Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, disposés de telle sorte que la somme des nombres dans n’importe quelle ligne diagonale horizontale, verticale ou principale soit toujours le même nombre (Kraitchik 1942, p. 142; Andrews 1960, p. 1; Gardner 1961, p. 130; Madachy 1979, p. 84; Benson et Jacoby 1981, p. 3; Ball et Coxeter 1987, p. 193), connue sous le nom de constante magique

Si chaque nombre d’un carré magique est soustrait de , un autre carré magique est obtenu appelé carré magique complémentaire. Un carré composé de nombres consécutifs commençant par 1 est parfois appelé carré magique « normal ».

Le carré normal unique d’ordre trois était connu des anciens Chinois, qui l’appelaient le Lo Shu. Une version du carré magique d’ordre 4 avec les nombres 15 et 14 dans les colonnes centrales adjacentes de la rangée du bas s’appelle le carré magique de Dürer. Les carrés magiques d’ordre 3 à 8 sont indiqués ci-dessus.

La constante magique pour un carré magique général d’ordre commençant par un entier et avec des entrées dans une série arithmétique croissante avec différence entre les termes est

(Hunter et Madachy 1975).

C’est un problème non résolu de déterminer le nombre de carrés magiques d’un ordre arbitraire, mais le nombre de carrés magiques distincts (à l’exclusion de ceux obtenus par rotation et réflexion) d’ordre ,2,… sont 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, p. 87). Les 880 carrés d’ordre quatre ont été dénombrés par Frénicle de Bessy en 1693, et sont illustrés dans Berlekamp et al. (1982, p. 778-783). Le nombre de carrés magiques a été calculé par R. Schroeppel en 1973. Le nombre de carrés n’est pas connu, mais Pinn et Wieckerkowski (1998) l’ont estimé à en utilisant la simulation de Monte Carlo et des méthodes de mécanique statistique. Les méthodes d’énumération des carrés magiques sont discutées par Berlekamp et al. (1982) et sur le site MathPages.

Un carré qui n’est pas magique uniquement parce qu’une ou les deux sommes diagonales principales ne sont pas égales à la constante magique est appelé carré semi-magique. Si toutes les diagonales (y compris celles obtenues en enroulant autour) d’un carré magique s’additionnent à la constante magique, le carré est dit être un carré panmagique (également appelé carré diabolique ou carré pandiagonal). Si le remplacement de chaque nombre par son carré produit un autre carré magique, le carré est dit être un carré bimagique (ou un carré doublement magique). Si un carré est magique pour , et , il est appelé un carré trimagique (ou carré magique triple). Si toutes les paires de nombres sont symétriquement opposées à la somme centrale de , le carré est dit être un carré magique associatif.

Les carrés magiques sous multiplication au lieu de l’addition peuvent être construits et sont connus sous le nom de carrés magiques de multiplication. De plus, les carrés magiques sous addition et multiplication peuvent être construits et sont connus sous le nom de carrés magiques addition-multiplication (Hunter et Madachy 1975).

Kraitchik (1942) donne des techniques générales de construction de carrés pairs et impairs d’ordre . Pour odd, une technique très simple connue sous le nom de méthode siamoise peut être utilisée, comme illustré ci-dessus (Kraitchik 1942, pp. 148-149). Il commence par placer un 1 dans le carré central de la rangée supérieure, puis en plaçant progressivement les nombres suivants dans le carré une unité au-dessus et à droite. Le comptage est enroulé autour, de sorte que tomber du haut revient sur le bas et tomber du droit revient sur la gauche. Lorsqu’un carré est rencontré qui est déjà rempli, le nombre suivant est plutôt placé en dessous du précédent et la méthode continue comme précédemment. La méthode, également appelée méthode de la Loubère, aurait été signalée pour la première fois en Occident lorsque de la Loubère est rentré en France après avoir été ambassadeur au Siam.

Une généralisation de cette méthode utilise un « vecteur ordinaire » qui donne le décalage pour chaque mouvement non collisionneur et un « vecteur de rupture » qui donne le décalage à introduire lors d’une collision. La méthode siamoise standard a donc un vecteur ordinaire (1, et un vecteur de rupture (0, 1). Pour que cela produise un carré magique, chaque mouvement de rupture doit se retrouver sur une cellule non remplie. Des classes spéciales de carrés magiques peuvent être construites en considérant les sommes absolues , et . Appelez l’ensemble de ces nombres les sumdiffs (sommes et différences). Si tous les sumdiffs sont relativement premiers à et que le carré est un carré magique, alors le carré est également un carré panmagique. Cette théorie est née avec de la Hire. Le tableau suivant donne les additions pour des choix particuliers de vecteurs ordinaires et de rupture.

Une deuxième méthode de génération de carrés magiques d’ordre impair a été discutée par J. H. Conway sous le nom de méthode « losange ». Comme illustré ci-dessus, dans cette méthode, les nombres impairs sont construits le long de lignes diagonales en forme de losange dans la partie centrale du carré. Les nombres pairs manqués sont ensuite ajoutés séquentiellement le long de la continuation de la diagonale obtenue en enroulant autour du carré jusqu’à ce que la diagonale enveloppée atteigne son point initial. Dans le carré ci-dessus, la première diagonale se remplit donc 1, 3, 5, 2, 4, la deuxième diagonale se remplit 7, 9, 6, 8, 10, et ainsi de suite.

Une méthode élégante pour construire des carrés magiques d’ordre doublement pair consiste à dessiner s à travers chaque sous-carré et à remplir tous les carrés dans l’ordre. Remplacez ensuite chaque entrée sur une diagonale barrée par ou, de manière équivalente, inversez l’ordre des entrées barrées. Ainsi, dans l’exemple ci-dessus pour , les nombres barrés sont à l’origine 1, 4,…, 61, 64, donc l’entrée 1 est remplacée par 64, 4 par 61, etc.

Une méthode très élégante pour construire des carrés magiques d’ordre unique avec (il n’y a pas de carré magique d’ordre 2) est due à J. H. Conway, qui l’appelle la méthode « LUX ». Créez un tableau composé de lignes de s, 1 ligne de Nous, et lignes de s, toutes de longueur . Échangez le U central avec le L au-dessus. Générez maintenant le carré magique d’ordre en utilisant la méthode siamoise centrée sur le tableau de lettres (en commençant par le carré central de la rangée du haut), mais remplissez chaque ensemble de quatre carrés entourant une lettre séquentiellement selon l’ordre prescrit par la lettre. Cet ordre est illustré sur le côté gauche de la figure ci-dessus, et le carré terminé est illustré à droite. Les « formes » des lettres L, U et X suggèrent naturellement l’ordre de remplissage, d’où le nom de l’algorithme.

Les variations sur les carrés magiques peuvent également être construites en utilisant des lettres (soit pour définir le carré, soit comme entrées), telles que le carré alphamagique et le carré magique des templiers.

Diverses propriétés numérologiques ont également été associées aux carrés magiques. Pivari associe les carrés illustrés ci-dessus à Saturne, Jupiter, Mars, le Soleil, Vénus, Mercure et la Lune, respectivement. Des motifs attrayants sont obtenus en reliant des nombres consécutifs dans chacun des carrés (à l’exception du carré magique du Soleil).