Mathématiques pour les Arts Libéraux Corequisite

L’évolution d’un système

Notre propre système numérique, composé des dix symboles {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} s’appelle le système hindou-arabe. Il s’agit d’un système de base dix (décimal) puisque les valeurs de lieu augmentent de puissances de dix. De plus, ce système est positionnel, ce qui signifie que la position d’un symbole a une incidence sur la valeur de ce symbole à l’intérieur du nombre. Par example, la position du symbole 3 dans le nombre 435 681 lui confère une valeur bien supérieure à la valeur du symbole 8 dans ce même nombre. Nous explorerons plus en détail les systèmes de base plus tard. Le développement de ces dix symboles et leur utilisation dans un système de position nous viennent principalement d’Inde.

Figure 10. Al-Biruni

Ce n’est qu’au XVe siècle que les symboles que nous connaissons aujourd’hui ont pris forme en Europe. Cependant, l’histoire de ces chiffres et de leur développement remonte à des centaines d’années. Une source importante d’informations sur ce sujet est l’écrivain al-Biruni, dont l’image est illustrée à la figure 10. Al-Biruni, qui est né dans l’actuel Ouzbékistan, s’était rendu en Inde à plusieurs reprises et avait fait des commentaires sur le système de numération indien. Lorsque nous regardons les origines des nombres rencontrés par al-Biruni, nous devons remonter au troisième siècle avant notre ère pour explorer leurs origines. C’est alors que les chiffres Brahmi ont été utilisés.

Les chiffres Brahmi étaient plus compliqués que ceux utilisés dans notre propre système moderne. Ils avaient des symboles distincts pour les nombres 1 à 9, ainsi que des symboles distincts pour 10, 100, 1000,…, également pour 20, 30, 40,… et d’autres pour 200, 300, 400, …, 900. Les symboles Brahmi pour 1, 2 et 3 sont indiqués ci-dessous.

Ces chiffres ont été utilisés jusqu’au fourth siècle de notre ère, avec des variations dans le temps et l’emplacement géographique. Par exemple, au premier siècle de notre ère, un ensemble particulier de chiffres Brahmi a pris la forme suivante:

À partir du quatrième siècle, vous pouvez en fait tracer plusieurs chemins différents que les chiffres Brahmi ont empruntés pour atteindre différents points et incarnations. L’un de ces chemins a conduit à notre système numérique actuel et a traversé ce qu’on appelle les chiffres Gupta. Les chiffres Gupta étaient importants à une époque gouvernée par la dynastie Gupta et se sont répandus dans tout cet empire lorsqu’ils ont conquis des terres au cours du quatrième au sixième siècle. Ils ont la forme suivante:

La façon dont les nombres ont atteint leur forme Gupta est sujette à de nombreux débats. De nombreuses hypothèses possibles ont été proposées, dont la plupart se résument à deux types de base. Le premier type d’hypothèse stipule que les chiffres proviennent des lettres initiales des noms des nombres. Ce n’est pas rare. . . les chiffres grecs se sont développés de cette manière. Le deuxième type d’hypothèse indique qu’ils étaient dérivés d’un système de nombres antérieur. Cependant, d’autres hypothèses sont proposées, dont l’une est celle du chercheur Ifrah. Sa théorie est qu’il y avait à l’origine neuf chiffres, chacun représenté par un nombre correspondant de lignes verticales. Une possibilité est la suivante:

Parce que ces symboles auraient pris beaucoup de temps à écrire, ils ont finalement évolué en symboles cursifs qui pourraient être écrits plus rapidement. Si nous les comparons aux chiffres Gupta ci-dessus, nous pouvons essayer de voir comment ce processus évolutif a pu avoir lieu, mais notre imagination serait à peu près tout ce dont nous aurions à dépendre puisque nous ne savons pas exactement comment le processus s’est déroulé.

Les chiffres Gupta ont finalement évolué en une autre forme de chiffres appelés chiffres Nagari, et ceux-ci ont continué à évoluer jusqu’au XIe siècle, époque à laquelle ils ressemblaient à ceci:

Notez qu’à cette époque, le symbole pour 0 est apparu! Les Mayas des Amériques avaient un symbole pour zéro bien avant cela, cependant, comme nous le verrons plus loin dans le chapitre.

Ces chiffres ont été adoptés par les Arabes, probablement au VIIIe siècle lors des incursions islamiques dans la partie nord de l’Inde. On pense que les Arabes ont joué un rôle déterminant dans leur diffusion dans d’autres parties du monde, y compris l’Espagne (voir ci-dessous).

D’autres exemples de variations jusqu’au XIe siècle incluent:

Figure 11. Devangari, VIIIe siècle

Figure 12. Gobar arabe occidental, xe siècle

Figure 13. Espagne, 976 avant notre ère

Enfin, la figure 14 montre différentes formes de ces chiffres au fur et à mesure de leur développement et de leur convergence vers le XVe siècle en Europe.

Figure 14.

Chiffres romains

Le système numérique représenté par les chiffres romains est né dans la Rome antique (753 av. J.-C. – 476 AP.J.-C.) et est resté la manière habituelle d’écrire les chiffres dans toute l’Europe jusqu’à la fin du Moyen Âge (comprenant généralement les 14e et 15e siècles (c. 1301-1500)). Les nombres dans ce système sont représentés par des combinaisons de lettres de l’alphabet latin. Les chiffres romains, tels qu’ils sont utilisés aujourd’hui, sont basés sur sept symboles:

L’utilisation des chiffres romains a continué longtemps après le déclin de l’Empire romain. À partir du 14ème siècle, les chiffres romains ont commencé à être remplacés dans la plupart des contextes par les chiffres hindous-arabes plus pratiques; cependant, ce processus a été progressif et l’utilisation des chiffres romains persiste dans certaines applications mineures à ce jour.

Les nombres 1 à 10 sont généralement exprimés en chiffres romains comme suit:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

Les nombres sont formés en combinant des symboles et en ajoutant les valeurs, donc II est deux (deux un) et XIII est treize (un dix et trois un). Parce que chaque chiffre a une valeur fixe plutôt que de représenter des multiples de dix, cent et ainsi de suite, selon la position, il n’est pas nécessaire de « garder la place” des zéros, comme dans des nombres comme 207 ou 1066; ces nombres sont écrits comme CCVII (deux centaines, un cinq et deux) et MLXVI (mille, cinquante, dix, cinq et un).

Les symboles sont placés de gauche à droite par ordre de valeur, en commençant par le plus grand. Cependant, dans quelques cas spécifiques, pour éviter que quatre caractères ne se répètent successivement (comme IIII ou XXXX), la notation soustractive est utilisée : comme dans ce tableau:

In summary:

• I placé avant V ou X en indique un de moins, donc quatre est IV (un de moins de cinq) et neuf est IX (un de moins de dix)
• X placé avant L ou C en indique dix de moins, donc quarante est XL (dix de moins de cinquante) et quatre-vingt-dix est XC (dix de moins de cent)
• C placé avant D ou M en indique cent de moins, donc quatre cents est CD (cent de moins de cinq cents) et neuf cents est CM (cent de moins de mille)
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Exemple

Écrivez le chiffre hindou-arabe pour MCMIV.

Afficher la solution

Mille neuf cent quatre, 1904 (M vaut mille, CM vaut neuf cents et IV vaut quatre)

Essayez–le

Utilisation moderne

Par au 11ème siècle, les chiffres hindous-arabes avaient été introduits en Europe à partir d’al-Andalus, par le biais de commerçants arabes et de traités arithmétiques. Les chiffres romains, cependant, se sont avérés très persistants, restant d’usage courant en Occident jusqu’aux XIVe et XVe siècles, même dans les registres comptables et autres documents commerciaux (où les calculs réels auraient été effectués à l’aide d’un boulier). Le remplacement par leurs équivalents « arabes” plus pratiques a été assez progressif, et les chiffres romains sont encore utilisés aujourd’hui dans certains contextes. Quelques exemples de leur utilisation actuelle sont:

Réel espagnol utilisant « IIII” au lieu de IV

• Noms de monarques et de papes, par ex. Elizabeth II du Royaume-Uni, le pape Benoît XVI. Ceux-ci sont appelés nombres royaux; par exemple, II se prononce « le second”. Cette tradition a commencé en Europe de manière sporadique au Moyen Âge, ne devenant largement utilisée en Angleterre que sous le règne d’Henri VIII. Auparavant, le monarque n’était pas connu par le chiffre mais par une épithète telle qu’Édouard le Confesseur. Certains monarques (par exemple Charles IV d’Espagne et Louis XIV de France) semblent avoir préféré l’utilisation de IIII au lieu de IV sur leur monnaie (voir image ci-dessus).
• Suffixes générationnels, en particulier aux États-Unis, pour les personnes partageant le même nom à travers les générations, par exemple William Howard Taft IV.
• Dans le Calendrier républicain français, initié pendant la Révolution française, les années étaient numérotées par des chiffres romains – de l’an I (1792) lorsque ce calendrier a été introduit à l’an XIV (1805) lorsqu’il a été abandonné.
• L’année de production de films, d’émissions de télévision et d’autres œuvres d’art au sein de l’œuvre elle-même. Il a été suggéré – par BBC News, peut–être de manière facétieuse – que cela avait été fait à l’origine « dans le but de déguiser l’âge des films ou des programmes télévisés. »En dehors de la référence à l’œuvre, on utilisera des chiffres hindous–arabes réguliers.
• Marques d’heure sur les garde-temps. Dans ce contexte, 4 est généralement écrit IIII.
• L’année de construction sur les faces et les pierres angulaires du bâtiment.
• Numérotation des pages des préfaces et introductions des livres, et parfois aussi des annexes.
• Volume du livre et numéros de chapitre, ainsi que les différents actes d’une pièce (par exemple, Acte iii, Scène 2).
• Suites de certains films, jeux vidéo et autres œuvres (comme dans Rocky II).
• Contours qui utilisent des nombres pour montrer les relations hiérarchiques.
• Occurrences d’un grand événement récurrent, par exemple:
  • Les Jeux Olympiques d’Été et d’Hiver (par exemple les XXI Jeux Olympiques d’Hiver; les Jeux de la XXX Olympiade)
  • Le Super Bowl, le match de championnat annuel de la Ligue Nationale de Football (par exemple le Super Bowl XXXVII; Le Super Bowl 50 est une exception unique)
  • WrestleMania, l’événement annuel de lutte professionnelle pour la WWE (par exemple WrestleMania XXX). Cette utilisation a également été incohérente.