J’enseigne les mathématiques dans un lycée australien depuis 1982, et je suis un auteur contributeur à des manuels de mathématiques.
Coincé à l’intérieur un jour de pluie et sans rien d’intéressant à regarder à la télévision, en désespoir de cause, vous avez peut-être découvert le livre de puzzle de votre enfant et rencontré des « carrés magiques ». Incapable de les compléter, la frustration a pris le dessus et vous avez décidé de choisir le moindre des deux maux en revenant à la navigation sur la chaîne de télévision jusqu’à ce que votre doigt de détente succombe au RSI de la surutilisation de la télécommande.
Maintenant, cependant, c’est le bon moment pour effacer cette frustration obsédante de votre mémoire et étonner vos amis en maîtrisant l’art de créer des carrés magiques.
Un carré magique est un tableau carré de nombres avec la propriété que la somme des nombres dans chaque ligne, colonne et diagonale est la même, connue sous le nom de « somme magique”.
L’ordre est le nombre de lignes et de colonnes, donc un carré magique d’ordre 4 signifie qu’il a 4 lignes et 4 colonnes. Si N est l’ordre, alors N x N nombres différents sont utilisés pour compléter le carré magique.
L’un des premiers enregistrements connus est le carré de Lo Shu, décrit dans la littérature chinoise ancienne il y a des milliers d’années et fait partie de l’astrologie Feng Shui. L’histoire raconte qu’un empereur est tombé sur une tortue avec des marques sur sa carapace qui ressemblaient à un carré magique composé de 3 rangées et 3 colonnes avec une somme magique de 15. Cette somme magique correspond au nombre de jours entre la nouvelle lune et la pleine lune.
Nous allons d’abord voir comment construire des carrés magiques d’ordre impair, le plus petit carré magique possible ayant l’ordre 3. Ensuite, nous verrons comment compléter les carrés magiques dont l’ordre est divisible par 4.
La méthode de construction nécessite une séquence arithmétique de nombres. Cela signifie que la différence entre les termes consécutifs de la séquence a la même valeur. La séquence de nombres utilisée peut être des nombres entiers, des entiers, des fractions, des décimales ou tout autre type de nombres, tant que l’incrément/décrément entre termes successifs reste le même.
Magic Sum
The sum of a Magic Square is given by the formula
How to create a magic square of odd order
The strategy is to fill squares with consecutive numbers by imagining that from your current position on the magic square, you are moving North East.
À titre d’exemple, construisons le carré Lo Shu en utilisant les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Étape 1. Placez toujours le premier numéro dans la colonne du milieu de la première rangée.
Étape 2.
Pour se déplacer vers le Nord-Est, déplacez un espace vers la droite et un espace vers le haut.
Si cela vous emmène en dehors de la grille, descendez verticalement et placez le numéro suivant là-bas.
Step 3.
Move one space right and one space up.
If you are outside the grid, go all the way to the left and place the next number there.
Step 4.
Déplacez un espace vers la droite et un espace vers le haut.
Si le carré est occupé, placez le numéro suivant dans le carré immédiatement en dessous.
Étape 5
Déplacez un espace vers la droite et un espace vers le haut.
Step 6
Move one space right and one space up.
Step 7
Move one space right and one space up. This situation occurs for this corner only.
Placez le numéro suivant dans le carré en dessous.
Étape 8. Déplacez l’espace vers la droite et un espace vers le haut.
Tout comme l’étape 3, allez tout à gauche et placez le numéro suivant là-bas.
Étape 9.
Déplacez un espace vers la droite et un espace vers le haut.
Vous êtes en dehors de la grille, alors allez verticalement jusqu’en bas.
Suivez la méthode dans cet ordre 5 carré magique qui utilise les nombres 2, 4, 6, 8, …, 50.
La somme magique est de 130.
How to create a magic square whose order is divisible by 4
The smallest possible even-ordered magic square consists of 4 rows and 4 columns.
Utilisons les chiffres 1, 2, 3, 4, …., 16, qui donnent une somme magique de 34.
Deux « passes » sont nécessaires pour entrer les 64 numéros.
Pour le 1er passage, commencez en haut à gauche et travaillez successivement vers la droite, puis vers le bas, en sautant en même temps par-dessus n’importe quelle case située sur l’une des deux diagonales principales.
Pour la 2ème passe, commencez en bas à droite et travaillez vers la gauche puis vers le haut.
Comment créer un carré magique de 8 x 8
La méthode que nous utilisons pour construire un carré magique d’ordre 8 est la même que la méthode utilisée pour le 4 x 4.
La seule considération supplémentaire est d’inclure les diagonales principales de chaque sous-carré de 4 x 4.
Utilisons les nombres 1, 2, 3, 4, …., 64, qui donnent une somme magique de 260.
Deux « passes » sont nécessaires pour les 64 numéros.
There are many intriguing properties of this magic square. For example, the sum of the diagonals of each 2 x 2 square is the same.
Here are several more interesting properties.
(6 + 7) – (2 + 3) = (62 + 63) – (58 + 59)
(41 + 49) – (9 + 17) = (48 + 56) – (16 + 24)
(12 + 13 + 20 + 21) + (44 + 45 + 52 + 53) = (26 + 27 + 34 + 35) + (30 + 31 + 38 + 39)
Magic Squares provide many patterns and number properties that can be explored at a far greater depth than what I have provided in this article. Je couvre certaines de ces relations dans une vidéo.
Questions&Réponses
Question: Pouvez-vous créer des carrés magiques d’ordre pair autres que divisibles par 4, tels que 6 ou 10?
Réponse : Oui, il est possible d’avoir des carrés magiques pairs et non divisibles par 4. Découvrez ce qui suit.
http://www.math.wichita.edu/~richardson/mathematic…
Maria le 12 avril 2018:
Merci! Très bon article. Je cherchais cette information et cette page est beaucoup plus informative que d’autres et le matériel est bien expliqué et illustré.