Esiste un tipo speciale di sistema che richiede ulteriori studi. Questo tipo di sistema è chiamato un sistema omogeneo di equazioni, che abbiamo definito sopra nella Definizione . Il nostro obiettivo in questa sezione è quello di considerare quali tipi di soluzioni sono possibili per un sistema omogeneo di equazioni.
Considera la seguente definizione.
Definizione \(\PageIndex{1}\): Soluzione banale
Considera il sistema omogeneo di equazioni dato da \ Then, \(x_{1} = 0, x_{2} =0, \cdots, x_{n} = 0\) è sempre una soluzione a questo sistema. Chiamiamo questa la soluzione banale .
Se il sistema ha una soluzione in cui non tutti i \(x_1, \cdots, x_n\) sono uguali a zero, allora chiamiamo questa soluzione non banale . La soluzione banale non ci dice molto sul sistema, in quanto dice che \(0 = 0\)! Pertanto, quando si lavora con sistemi omogenei di equazioni, vogliamo sapere quando il sistema ha una soluzione non banale.
Supponiamo di avere un sistema omogeneo di equazioni \(m\), usando le variabili \ (n\), e supponiamo che \(n> m\). In altre parole, ci sono più variabili che equazioni. Quindi, si scopre che questo sistema ha sempre una soluzione non banale. Non solo il sistema avrà una soluzione non banale, ma avrà anche infinite soluzioni. È anche possibile, ma non richiesto, avere una soluzione non banale se \(n=m\) e \(n<m\).
Considera il seguente esempio.
Esempio \(\PageIndex{1}\): Soluzioni a un sistema omogeneo di equazioni
Trova le soluzioni non banali al seguente sistema omogeneo di equazioni \
Soluzione
Nota che questo sistema ha \(m = 2\) equazioni e \(n = 3\) variabili, quindi \(n>m\). Pertanto, dalla nostra precedente discussione, ci aspettiamo che questo sistema abbia infinite soluzioni.
Il processo che usiamo per trovare le soluzioni per un sistema omogeneo di equazioni è lo stesso processo che abbiamo usato nella sezione precedente. In primo luogo, costruiamo la matrice aumentata, data da\\] Quindi, portiamo questa matrice alla sua, data di seguito. \\ ] Il corrispondente sistema di equazioni è \ Poiché \(z\) non è trattenuto da alcuna equazione, sappiamo che questa variabile diventerà il nostro parametro. Let \(z=t\) dove \(t\) è un numero qualsiasi. Pertanto, la nostra soluzione ha la forma \ Quindi questo sistema ha infinite soluzioni, con un parametro \(t\).
Supponiamo di scrivere la soluzione all’esempio precedente in un’altra forma. In particolare, \ può essere scritto come \ = \ left + t \ left\] Si noti che abbiamo costruito una colonna dalle costanti nella soluzione (tutte uguali a \(0\)), così come una colonna corrispondente ai coefficienti su \(t\) in ogni equazione. Mentre discuteremo più di questa forma di soluzione in ulteriori capitoli, per ora consideriamo la colonna dei coefficienti del parametro \(t\). In questo caso, questa è la colonna \(\left\).
C’è un nome speciale per questa colonna, che è la soluzione di base. Le soluzioni di base di un sistema sono colonne costruite dai coefficienti sui parametri nella soluzione. Spesso denotiamo soluzioni di base per \(X_1, X_2\) ecc., a seconda di quante soluzioni si verificano. Pertanto, l’esempio ha la soluzione di base \(X_1 = \ left\).
Esploriamo questo ulteriormente nel seguente esempio.
Esempio \(\PageIndex{1}\): Soluzioni di base di un sistema omogeneo
Considerare il seguente sistema omogeneo di equazioni. \ Trovare le soluzioni di base per questo sistema.
Soluzione
La matrice aumentata di questo sistema e la risultante sono \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] Quando scritto in equazioni, questo sistema è dato da \ Notare che solo \(x\) corrisponde a una colonna pivot. In questo caso, avremo due parametri, uno per \(y\) e uno per \(z\). Let \(y = s\) e\ (z=t\) per qualsiasi numero \(s\) e \(t\). Quindi, la nostra soluzione diventa \ che può essere scritta come \ = \ left + s \ left + t \ left\ ] Puoi vedere qui che abbiamo due colonne di coefficienti corrispondenti ai parametri, in particolare uno per \(s\) e uno per \(t\). Pertanto, questo sistema ha due soluzioni di base! Questi sono\, X_2 = \ left\]
Ora presentiamo una nuova definizione.
Definizione \(\PageIndex{1}\): Combinazione lineare
Sia \(X_1,\cdots ,X_n,V\) matrici di colonna. Quindi \(V\) è una combinazione lineare delle colonne di \(X_1,\cdots , X_n\) se esistono scalari, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) tale che \
Un risultato importante di questa sezione è che una combinazione lineare delle soluzioni di base è ancora una soluzione per il sistema. Ancora più notevole è che ogni soluzione può essere scritta come una combinazione lineare di queste soluzioni. Pertanto, se prendiamo ad esempio una combinazione lineare delle due soluzioni , anche questa sarebbe una soluzione. Ad esempio, potremmo prendere la seguente combinazione lineare
\ + 2 \left = \left\] Dovresti prendere un momento per verificare che \ = \left\]
sia in realtà una soluzione al sistema nell’esempio .
Un altro modo in cui possiamo trovare maggiori informazioni sulle soluzioni di un sistema omogeneo è considerare il rango della matrice di coefficienti associata. Ora definiamo cosa si intende per rango di una matrice.
Definizione \(\PageIndex{1}\): Rango di una matrice
Sia \(A\) una matrice e consideri qualsiasi di \(A\). Quindi, il numero \(r\) delle voci iniziali di \(A\) non dipende dalla scelta e viene chiamato il rango di \(A\). Lo denotiamo per Rango (\(A\)).
Allo stesso modo, potremmo contare il numero di posizioni pivot (o colonne pivot) per determinare il rango di \(A\).
Esempio \(\PageIndex{1}\): Trovare il rango di una matrice
Considera la matrice\\] Qual è il suo rango?
Soluzione
In primo luogo, abbiamo bisogno di trovare il di \(A\). Attraverso il solito algoritmo, troviamo che questo è\\] Qui abbiamo due voci principali, o due posizioni pivot, mostrate sopra nelle caselle.Il grado di \(A\) è \(r = 2.\ )
Si noti che avremmo ottenuto la stessa risposta se avessimo trovato l’of \(A\) invece del .
Supponiamo di avere un sistema omogeneo di equazioni \(m\) in variabili \ (n\) e supponiamo che \(n > m\). Dalla nostra discussione di cui sopra, sappiamo che questo sistema avrà infinite soluzioni. Se consideriamo il rango della matrice dei coefficienti di questo sistema, possiamo scoprire ancora di più sulla soluzione. Si noti che stiamo guardando solo la matrice del coefficiente, non l’intera matrice aumentata.
Teorema \(\PageIndex{1}\): Rango e soluzioni per un sistema omogeneo
Sia \(A\) la matrice di coefficienti \(m \volte n\) corrispondente a un sistema omogeneo di equazioni, e supponiamo che \(A\) abbia rango \(r\). Quindi, la soluzione al sistema corrispondente ha parametri \(n-r\).
Considera il nostro esempio precedente nel contesto di questo teorema. Il sistema in questo esempio ha\ (m = 2\) equazioni in\ (n = 3\) variabili. Innanzitutto, perché \(n > m\), sappiamo che il sistema ha una soluzione non banale, e quindi infinite soluzioni. Questo ci dice che la soluzione conterrà almeno un parametro. Il rango della matrice dei coefficienti può dirci ancora di più sulla soluzione! Il rango della matrice di coefficienti del sistema è \(1\), in quanto ha una voce principale in . Il teorema ci dice che la soluzione avrà parametri \(n-r = 3-1 = 2\). Puoi verificare che questo sia vero nella soluzione all’esempio .
Si noti che se \(n=m\) o \(n<m\), è possibile avere una soluzione unica (che sarà la soluzione banale) o infinite soluzioni.
Non siamo limitati a sistemi omogenei di equazioni qui. Il rango di una matrice può essere utilizzato per conoscere le soluzioni di qualsiasi sistema di equazioni lineari. Nella sezione precedente, abbiamo discusso che un sistema di equazioni non può avere soluzione, una soluzione unica o infinite soluzioni. Supponiamo che il sistema sia coerente, che sia omogeneo o meno. Il seguente teorema ci dice come possiamo usare il rango per conoscere il tipo di soluzione che abbiamo.
Teorema \(\PageIndex{1}\): Rango e soluzioni a un sistema coerente di equazioni
Sia \(A\) la matrice aumentata \(m \times \left( n+1 \right)\) corrispondente a un sistema coerente di equazioni in variabili \(n\) e supponiamo che \(A\) abbia rango \(r\). Quindi
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il sistema ha una soluzione unica se \(r = n\)
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il sistema ha infinite soluzioni se \(r< n\)
Non presenteremo una prova formale di ciò, ma considereremo le seguenti discussioni.
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Nessuna soluzione Il teorema di cui sopra presuppone che il sistema sia coerente, cioè che abbia una soluzione. Si scopre che è possibile che la matrice aumentata di un sistema senza soluzione abbia alcun rango \(r\) fino a quando \(r>1\). Pertanto, dobbiamo sapere che il sistema è coerente per usare questo teorema!
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Soluzione unica Supponiamo \(r=n\). Quindi, c’è una posizione pivot in ogni colonna della matrice del coefficiente di \(A\). Quindi, c’è una soluzione unica.
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Infinite soluzioni Supponiamo \(r<n\). Poi ci sono infinite soluzioni. Ci sono meno posizioni pivot (e quindi meno voci iniziali) rispetto alle colonne, il che significa che non tutte le colonne sono una colonna pivot. Le colonne che sono \(non\) colonne pivot corrispondono ai parametri. Infatti, in questo caso abbiamo parametri \(n-r\).