Introduction
- Si c’est une quantité physique, comme le stress, on l’appelle généralement un tenseur.Si ce n’est pas une quantité physique, on l’appelle généralement une matrice.
- La grande majorité des tenseurs d’ingénierie sont symétriques. Une quantité communequi n’est pas symétrique, et non appelé tenseur, est une matrice de rotation.
- Les tenseurs sont en fait toute grandeur physique qui peut être représentée par un scalaire, un vecteur ou une matrice.Les tenseurs d’ordre zéro, comme la masse, sont appelés scalaires, tandis que les tenseurs du 1er ordre sont appelés vecteurs.Des exemples de tenseurs d’ordre supérieur comprennent les tenseurs de contrainte, de déformation et de rigidité.
- L’ordre, ou rang, d’une matrice ou d’un tenseur est le nombre d’abonnements qu’il contient. Un vecteur est un tenseur de 1er rang. Un tenseur de contrainte 3×3 est au 2e rang.
- Les transformations de coordonnées des tenseurs sont discutées en détail ici.
Matrice d’identité
La matrice d’identité est
\\]
Multiplier n’importe quoi par la matrice d’identité revient à multiplier par un.
Notation tensorielle
La matrice d’identité dans la notation tensorielle est simplement \(\delta_{ij}\).C’est le delta de Kronecker qui est égal à 1 lorsque \(i = j\) et 0 sinon.
Est-ce une matrice ou non?
Une note des puristes… La matrice d’identité est une matrice, mais le deltatechniquement de Kronecker ne l’est pas. \(\delta_{ij}\) est une valeur scalaire unique qui vaut 1 ou 0 selon les valeurs de \(i\) et \(j\). C’est aussi pourquoi la notation tensorielle n’est pas en gras, car elle fait toujours référence à des composantes individuelles de tenseurs, mais jamais à un tenseur dans son ensemble.
Suivez ce lien pour une discussion divertissante entre quelqu’un qui l’accepte et quelqu’un d’autre qui ne l’accepte pas.
Transposer
La transposition d’une matrice reflète ses composantes sur la diagonale principale. La transposition de la matrice \({\bf A}\) s’écrit \({\bf A}^{\!T }\).
Exemple de transposition
\,\qquad\text {then}\qquad {\bf A}^{\!T} = \left\]
Notation tensorielle
La transposition de \(A_{ij}\) est \(A_{j\,i}\).
Déterminants
Le déterminant d’une matrice s’écrit comme det(\({\bf A}\)) ou \(|{\bf A}|\), et est calculé comme
\
Si le déterminant d’un tenseur, ou d’une matrice, est nul, alors il n’a pas d’inverse.
Notation tensorielle
Le calcul d’un déterminant peut être écrit en notation tensorielle de deux manières différentes
\Le déterminant du produit de deux matrices est le même que le produit des déterminants des deux matrices. En d’autres termes,
\
Le déterminant d’un gradient de déformation donnele rapport du volume initial au volume final d’un élément différentiel.
Inverses
L’inverse de la matrice \({\bf A}\) s’écrit comme \({\bf A}^{\!-1}\) et possède la propriété très importante suivante (voir la section sur la multiplication matricielle ci-dessous)
\
Si \({\bf B}\) est l’inverse de \({\bf A}\), alors
\
Notation tensorielle
L’inverse de \(A_{ij}\) est souvent écrit comme \(A^{-1}_{ij}\).Notez que ce n’est probablement pas rigoureusement correct car, comme discuté précédemment, ni \(A_{ij}\) ni \(A^{-1}_{ij}\) ne sont techniquement des matrices elles-mêmes.Ce ne sont que des composants d’une matrice. Eh bien…
L’inverse peut être calculé en utilisant
\
Page Web Matrix Inverse
Cette page calcule l’inverse d’une matrice 3×3.
Transposes des Inverses des Transpositions de…
L’inverse d’une transposition d’une matrice est égal à la transposition d’un inverse de la matrice. Comme l’ordre n’a pas d’importance, la double opération est simplement abrégée comme \({\bf{A}}^{\!-T }\).
\
Addition de matrice
Les matrices et les tenseurs sont ajoutés composant par composant, tout comme les vecteurs.Ceci est facilement exprimé en notation tensorielle.
\
Multiplication matricielle (Produits Dot)
Le produit dot de deux matrices multiplie chaque ligne de la première par chaque colonne de la seconde. Les produits sont souvent écrits avec un point en notation matricielle comme \({\bf A}\cdot{\bf B}\), mais parfois écrits sans le point comme \({\bf A}{\bf B}\). Les règles de multiplication sont en fait mieux expliquées par la notation tensorielle.
\
(Notez qu’aucun point n’est utilisé en notation tensorielle.) Le \(k\) dans les deux facteurs implique automatiquement
\
qui est la iième ligne de la première matrice multipliée par la jième colonne de la deuxième matrice. Si, par exemple, vous souhaitez calculer \(C_{23}\), alors \(i = 2\) et \(j = 3\), et
\
Page Web de multiplication matricielle
Cette page calcule le produit scalaire de deux matrices 3×3.
La multiplication matricielle n’est pas commutative
Il est très important de reconnaître que la multiplication matricielle n’est PAS commutative, c’est-à-dire
\
Transposes et Inverses de Produits
La transposition d’un produit est égale au produit des transposes dans l’ordre inverse, et l’inverse d’un produit est égal au produit des inverses dans l’ordre inverse.
Notez que le « dans l’ordre inverse » est critique.Ceci est largement utilisé dans les sections sur les gradients de déformation et les déformations vertes.
\
Ceci s’applique également à plusieurs produits. Par exemple
\
Produit Avec sa propre Transposition
Le produit d’une matrice et sa propre transposition est toujours une matrice symétrique.\({\bf A}^T \cdot{\bf A}\) et \({\bf A} \cdot{\bf A}^T\) donnent tous deux des résultats symétriques, bien que différents.Ceci est largement utilisé dans les sections sur les gradients de déformation et les déformations vertes.
Produits à double point
Le produit à double point de deux matrices produit un scalaire result.It est écrit en notation matricielle comme \({\bf A}: {\bf B}\).Bien que rarement utilisé en dehors de la mécanique du continuum, il est en fait assez courant dans les applications avancées d’élasticité linéaire. Par exemple, \({1\over 2}\sigma:\epsilon\) donne la densité d’énergie de déformation en élasticité linéaire à petite échelle.Encore une fois, son calcul est mieux expliqué avec la notation tensorielle.
\
Puisque les indices \(i\) et \(j\) apparaissent dans les deux facteurs, ils sont tous deux additionnés pour donner
\