Une fonction relie une entrée à une sortie.
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C’est comme une machine qui a une entrée et une sortie. Et la sortie est liée d’une manière ou d’une autre à l’entrée. |
| f(x) |
« f(x)=… « est la façon classique d’écrire une fonction. |
Entrée, Relation, Sortie
Nous verrons de nombreuses façons de penser aux fonctions, mais il y a toujours trois parties principales:
- L’entrée
- La relation
- La sortie
Exemple: »Multiplier par 2″ est une fonction très simple.
Voici les trois parties:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
Quelques exemples de fonctions
- x2 (quadrature) est une fonction
- x3+1 est aussi une fonction
- Le sinus, le Cosinus et la Tangente sont des fonctions utilisées en trigonométrie
- et il y en a beaucoup plus!
Mais nous n’allons pas regarder des fonctions spécifiques…
… au lieu de cela, nous examinerons l’idée générale d’une fonction.
Noms
Tout d’abord, il est utile de donner un nom à une fonction.
Le nom le plus courant est « f », mais nous pouvons avoir d’autres noms comme « g »… ou même « marmelade » si on veut.
Mais utilisons « f »:
Nous disons « f de x est égal à x au carré »
ce qui entre dans la fonction est mis entre parenthèses() après le nom de la fonction:
Donc f(x) nous montre que la fonction s’appelle « f », et « x » entre
Et nous voyons généralement ce qu’une fonction fait avec la fonction input:
f(x)=x2 nous montre que la fonction « f » prend « x » et la met au carré.
Exemple : avec f(x) = x2 :
- une entrée de 4
- devient une sortie de 16.
En fait on peut écrire f(4) = 16.
Le « x » est juste un support de place!
Ne vous préoccupez pas trop de « x », il est juste là pour nous montrer où va l’entrée et ce qui lui arrive.
Ça pourrait être n’importe quoi !
Donc cette fonction:
f(x)= 1-x + x2
Est la même fonction que:
- f(q) = 1-q +q2
- h(A) = 1-A +A2
- w(θ) = 1-θ + θ2
La variable (x, q, A, etc.) est juste là pour que nous sachions où mettre les valeurs:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
Parfois, Il n’y a pas de nom de fonction
Parfois, une fonction n’a pas de nom, et nous voyons quelque chose comme:
y = x2
Mais il y a toujours:
- une entrée(x)
- une relation (quadrature)
- et une sortie (y)
Relative
En haut, nous avons dit qu’une fonction était comme une machine. Mais une fonction n’a pas vraiment de courroies, de rouages ou de pièces mobiles – et elle ne détruit pas réellement ce que nous y mettons!
Une fonction relie une entrée à une sortie.
Dire « f(4) = 16 », c’est comme dire que 4 est en quelque sorte lié à 16. Ou 4 → 16
Exemple: cet arbre pousse 20 cm chaque année, donc la hauteur de l’arbre est liée à son âge en utilisant la fonction h:
h(age)= age × 20
Donc, si l’âge est de 10 ans, la hauteur est:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Voici quelques exemples de valeurs:
| âge | h(âge) = âge × 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3,2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
« Numbers » seems an obvious answer, but …
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… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
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… il peut également s’agir de lettres (« A » → « B »), de codes d’identification (« A6309 » → « Pass ») ou de choses plus étranges. |
Nous avons donc besoin de quelque chose de plus puissant, et c’est là que les ensembles entrent en jeu:
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Un ensemble est un collection de choses.Voici quelques exemples :
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Chaque élément individuel de l’ensemble (tel que « 4 » ou « chapeau ») est appelé un membre ou un élément.
Ainsi, une fonction prend des éléments d’un ensemble et restitue des éléments d’un ensemble.
Une fonction est spéciale
Mais une fonction a des règles spéciales :
- Elle doit fonctionner pour chaque valeur d’entrée possible
- Et elle n’a qu’une relation pour chaque valeur d’entrée
Cela peut être dit en une seule définition:
Définition formelle d’une fonction
Une fonction relie chaque élément d’un ensemble
avec exactement un élément d’un autre ensemble
(éventuellement le même ensemble).
Les Deux Choses Importantes!
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« …chaque élément… » signifie que chaque élément de X est lié à un élément de Y. Nous disons que la fonction couvre X (relie chaque élément de celui-ci). (Mais certains éléments de Y peuvent ne pas être liés du tout, ce qui est bien.) |
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« …exactement un… » signifie qu’une fonction est à valeur unique. Il ne redonnera pas 2 résultats ou plus pour la même entrée. Donc « f(2) = 7 ou 9 » n’est pas correct! |
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« Un à plusieurs » n’est pas autorisé, mais « plusieurs à un » est autorisé: |
||
|
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| (un à plusieurs) | (plusieurs à un) | |
| Ce n’est PAS CORRECT dans une fonction | Mais c’est CORRECT dans une fonction | |
Lorsqu’une relation ne suit pas ces deux règles, ce n’est pas une fonction… c’est toujours une relation, mais pas une fonction.
Exemple: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- Chaque élément de X est lié à Y
- Aucun élément de X n’a deux relations ou plus
Donc il suit les règles.
(Notez comment 4 et -4 se rapportent à 16, ce qui est autorisé.)
Exemple : Cette relation n’est pas une fonction :
C’est une relation, mais ce n’est pas une fonction, pour ces raisons:
- La valeur « 3 » dans X n’a pas de relation dans Y
- La valeur « 4 » dans X n’a pas de relation dans Y
- La valeur « 5 » est liée à plus d’une valeur dans Y
(Mais le fait que « 6 » dans Y n’a pas de relation n’a pas d’importance)
Test de ligne verticale
Sur un graphique, l’idée de valeur unique signifie qu’aucune ligne verticale ne croise jamais plus d’une valeur.
Si elle se croise plus d’une fois, c’est toujours une courbe valide, mais ce n’est pas une fonction.
Certains types de fonctions ont des règles plus strictes, pour en savoir plus, vous pouvez lire Injective, Surjective et Bijective
Infiniment de
Mes exemples n’ont que quelques valeurs, mais les fonctions fonctionnent généralement sur des ensembles avec une infinité d’éléments.
Exemple: y = x3
- L’ensemble d’entrée « X » est tous les Nombres Réels
- L’ensemble de sortie « Y » est également tous les Nombres Réels
Nous ne pouvons pas afficher TOUTES les valeurs, alors voici quelques exemples:
| X:x | Y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
Domaine, Domaine et Plage
Dans nos exemples ci-dessus
- l’ensemble « X » est appelé Domaine,
- l’ensemble « Y » est appelé Domaine, et
- l’ensemble des éléments pointés en Y (les valeurs réelles produites par la fonction) est appelé la gamme.
Nous avons une page spéciale sur le domaine, la plage et le Codomain si vous voulez en savoir plus.
Tant De noms !
Les fonctions sont utilisées en mathématiques depuis très longtemps, et de nombreux noms et façons d’écrire des fonctions sont apparus.
Voici quelques termes courants que vous devriez connaître:
Exemple: z = 2u3:
- « u » pourrait être appelé la « variable indépendante »
- « z » pourrait être appelé la « variable dépendante » (cela dépend de la valeur de u)
Exemple: f(4) = 16:
- « 4 » pourrait être appelé l' »argument »
- « 16 » pourrait être appelé la « valeur de la fonction »
Exemple: h(year) = 20 × year:
- h() est la fonction
- « year » pourrait être appelé « argument », ou la « variable »
- une valeur fixe comme « 20 » peut être appelée un paramètre
Nous appelons souvent une fonction « f(x) » alors qu’en fait la fonction est vraiment « f «
Paires ordonnées
Et voici une autre façon de penser aux fonctions:
Écrivez l’entrée et la sortie d’une fonction comme une « paire ordonnée », telle que (4,16).
Ils sont appelés paires ordonnées car l’entrée vient toujours en premier et la sortie en second:
(input, output)
Cela ressemble donc à ceci :
(x, f(x))
Exemple:
(4,16) signifie que la fonction prend « 4 » et donne « 16 »
Ensemble de paires ordonnées
Une fonction peut alors être définie comme un ensemble de paires ordonnées :
Exemple: {(2,4), (3,5), (7,3)} est une fonction qui dit
« 2 est lié à 4 », « 3 est lié à 5 » et « 7 est lié à 3 ».
Notez également que:
- le domaine est {2,3,7} (les valeurs d’entrée)
- et la plage est {4,5,3} (les valeurs de sortie)
Mais la fonction doit être à valeur unique, donc on dit aussi
« si elle contient (a, b) et (a, c), alors b doit être égal à c »
Ce qui est juste une façon de dire qu’une entrée de « a « ne peut pas produire deux résultats différents.
Exemple: {(2,4), (2,5), (7,3)} n’est pas une fonction car {2,4} et {2,5} signifie que 2 pourrait être lié à 4 ou 5.
En d’autres termes, ce n’est pas une fonction car elle n’est pas à valeur unique
Un avantage des Paires ordonnées
Nous pouvons les représenter graphiquement…
… parce que ce sont aussi des coordonnées !
Donc un ensemble de coordonnées est aussi une fonction (si elles suivent les règles ci-dessus, c’est-à-dire)
Une Fonction Peut être en morceaux
Nous pouvons créer des fonctions qui se comportent différemment en fonction de la valeur d’entrée
Exemple : Une fonction avec deux pièces:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
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Here are some example values:
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En savoir plus sur les fonctions par morceaux.
Explicite vs implicite
Un dernier sujet : les termes « explicite » et « implicite ».
Explicite est lorsque la fonction nous montre comment passer directement de x à y, comme:
y= x3−3
Lorsque nous connaissons x, nous pouvons trouver y
C’est le style classique y =f(x) avec lequel nous travaillons souvent.
Implicite est quand il n’est pas donné directement tel que:
x2-3xy +y3 = 0
Quand on connaît x, comment trouve-t-on y?
Cela peut être difficile (ou impossible!) pour aller directement de x à y.
« Implicite » vient de « implicite », c’est-à-dire montré indirectement.
Graphing
- Le Grapheur de fonction ne peut gérer que des fonctions explicites,
- Le Grapheur d’équation peut gérer les deux types (mais prend un peu plus de temps et se trompe parfois).
Conclusion
- une fonction relie les entrées aux sorties
- une fonction prend des éléments d’un ensemble (le domaine) et les relie aux éléments d’un ensemble (le codomain).
- toutes les sorties (les valeurs réelles liées à) sont appelées ensemble la plage
- une fonction est un type spécial de relation où:
- chaque élément du domaine est inclus, et
- toute entrée ne produit qu’une seule sortie (pas ceci ou cela)
- une entrée et sa sortie correspondante sont appelées ensemble une paire ordonnée
- de sorte qu’une fonction peut également être vue comme un ensemble de paires ordonnées