Objectifs d’apprentissage
À la fin de cette section, vous pourrez :
- Décrire la longueur appropriée.
- Calculez la contraction de la longueur.
- Expliquez pourquoi nous ne remarquons pas ces effets à l’échelle quotidienne.
Figure 1. Les gens peuvent décrire les distances différemment, mais à des vitesses relativistes, les distances sont vraiment différentes. (crédit: Corey Leopold, Flickr)
Avez-vous déjà conduit sur une route qui semble durer éternellement? Si vous regardez devant vous, vous pourriez dire qu’il vous reste environ 10 km à parcourir. Un autre voyageur pourrait dire que la route devant lui semble longue d’environ 15 km. Si vous mesuriez tous les deux la route, cependant, vous seriez d’accord. En voyageant à des vitesses quotidiennes, la distance que vous mesurez tous les deux serait la même. Vous lirez cependant dans cette section que cela n’est pas vrai à des vitesses relativistes. Proches de la vitesse de la lumière, les distances mesurées ne sont pas les mêmes lorsqu’elles sont mesurées par différents observateurs.
Longueur appropriée
Une chose sur laquelle tous les observateurs s’accordent est la vitesse relative. Même si les horloges mesurent différents temps écoulés pour le même processus, elles conviennent toujours que la vitesse relative, qui est la distance divisée par le temps écoulé, est la même. Cela implique que la distance dépend également du mouvement relatif de l’observateur. Si deux observateurs voient des temps différents, ils doivent également voir des distances différentes pour que la vitesse relative soit la même pour chacun d’eux.
Le muon discuté dans l’Exemple 1 en Simultanéité Et Dilatation du Temps illustre ce concept. Pour un observateur sur Terre, le muon se déplace à 0,950 c pendant 7,05 µs à partir du moment où il est produit jusqu’à sa désintégration. Ainsi, il parcourt une distance
L0=vΔt=(0,950) (3,00 × 108 m/s) (7,05 × 10-6 s)= 2,01 km
par rapport à la Terre. Dans le référentiel du muon, sa durée de vie n’est que de 2,20 µs. Il a assez de temps pour voyager seulement
L0=vΔt0=(0,950) (3,00 × 108 m/s) (2,20 × 10-6 s) = 0,627 km.
La distance entre les deux mêmes événements (production et désintégration d’un muon) dépend de qui le mesure et comment ils se déplacent par rapport à lui.
Longueur correcte
Longueur correcte L0 est la distance entre deux points mesurée par un observateur qui est au repos par rapport aux deux points.
L’observateur lié à la Terre mesure la longueur appropriée L0, car les points où le muon est produit et se désintègre sont stationnaires par rapport à la Terre. Pour le muon, la Terre, l’air et les nuages se déplacent, et donc la distance L qu’il voit n’est pas la bonne longueur.
Figure 2. (a) L’observateur relié à la Terre voit le muon parcourir 2,01 km entre les nuages. (b) Le muon se voit parcourir le même chemin, mais seulement une distance de 0,627 km. La Terre, l’air et les nuages se déplacent par rapport au muon dans son cadre, et tous semblent avoir des longueurs plus petites le long du sens de déplacement.
Contraction de longueur
Pour développer une équation reliant les distances mesurées par différents observateurs, nous notons que la vitesse par rapport à l’observateur lié à la Terre dans notre exemple de muon est donnée par
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
Le temps par rapport à l’observateur relié à la Terre est Δt, puisque l’objet chronométré se déplace par rapport à cet observateur. La vitesse par rapport à l’observateur en mouvement est donnée par
v=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
L’observateur en mouvement voyage avec le muon et observe donc le temps Δt0 approprié. Les deux vitesses sont identiques ; ainsi,
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
On sait que Δt = γΔt0. La substitution de cette équation dans la relation ci-dessus donne
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
La substitution de γ donne une équation reliant les distances mesurées par différents observateurs.
Contraction de longueur
La contraction de longueur L est le raccourcissement de la longueur mesurée d’un objet se déplaçant par rapport au cadre de l’observateur.
\displaystyle {L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
Si nous mesurons la longueur de tout ce qui bouge par rapport à notre cadre, nous trouvons que sa longueur L est plus petite que la longueur appropriée L0 qui serait mesurée si l’objet était stationnaire. Par exemple, dans le référentiel du muon, la distance entre les points où il a été produit et où il s’est désintégré est plus courte. Ces points sont fixes par rapport à la Terre mais mobiles par rapport au muon. Les nuages et autres objets sont également contractés le long de la direction du mouvement dans le référentiel du muon.
Exemple 1. Calcul de la Contraction de la Longueur: La Distance entre les Étoiles Se contracte lorsque Vous Voyagez à grande Vitesse
Supposons qu’un astronaute, tel que le jumeau discuté en Simultanéité et Dilatation du Temps, se déplace si vite que γ = 30,00.
- Elle voyage de la Terre jusqu’au système stellaire le plus proche, Alpha Centauri, à 4.300 années-lumière (ly), mesuré par un observateur terrestre. Quelle est la distance entre la Terre et Alpha Centauri mesurée par l’astronaute?
- En termes de c, quelle est sa vitesse par rapport à la Terre ? Vous pouvez négliger le mouvement de la Terre par rapport au Soleil. (Voir Figure 3.)
Figure 3. (a) L’observateur relié à la Terre mesure la distance appropriée entre la Terre et l’Alpha Centauri. (b) L’astronaute observe une contraction de la longueur, puisque la Terre et l’Alpha Centauri se déplacent par rapport à son vaisseau. Elle peut parcourir cette distance plus courte en un temps plus court (son temps approprié) sans dépasser la vitesse de la lumière.
Stratégie
Notez tout d’abord qu’une année—lumière (ly) est une unité de distance pratique à l’échelle astronomique – c’est la distance parcourue par la lumière en une année. Pour la Partie 1, notez que la distance de 4.300 ly entre l’Alpha Centauri et la Terre est la distance appropriée L0, car elle est mesurée par un observateur lié à la Terre auquel les deux étoiles sont (approximativement) stationnaires. Pour l’astronaute, la Terre et le Centaure Alpha se déplacent à la même vitesse, et donc la distance entre eux est la longueur contractée L. Dans la Partie 2, on nous donne γ, et on peut donc trouver v en réorganisant la définition de γ pour exprimer v en termes de c.
Solution pour la Partie 1
Identifiez les knowns:
L0−4.300 ly; γ = 30.00
Identifiez l’inconnu: L
Choisissez l’équation appropriée:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
Réarrangez l’équation à résoudre pour l’inconnu.
\begin{array}{lll} L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text {}&&\frac {4.300\text{ly}}{30.00}\\\text{}&&0.1433\text {ly}\end{array}\\
Solution pour la partie 2
Identifiez le connu : γ = 30,00
Identifiez l’inconnu: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0= \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ de sorte que 1-\frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{900}\\ et \frac{v^2}{c^2} = 1-\frac{1}{900.0} = 0.99888\dots\\
En prenant la racine carrée, on trouve \frac{v}{c}= 0,99944 \\, qui est réarrangé pour produire une valeur pour la vitesse v = 0,9994c.
Discussion
Tout d’abord, rappelez-vous que vous ne devez pas arrondir les calculs jusqu’à ce que le résultat final soit obtenu, sinon vous pourriez obtenir des résultats erronés. Cela est particulièrement vrai pour les calculs de relativité restreinte, où les différences ne peuvent être révélées qu’après plusieurs décimales. L’effet relativiste est important ici (γ = 30.00), et nous voyons que v s’approche (pas égale) à la vitesse de la lumière. Étant donné que la distance mesurée par l’astronaute est beaucoup plus petite, l’astronaute peut la parcourir en beaucoup moins de temps dans son cadre.
Les gens pourraient être envoyés sur de très grandes distances (des milliers voire des millions d’années-lumière) et ne vieillir que quelques années en chemin s’ils voyageaient à des vitesses extrêmement élevées. Mais, comme les émigrés des siècles passés, ils quitteraient la Terre qu’ils connaissent pour toujours. Même s’ils étaient revenus, des milliers à des millions d’années se seraient écoulées sur la Terre, oblitérant la majeure partie de ce qui existe maintenant. Il y a aussi un obstacle pratique plus sérieux à voyager à de telles vitesses; des énergies immensément plus grandes que ce que la physique classique prédit seraient nécessaires pour atteindre de telles vitesses élevées. Cela sera discuté dans Énergie relatavistique.
Figure 4. Les lignes de champ électrique d’une particule chargée à grande vitesse sont comprimées le long de la direction du mouvement par contraction de longueur. Cela produit un signal différent lorsque la particule traverse une bobine, un effet de contraction de longueur vérifié expérimentalement.
Pourquoi ne remarquons-nous pas une contraction de la longueur dans la vie quotidienne? La distance à l’épicerie ne semble pas dépendre du déménagement ou non. En examinant l’équation L= L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\, on voit qu’à de faibles vitesses (v<<c) les longueurs sont presque égales, l’espérance classique. Mais la contraction de la longueur est réelle, sinon couramment ressentie. Par exemple, une particule chargée, comme un électron, se déplaçant à une vitesse relativiste a des lignes de champ électrique qui sont comprimées le long de la direction du mouvement vue par un observateur stationnaire. (Voir Figure 4.) Lorsque l’électron passe devant un détecteur, tel qu’une bobine de fil, son champ interagit beaucoup plus brièvement, un effet observé sur des accélérateurs de particules tels que l’accélérateur linéaire de Stanford (SLAC) de 3 km de long. En fait, à un électron se déplaçant le long du tube de faisceau à SLAC, l’accélérateur et la Terre se déplacent tous et sont en longueur contractée. L’effet relativiste est si important que l’accélérateur ne mesure que 0,5 m de long par rapport à l’électron. Il est en fait plus facile de faire descendre le faisceau d’électrons dans le tuyau, car le faisceau n’a pas besoin d’être aussi précisément dirigé pour descendre un tuyau court qu’il le ferait sur un tuyau de 3 km de long. Ceci, encore une fois, est une vérification expérimentale de la Théorie spéciale de la Relativité.
Vérifiez votre compréhension
Une particule traverse l’atmosphère terrestre à une vitesse de 0,750 c. Pour un observateur relié à la Terre, la distance qu’elle parcourt est de 2,50 km. Jusqu’où la particule se déplace-t-elle dans le cadre de référence de la particule ?
Solution
\displaystyle{L}= L_0\sqrt {1-\frac{v^2} {c^2}} = \left(2,50\text{km}\right)\sqrt{1-\frac {\left (0,750 c\right) ^2}{c^2}} = 1,65\text{km }\\
Résumé de la section
- Tous les observateurs s’accordent sur la vitesse relative.
- La distance dépend du mouvement de l’observateur. La longueur correcte L0 est la distance entre deux points mesurée par un observateur qui est au repos par rapport aux deux points. Les observateurs liés à la Terre mesurent la longueur appropriée lorsqu’ils mesurent la distance entre deux points stationnaires par rapport à la Terre.
- La contraction de longueur L est le raccourcissement de la longueur mesurée d’un objet se déplaçant par rapport au cadre de l’observateur:
L=L_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}} {{c}^{2}}}= \frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
Questions conceptuelles
- À qui un objet semble-t-il plus long, un observateur se déplaçant avec l’objet ou un observateur se déplaçant par rapport à l’objet? Quel observateur mesure la longueur correcte de l’objet ?
- Des effets relativistes tels que la dilatation du temps et la contraction de la longueur sont présents pour les voitures et les avions. Pourquoi ces effets nous semblent-ils étranges?
- Supposons qu’un astronaute se déplace par rapport à la Terre à une fraction significative de la vitesse de la lumière. a) Observe-t-il que le rythme de ses horloges a ralenti? b) Quel changement dans la cadence des horloges terrestres observe-t-il? c) Son navire lui semble-t-il raccourci? d) Qu’en est-il de la distance entre les étoiles qui se trouvent sur des lignes parallèles à son mouvement? e) Est-ce que lui et un observateur lié à la Terre sont d’accord sur sa vitesse par rapport à la Terre?
Problèmes&Exercices
- Un vaisseau spatial, long de 200 m comme vu à bord, se déplace près de la Terre à 0,970c. Quelle est sa longueur mesurée par un observateur terrestre?
- À quelle vitesse une voiture de sport de 6,0 m de long devrait-elle passer devant vous pour qu’elle n’apparaisse que de 5,5 m de long?
- (a) Jusqu’où le muon de l’exemple 1 en Simultanéité Et en Dilatation du Temps se déplace-t-il selon l’observateur lié à la Terre ? b) Quelle est la distance parcourue par un observateur qui se déplace avec lui? Basez votre calcul sur sa vitesse par rapport à la Terre et le temps de vie (temps approprié). (c) Vérifier que ces deux distances sont liées par la contraction de longueur γ = 3,20.
- (a) Combien de temps le muon de l’Exemple 1 en Simultanéité et en Dilatation du Temps aurait-il vécu comme observé sur la Terre si sa vitesse était de 0,0500c ? b) Jusqu’où aurait-il voyagé tel qu’observé sur la Terre? c) Quelle est cette distance dans le cadre du muon ?
- (a) Combien de temps faut-il à l’astronaute de l’exemple 1 pour parcourir 4,30 ly à 0,99944c (mesuré par l’observateur Terrestre) ? (b) Combien de temps cela prend-il selon l’astronaute? (c) Vérifier que ces deux temps sont liés par dilatation temporelle avec γ = 30,00 comme indiqué.
- (a) À quelle vitesse un athlète devrait-il courir pour une course de 100 m pour avoir 100 ans de long? b) La réponse est-elle compatible avec le fait que les effets relativistes sont difficiles à observer dans des circonstances ordinaires? Expliquer.
- Résultats déraisonnables. (a) Trouvez la valeur de γ pour la situation suivante. Un astronaute mesure la longueur de son vaisseau spatial à 25,0 m, tandis qu’un observateur relié à la Terre le mesure à 100 m. b) Qu’est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat? c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes?
- Résultats déraisonnables. Un vaisseau spatial se dirige directement vers la Terre à une vitesse de 0,800 c. L’astronaute à bord prétend qu’il peut envoyer une cartouche vers la Terre à 1,20c par rapport à la Terre. (a) Calculer la vitesse que doit avoir la cartouche par rapport au vaisseau spatial. b) Qu’est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat? c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes?
Glossaire
longueur appropriée: L0; la distance entre deux points mesurée par un observateur au repos par rapport aux deux points; Les observateurs liés à la Terre mesurent la longueur appropriée lorsqu’ils mesurent la distance entre deux points stationnaires par rapport à la Terre
contraction de longueur: L, le raccourcissement de la longueur mesurée d’un objet se déplaçant par rapport au cadre de l’observateur:
L = L_0\sqrt {1- \frac {{v}^{2}}{{c} ^{2}}}= \frac {{L}_{0}} {\gamma}\\
Solutions sélectionnées aux problèmes &Exercices
1. 48,6 m
3. a) 1,387 km = 1,39 km; b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t} = \gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma = \frac{\Delta{t}}{\Delta{t}_{0}} = \frac{4.303\text{y}}{0.1434{y}}=30.0\\
Ainsi, les deux temps sont liés lorsque γ = 30.00.
7. (a) 0,250; (b) γ doit être ≥ 1; (c) L’observateur relié à la Terre doit mesurer une longueur plus courte, il est donc déraisonnable de supposer une longueur plus longue.