiettivi formativi
Applica modelli matematici lineari a problemi del mondo reale
Punti chiave
Punti chiave
- Un modello matematico descrive un sistema usando concetti matematici e linguaggio.
- I modelli matematici lineari possono essere descritti con linee. Ad esempio, un’auto che va a 50 mph, ha percorso una distanza rappresentata da y=50x, dove x è il tempo in ore e y è miglia. L’equazione e il grafico possono essere utilizzati per fare previsioni.
- Le applicazioni del mondo reale possono anche essere modellate con più linee, ad esempio se due treni viaggiano l’uno verso l’altro. Il punto in cui le due linee si intersecano è il punto in cui i treni si incontrano.
Termini chiave
- modello matematico: rappresentazione matematica astratta di un processo, dispositivo o concetto; utilizza un numero di variabili per rappresentare input, output, stati interni e insiemi di equazioni e disuguaglianze per descrivere la loro interazione.
- regressione lineare: Un approccio alla modellazione della relazione lineare tra una variabile dipendente y e una variabile indipendente x.
Modelli matematici
Un modello matematico è una descrizione di un sistema che utilizza concetti matematici e linguaggio. I modelli matematici sono utilizzati non solo nelle scienze naturali e nelle discipline ingegneristiche, ma anche nelle scienze sociali. La modellazione lineare può includere il cambiamento della popolazione, le spese di chiamata telefonica, il costo del noleggio di una bicicletta, la gestione del peso o la raccolta di fondi. Un modello lineare include il tasso di variazione (m) e l’importo iniziale, l’intercetta y b. Dopo aver scritto il modello e creato un grafico della linea, è possibile utilizzarne uno per fare previsioni sui comportamenti.
Real Life Linear Model
Molte attività quotidiane richiedono l’uso di modelli matematici, forse inconsciamente. Una difficoltà con i modelli matematici sta nel tradurre l’applicazione del mondo reale in una rappresentazione matematica accurata.
Esempio: Affittare un furgone in movimento
Una società di noleggio addebita una tariffa forfettaria di $30 e un ulteriore mile 0,25 per miglio per noleggiare un furgone in movimento. Scrivi un’equazione lineare per approssimare il costo y (in dollari) in termini di x, il numero di miglia percorse. Quanto costerebbe un viaggio di 75 miglia?
Utilizzando la pendenza-intercetta forma di una equazione lineare, il cui costo totale è contrassegnato da y (variabile dipendente) e le miglia con etichetta x (variabile indipendente):
\displaystyle y=mx+b
Il costo totale è pari al tasso per mile volte il numero di chilometri percorsi, più il costo per la tariffa flat:
\displaystyle y=0,25 x+30
Per calcolare il costo di 75 miglia, sostituire il 75 per x nell’equazione:
\displaystyle \begin{align} y&=0.25 x+30\\ &&&=48.75 \end{align}
vita Reale Modello con Più Equazioni
È anche possibile modello più linee e loro equazioni.
Esempio
Inizialmente, i treni A e B distano 325 miglia l’uno dall’altro. Il treno A viaggia verso B a 50 miglia all’ora e il treno B viaggia verso A a 80 miglia all’ora. A che ora i due treni si incontreranno? In questo momento fino a che punto viaggiavano i treni?
In primo luogo, iniziare con le posizioni di partenza dei treni, (y-intercetta, b). Treno A inizia sono l’origine, (0,0). Dal momento che il treno B è 325 miglia di distanza dal treno A inizialmente, la sua posizione è (0,325).
In secondo luogo, per scrivere le equazioni che rappresentano la distanza totale di ogni treno in termini di tempo, calcolare il tasso di variazione per ogni treno. Poiché il treno A sta viaggiando verso il treno B, che ha un valore y maggiore, il tasso di variazione del treno A deve essere positivo e uguale alla sua velocità di 50. Il treno B sta viaggiando verso A, che ha un valore y minore, dando a B un tasso di variazione negativo: -80.
Le due linee sono così:
\displaystyle y_A=50x\\
E:
\displaystyle y_B=−80x+325
I due treni si incontreranno dove le due linee si intersecano. Per trovare dove le due linee si intersecano imposta le equazioni uguali tra loro e risolvi per x:
\displaystyle y_{A}=y_{B}
\displaystyle 50x=-80x+325
Risolvendo per x dà:
\displaystyle x=2.5
I due treni si incontrano dopo 2,5 ore. Per trovare dove si trova, collegare 2.5 in entrambe le equazioni.
Collegandolo alla prima equazione ci dà 50(2.5)=125, il che significa che si incontra dopo un viaggio di 125 miglia.
Ecco il modello grafico distanza/tempo dei due treni:
Treni: Il treno A (linea rossa) è rappresentato dall’equazione: y=50x e il treno B (linea blu) è rappresentato dall’equazione: y=-80x+325. I due treni si incontrano al punto di intersezione (2.5,125), che è dopo 125 miglia in 2,5 ore.
Montaggio di una curva
Il montaggio della curva con una linea tenta di disegnare una linea in modo che “si adatti meglio” a tutti i dati.
Obiettivi formativi
Utilizzare la formula di regressione dei minimi quadrati per calcolare la linea di misura migliore per un insieme di punti
Key Takeaways
Key Points
- Curve fitting è utile per trovare una curva che meglio si adatta ai dati. Ciò consente ipotesi su come i dati sono distribuiti approssimativamente e previsioni sui punti dati futuri.
- La regressione lineare tenta di tracciare una linea che si adatta meglio ai dati.
- L’approssimazione dei minimi quadrati ordinari è un tipo di regressione lineare che riduce al minimo la somma dei quadrati della differenza tra il valore approssimato (dalla linea) e il valore effettivo.
- La pendenza della retta che approssima dati n punti è data da m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}.
- L’intercetta y della linea che approssima n punti dati è data da: b= \displaystyle{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} = \left (\bar{y} – m \bar{x} \right)}
Termini Chiave
- il montaggio di curva: Il processo di costruzione di una curva o di una funzione matematica, che è la misura migliore per una serie di punti di dati, eventualmente soggetto a vincoli.
- outlier: un valore in un campione statistico che non si adatta a un modello né descrive la maggior parte degli altri punti dati.
- approssimazione dei minimi quadrati: un tentativo di minimizzare le somme della distanza al quadrato tra il punto previsto e il punto effettivo.
- regressione lineare: Un approccio alla modellazione della relazione lineare tra una variabile dipendente, y e una variabile indipendente, x.
Curve Fitting
Curve fitting è il processo di costruzione di una curva, o funzione matematica, che si adatta meglio a una serie di punti dati, eventualmente soggetti a vincoli. Il montaggio della curva può comportare l’interpolazione, in cui è richiesto un adattamento esatto ai dati, o lo smoothing, in cui viene costruita una funzione “liscia” che si adatta approssimativamente ai dati. Le curve montate possono essere utilizzate come aiuto per la visualizzazione dei dati, per dedurre i valori di una funzione in cui non sono disponibili dati e per riassumere le relazioni tra due o più variabili. L’estrapolazione si riferisce all’uso di una curva adattata oltre l’intervallo dei dati osservati ed è soggetta a un maggior grado di incertezza poiché può riflettere il metodo utilizzato per costruire la curva tanto quanto riflette i dati osservati.
In questa sezione, inseriremo solo linee ai punti dati, ma va notato che si possono adattare funzioni polinomiali, cerchi, funzioni a pezzi e qualsiasi numero di funzioni ai dati ed è un argomento molto usato nelle statistiche.
Formula di regressione lineare
La regressione lineare è un approccio alla modellazione della relazione lineare tra una variabile dipendente, y e una variabile indipendente, x. Con la regressione lineare, una linea in forma di intercettazione del pendio, y=mx+b si trova che “si adatta meglio” ai dati.
Il modello di regressione lineare più semplice e forse più comune è l’approssimazione ordinaria dei minimi quadrati. Questa approssimazione tenta di minimizzare le somme della distanza al quadrato tra la linea e ogni punto.
\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}
Per trovare la pendenza della retta di best fit, calcola nel seguente procedura:
- La somma dei prodotti delle coordinate x e y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
- La somma delle coordinate x \ sum_ {i=1}^{n} x_{i}.
- La somma delle coordinate y \ sum_ {j = 1}^{n}y_{j}.
- La somma dei quadrati delle coordinate x \ sum_ {i=1}^{n} (x_{i}^{2}).
- La somma delle coordinate x al quadrato (\sum_{i=1}^{n} x_{i})^{2}.
- Il quoziente del numeratore e del denominatore.
\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \left (\bar{y} – m \bar{x} \right) \end{align}
Per trovare l’intercetta di y (b), calcolare, utilizzando la seguente procedura:
- La media di y-coordinate. Sia \ bar{y}, pronunciato y-bar, rappresenta il valore medio (o medio) y di tutti i punti dati: \ bar y = \ frac{1} {n}\sum_{i=1}^{n} y_ {i}.
- La media delle coordinate x. Rispettivamente \bar {x}, pronunciato x-bar, è il valore medio (o medio) x di tutti i punti dati: \ bar x=\frac{1}{n} \ sum_{i = 1}^{n} x_{i}.
- Sostituisci i valori nella formula sopra b = \ bar{y} – m \ bar {x}.
Usando questi valori di m e b ora abbiamo una linea che approssima i punti sul grafico.
Esempio: scrivi la linea adatta ai minimi quadrati e poi traccia la linea che meglio si adatta ai dati
Per n = 8 punti: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) e (6,4).
Punti di esempio: I punti sono graficamente in modo scatterplot.
Per prima cosa, trova la pendenza (m) e l’intercetta y (b) che meglio approssimano questi dati, usando le equazioni della sezione precedente:
Per trovare la pendenza, calcola:
- La somma del prodotto delle coordinate x e y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
- La somma delle coordinate x \ sum_ {i=1}^{n} x_{i}.
- La somma delle coordinate y \ sum_ {i=1}^{n} y_{i}.
\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \end{align}
\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}
4. Calcolare il numeratore: Il prodotto di x
e coordinate y
meno di un ottavo del prodotto della somma delle coordinate x e la somma delle coordinate y:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}
Il numeratore della pendenza equazione è:
\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25
5. Calcola il denominatore: Il
somma dei quadrati delle coordinate x meno di un ottavo la somma delle coordinate x-squared:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}
\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})&&=92 \end{align}
Il denominatore è di 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 e la pendenza è il rapporto tra il numeratore e il denominatore: \frac{23.25}{42}\approx0.554.
Ora per l’intercetta y, (b) un ottavo volte la media delle coordinate x: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 e un ottavo volte la media delle coordinate y: \ bar{y}= \ frac{13.5} {8}=1.6875.
Quindi b=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\:
\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.
La nostra equazione finale è quindi y=0,554 x+0,3025, e questa linea è graficamente insieme ai punti.
Linea adatta ai minimi quadrati: La linea trovata dall’approssimazione dei minimi quadrati, y = 0,554 x + 0,3025. Avviso 4 punti sono al di sopra della linea, e 4 punti sono al di sotto della linea.
Valori anomali e regressione dei minimi quadrati
Se abbiamo un punto che è lontano dalla linea approssimativa, allora distorcerà i risultati e renderà la linea molto peggiore. Ad esempio, diciamo nel nostro esempio originale, invece del punto (-1,0) abbiamo (-1,6).
Utilizzando gli stessi calcoli di cui sopra con il nuovo punto, i risultati sono: m\approx0.0536 e b \ approx2.3035, per ottenere la nuova equazione y=0.0536 x+2.3035.
Guardando i punti e la linea nella nuova figura sottostante, questa nuova linea non si adatta bene ai dati, a causa dell’outlier (-1,6). In effetti, cercare di adattare modelli lineari a dati quadratici, cubici o non lineari o dati con molti valori anomali o errori può causare approssimazioni errate.
Outlier Approximated Line: Ecco la linea approssimata dato il nuovo punto outlier a (-1, 6).