Nous pouvons clarifier la question dans de nombreux contextes.
En 10e année, il est prévu que par multiplication, vous entendez la multiplication de nombres réels, auquel cas ce n’est pas défini car l’infini n’est pas un nombre réel. De la même manière, 0 * pain n’est pas défini car le pain n’est pas non plus un nombre réel.
Nous pouvons également considérer la multiplication sur la ligne réelle étendue qui a ∞ comme élément. 0 * ∞ n’est toujours pas défini ici, mais ici c’est un choix de le faire, pas seulement quelque chose forcé par ∞ n’étant pas un nombre réel. La ligne de nombres réels étendue est censée fonctionner comme le font les limites, mais comme / u / rebo l’a montré, nous pouvons avoir une fonction allant à l’infini et une autre fonction allant à 0, et nous pouvons avoir leur produit allant à n’importe quoi. Pour cette raison, nous laissons 0 *∞ indéfini.
En revanche, dans les réels, 1 /∞ n’est pas défini, mais dans les réels étendus, il est défini.
Il existe d’autres contextes où l’expression peut avoir un sens. Par exemple, en théorie des ensembles, nous avons l’arithmétique cardinale. Supposons que nous ayons 4 éléments dans un ensemble A, disons A = {coeurs, piques, massues et diamants}, et 2 éléments dans un ensemble B, disons B = {Roi, As}. Combien d’éléments sont dans l’ensemble des paires où le premier élément de la paire provient de B et le second de A? Dans ce cas, nos paires sont {(Roi, cœurs), (Roi, piques), (Roi, massues),…}, et vous devriez voir qu’il y en a 8 au total. Cela nous donne la propriété que s’il y a m éléments dans un ensemble et n éléments dans le deuxième ensemble, il y a m * n éléments dans l’ensemble des paires.
Alors maintenant, pensons à ce qui se passe lorsque l’un de nos ensembles a 0 éléments et que l’autre ensemble a une infinité d’éléments? Ensuite, il n’y a pas de paire possible du tout, car il n’y a aucune chose possible que nous puissions mettre dans le premier emplacement de notre paire. C’est la base de la multiplication cardinale dans laquelle nous disons que 0 * infinity = 0.