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Dans l’équation d’une droite (lorsque l’équation est écrite comme « y = mx + b »), la pente est le nombre « m » multiplié sur le x, et « b » est l’ordonnée à l’origine (c’est-à-dire le point où la droite traverse la verticale y – axe). Cette forme utile de l’équation linéaire est judicieusement nommée « forme d’interception de pente ».
La représentation graphique à partir de ce format peut être assez simple, en particulier si les valeurs de « m » et « b » sont des nombres relativement simples — tels que 2 ou -4,5, plutôt que quelque chose de désordonné comme
ou 1,67385.
Dans cette leçon, nous allons examiner les significations du « monde réel » que la pente et l’ordonnée à l’origine d’une ligne peuvent avoir, en contexte. En d’autres termes, étant donné un « problème de mot » modélisant quelque chose dans le monde réel, ou un modèle linéaire réel réel, que représentent la pente et l’ordonnée à l’origine de l’équation de modélisation, en termes pratiques?
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À l’époque où nous dessinions pour la première fois des lignes droites, nous avons vu que la pente d’une ligne donnée mesure combien la valeur de y change pour chaque tant que la valeur de x change. Par exemple, considérons cette ligne :
La pente de la ligne ci-dessus est la valeur
. Cela signifie que, à partir de n’importe quel point de cette ligne, nous pouvons arriver à un autre point de la ligne en montant 3 unités, puis en passant aux 5 bonnes unités. Mais (et c’est ce qui est utile), nous pourrions également considérer cette pente comme une fraction supérieure à 1; à savoir:
Cela nous indique, en termes pratiques, que, pour chaque unité que la variable x augmente (c’est-à-dire se déplace vers la droite), la variable y augmente (c’est-à-dire monte) des trois cinquièmes d’une unité. Bien que cela ne représente pas nécessairement un graphique aussi facile que « trois en haut et cinq en haut », cela peut être un moyen plus utile de voir les choses lorsque nous faisons des problèmes de mots ou considérons des modèles du monde réel.
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Pente: Très souvent, les problèmes de mots d’équations linéaires traitent des changements au cours du temps; les équations traiteront de combien quelque chose (représenté par la valeur sur l’axe vertical) change au fil du temps (représenté sur l’axe horizontal).
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Un exercice pourrait, par exemple, parler de la croissance de la population, d’année en année, dans une certaine ville, en supposant que la population augmente d’un certain montant fixe chaque année. Pour chaque année qui passe (c’est-à-dire pour chaque augmentation de 1 le long de l’axe horizontal), la population augmenterait (c’est-à-dire monterait le long de l’axe vertical) de ce montant fixe.
Interception : Lorsque x = 0, la valeur y correspondante est l’interception y. Dans le contexte particulier des problèmes de mots, l’ordonnée à l’origine (c’est-à-dire le point où x = 0) fait également référence à la valeur de départ. Pour un exercice basé sur le temps, ce sera la valeur lorsque vous avez commencé à prendre votre lecture ou lorsque vous avez commencé à suivre l’heure et ses changements connexes.
Dans l’exemple ci-dessus, l’interception y serait la population lorsque les sociologues ont commencé à suivre la population. S’ils commençaient à prendre leurs mesures ou à faire leurs calculs à partir d’une année « de base » de 1997, alors « x = 0 » correspondrait à « l’année 1997 », et l’ordonnée à l’origine correspondrait à « la population en 1997 ».
Avis: « Quand vous avez commencé à suivre » n’est pas la même chose que « quand (quel que soit ce que vous mesurez) a commencé ». En utilisant l’exemple ci-dessus, votre modèle de croissance démographique pourrait être très précis pour les années 1997 à 2015, mais la ville dont la population est mesurée pourrait avoir été fondée en 1672. Dans ce cas, « t = 0 » signifierait « quand nous avons commencé à mesurer, en 1997 »; il ne signifierait pas « l’année zéro pour la ville, qui a été sa fondation en 1672 »; « t = 2 » signifierait 1999, deux ans après que vous avez commencé à compter; et ainsi de suite.
Faites attention à la façon dont les variables sont définies !
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Voici quelques exemples pour illustrer comment cela fonctionne.
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La durée de vie moyenne des femmes américaines a été suivie, et le modèle pour les données est y = 0.2t+ 73, où t= 0 correspond à 1960. Expliquez la signification de la pente et de l’ordonnée à l’origine.
Quelle est la pente ? C’est m = 0,2. Cette valeur me dit que, pour chaque augmentation de 1 de ma variable d’entrée t (c’est-à-dire pour chaque augmentation d’un an), la valeur de ma variable de sortie y augmentera de 0,2.
Quelle est la signification de la pente?
La pente me dit que, chaque année, la durée de vie moyenne des femmes américaines augmentait de 0,2 an, soit environ 2,4 mois.
Lorsque t = 0, quelle est la valeur de y ? En regardant l’équation, je vois que y = 73.
Quelle est la signification de cette valeur y ?
La valeur d’interception me dit qu’en 1960 (quand ils ont commencé à compter), la durée de vie moyenne d’une femme américaine était de 73 ans.
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L’équation de la vitesse (et non de la hauteur) d’une balle projetée en l’air est donnée par v = 128–32t, où v est la vitesse (en pieds par seconde) et t est le nombre de secondes après que la balle est lancée. Avec quelle vitesse initiale la balle a-t-elle été lancée? Quelle est la signification de la pente?
Quelle est la pente ? C’est m = -32. Cette valeur me dit que, pour chaque augmentation de 1 dans ma variable d’entrée t, j’obtiens une diminution de 32 dans ma variable de sortie v.
Quelle est la signification de la pente?
La pente me dit que, pour chaque seconde qui passe, la vitesse de la balle diminue de 32 pieds par seconde.
(D’ailleurs, la vitesse finira par devenir nulle (lorsque la balle atteindra le sommet de son arc), puis deviendra négative (lorsque la gravité prendra le dessus et ramènera la balle au sol).
Lorsque t = 0, quelle est la valeur de v ? En regardant l’équation, je vois que v = 128. L’exercice définit v comme la mesure de la vitesse de la balle.
Quelle est la signification de cette valeur v ?
La valeur d’interception me dit que, lorsque la balle a été relâchée, elle a été lancée vers le haut à une vitesse de 128 pieds par seconde.
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Les pêcheurs de la région des Finger Lakes ont enregistré les poissons morts qu’ils rencontrent en pêchant dans la région. Le département de la Conservation de l’Environnement surveille l’indice de pollution de la région des Finger Lakes. Le modèle du nombre de décès de poissons « y » pour un indice de pollution « x » donné est y = 9,607x + 111,958. Quelle est la signification de la pente? Quelle est la signification de l’interception y?
Quelle est la pente ? C’est m = 9,607. Cette valeur me dit que, pour chaque augmentation de 1 dans ma variable d’entrée x, j’obtiens une augmentation de 9,607 dans ma variable de sortie y.
Quelle est la signification de la pente?
La pente me dit que, pour chaque augmentation de l’indice de pollution d’une unité (par exemple, d’un indice de pollution de 6 à un indice de pollution de 7), il y a neuf ou dix décès de poissons de plus au cours de l’année.
(Pourquoi « ou »? Parce que la portion de 0,607 d’un poisson n’a aucun sens en termes pratiques. Le nombre de poissons trouvés sera un nombre entier; dans ce cas, ce nombre entier devrait être neuf ou dix.
Lorsque x = 0, quelle est la valeur de y ? En regardant l’équation, je vois que y = 111,958.
Quelle est la signification de cette valeur y ?
La valeur d’interception me dit que, même si l’indice était nul (c’est-à-dire même si l’eau était totalement pure), il y aurait quand même environ 112 décès de poissons par an.
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Les problèmes de mots avec des équations linéaires (c’est-à-dire avec des modèles linéaires) fonctionnent presque toujours de cette façon: la pente est le taux de changement et l’ordonnée à l’origine est la valeur de départ. (Je ne peux pas, du haut de ma tête, penser à un cas dans lequel ce ne serait pas le cas.)
La principale difficulté réside généralement dans l’interprétation de la variable horizontale, en particulier lorsque cette variable est liée à une certaine année. Assurez-vous toujours d’être clair sur les définitions des variables, et tout devrait aller bien.
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