Melissa a grandi à Sayville, New York. Sa carrière d’actrice a commencé à l’âge de quatre ans, quand elle a fait une publicité pour un jouet de baignoire appelé Splashy. Sa mère, Paula Hart, est son agent depuis le début. Melissa est l’aînée de huit enfants, certains issus du deuxième mariage de sa mère. Six sœurs, Trisha Hart, Elizabeth Hart, Emily Hart, Alexandra Hart-Gilliams, Samantha Hart et Mackenzie Lee Hart, qui est la seule sœur qui n’est jamais apparue dans la série télévisée de Melissa, Sabrina la sorcière adolescente (1996). Son frère est Brian Hart.
Melissa a joué dans deux pièces en tant que plus jeune membre de la compagnie New-yorkaise Circle Repertory Lab: « Beside Herself » en 1989 (avec Lois Smith et William Hurt) et « Imagining Brad » en 1990. Elle a également participé à la production du National Actors Theatre de « The Crucible » à Broadway avec Martin Sheen (en tant que doublure de trois des enfants de la pièce). Melissa cite Shirley Temple et Audrey Hepburn comme inspirations d’acteurs précoces et collectionne toujours des souvenirs de la première. Depuis quelques années, elle jongle avec le théâtre et fréquente l’Université de New York. Elle vit maintenant dans le Connecticut.