Algèbre sans limites

Taux de changement

Les fonctions linéaires s’appliquent aux problèmes du monde réel qui impliquent un taux constant.

Taux de changement

Les équations linéaires incluent souvent un taux de changement. Par exemple, la vitesse à laquelle la distance change au fil du temps est appelée vitesse. Si deux points dans le temps et la distance totale parcourue sont connus, le taux de changement, également appelé pente, peut être déterminé. À partir de ces informations, une équation linéaire peut être écrite, puis des prédictions peuvent être faites à partir de l’équation de la droite.

Si l’unité ou la quantité pour laquelle quelque chose change n’est pas spécifiée, le taux est généralement par unité de temps. Le type de fréquence le plus courant est « par unité de temps », comme la vitesse, la fréquence cardiaque et le flux. Les ratios qui n’ont pas de dénominateur temporel comprennent les taux de change, les taux d’alphabétisation et le champ électrique (en volts / mètre).

Pour décrire les unités d’une fréquence, le mot  » per” est utilisé pour séparer les unités des deux mesures utilisées pour calculer la fréquence (par example une fréquence cardiaque est exprimée  » battements par minute ”).

Taux de variation: Application dans le monde réel

Un athlète commence sa pratique normale pour le prochain marathon au cours de la soirée. À 18h00, il commence à courir et quitte son domicile. À 19h30, l’athlète termine la course à domicile et a parcouru un total de 7,5 milles. Quelle était sa vitesse moyenne au cours de la course?

Le taux de changement est la vitesse de sa course; distance dans le temps. Par conséquent, les deux variables sont le temps (x) et la distance (y). Le premier point est chez lui, où sa montre lit 18h00. C’est l’heure de début, alors mettons-la à 0. Donc, notre premier point est (0,0) parce qu’il n’a pas encore couru nulle part. Pensons à notre temps en heures. Notre deuxième point est 1,5 heure plus tard, et nous avons couru 7,5 miles. Le deuxième point est (1.5, 7.5). Notre vitesse (taux de changement) est simplement la pente de la ligne reliant les deux points. La pente, donnée par : m =\frac{y_{2} – y_{1}}{x_{2} – x_{1}} devient m =\frac{7,5}{1,5} = 5 milles à l’heure.

Exemple : Graphez la ligne illustrant la vitesse

Pour représenter graphiquement cette ligne, nous avons besoin de l’ordonnée à l’origine et de la pente pour écrire l’équation. La pente était de 5 milles à l’heure et comme le point de départ était à (0,0), l’ordonnée à l’origine est 0. Donc, notre fonction finale est y = 5x.

Avec cette nouvelle fonction, nous pouvons maintenant répondre à d’autres questions.

• Combien de miles a-t-il couru après la première demi-heure ? En utilisant l’équation, si x = \frac {1} {2}, résolvez pour y. Si y = 5x, alors y = 5 (0,5) = 2,5 miles.
• S’il a continué à courir au même rythme pendant un total de 3 heures, combien de miles aura-t-il couru? Si x = 3, résolvez pour y. Si y = 5x, alors y = 5 (3) = 15 miles.

Il existe de nombreuses applications de ce type pour les équations linéaires. Tout ce qui implique un taux de changement constant peut être bien représenté avec une ligne avec la pente. En effet, tant que vous n’avez que deux points, si vous savez que la fonction est linéaire, vous pouvez la représenter graphiquement et commencer à poser des questions ! Assurez-vous simplement que ce que vous demandez et ce graphique ont du sens. Par exemple, dans l’exemple du marathon, le domaine n’est vraiment que x\geq0, car cela n’a pas de sens d’entrer dans un temps négatif et de perdre des miles !

Modèles mathématiques linéaires

Les modèles mathématiques linéaires décrivent des applications du monde réel avec des lignes.

Modèles mathématiques

Un modèle mathématique est une description d’un système utilisant des concepts et un langage mathématiques. Les modèles mathématiques sont utilisés non seulement dans les disciplines des sciences naturelles et de l’ingénierie, mais aussi dans les sciences sociales. La modélisation linéaire peut inclure l’évolution de la population, les frais d’appels téléphoniques, le coût de la location d’un vélo, la gestion du poids ou la collecte de fonds. Un modèle linéaire comprend le taux de variation (m) et la quantité initiale, l’ordonnée à l’origine b. Une fois le modèle écrit et un graphique de la ligne créé, l’un ou l’autre peut être utilisé pour faire des prédictions sur les comportements.

Modèle linéaire de la vie réelle

De nombreuses activités quotidiennes nécessitent l’utilisation de modèles mathématiques, peut-être inconsciemment. Une difficulté avec les modèles mathématiques réside dans la traduction de l’application du monde réel en une représentation mathématique précise.

Exemple : Location d’un fourgon de déménagement

Une entreprise de location facture des frais fixes de 30 $ et un supplément de 0,25 $ par mille pour louer un fourgon de déménagement. Écrivez une équation linéaire pour approximer le coût y (en dollars) en termes de x, le nombre de miles parcourus. Combien coûterait un voyage de 75 milles?

En utilisant la forme d’interception de pente d’une équation linéaire, avec le coût total étiqueté y (variable dépendante) et les miles étiquetés x (variable indépendante):

\displaystyle y = mx +b

Le coût total est égal au taux par mille multiplié par le nombre de miles parcourus plus le coût du forfait:

\displaystyle y = 0,25x + 30

Pour calculer le coût d’un trajet de 75 milles, remplacez 75 pour x dans l’équation:

\displaystyle\begin {align} y &=0,25x +30 \\&&&=48.75\end{align}

Modèle de la vie réelle avec plusieurs équations

Il est également possible de modéliser plusieurs lignes et leurs équations.

Exemple

Initialement, les trains A et B sont distants de 325 milles l’un de l’autre. Le train A se dirige vers B à 50 milles à l’heure et le train B se dirige vers A à 80 milles à l’heure. A quelle heure les deux trains se rencontreront-ils ? À ce moment-là, jusqu’où les trains ont-ils voyagé?

Tout d’abord, commencez par les positions de départ des trains, (y-interceptions, b). Les départs du train A sont l’origine, (0,0). Puisque le train B est à 325 miles du train A initialement, sa position est (0,325).

Deuxièmement, pour écrire les équations représentant la distance totale de chaque train en termes de temps, calculez le taux de changement pour chaque train. Étant donné que le train A se dirige vers le train B, qui a une valeur y supérieure, le taux de variation du train A doit être positif et égal à sa vitesse de 50. Le train B se dirige vers A, qui a une valeur y inférieure, ce qui donne à B un taux de variation négatif: -80.

Les deux lignes sont donc :

\displaystyle y_A=50x\\

Et :

\displaystyle y_B=−80x+325

Les deux trains se rencontreront là où les deux lignes se croisent. Pour trouver l’intersection des deux lignes, définissez les équations égales l’une à l’autre et résolvez pour x :

\displaystyle y_{A}=y_{B}

\displaystyle 50x=-80x+325

La résolution pour x donne :

\displaystyle x=2,5

Les deux trains se rencontrent après 2,5 heures. Pour trouver où cela se trouve, branchez 2.5 dans l’une ou l’autre équation.

Le brancher dans la première équation nous donne 50 (2,5) = 125, ce qui signifie qu’il se rencontre après un voyage de 125 miles.

Voici le modèle graphique distance/temps des deux trains :

Ajustement d’une courbe

L’ajustement d’une courbe avec une ligne tente de tracer une ligne de sorte qu’elle « s’adapte le mieux” à toutes les données.

Ajustement de courbe

L’ajustement de courbe est le processus de construction d’une courbe, ou fonction mathématique, qui s’adapte le mieux à une série de points de données, éventuellement soumis à des contraintes. L’ajustement de la courbe peut impliquer soit une interpolation, où un ajustement exact aux données est requis, soit un lissage, dans lequel une fonction « lisse” est construite qui correspond approximativement aux données. Les courbes ajustées peuvent être utilisées comme aide à la visualisation de données, pour déduire les valeurs d’une fonction pour laquelle aucune donnée n’est disponible et pour résumer les relations entre deux variables ou plus. L’extrapolation fait référence à l’utilisation d’une courbe ajustée au-delà de la plage des données observées et est sujette à un degré d’incertitude plus élevé car elle peut refléter la méthode utilisée pour construire la courbe autant qu’elle reflète les données observées.

Dans cette section, nous n’ajusterons que des lignes aux points de données, mais il convient de noter qu’on peut adapter des fonctions polynomiales, des cercles, des fonctions à la pièce et n’importe quel nombre de fonctions aux données et c’est un sujet très utilisé en statistiques.

Formule de régression linéaire

La régression linéaire est une approche de modélisation de la relation linéaire entre une variable dépendante, y et une variable indépendante, x. Avec la régression linéaire, on trouve une droite sous forme d’interception de pente, y = mx + b qui « correspond le mieux” aux données.

Le modèle de régression linéaire le plus simple et peut-être le plus courant est l’approximation des moindres carrés ordinaires. Cette approximation tente de minimiser les sommes de la distance au carré entre la droite et chaque point.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

Pour trouver la pente de la droite la mieux adaptée, calculez dans les étapes suivantes :

1. La somme du produit des coordonnées x et y \sum_{i= 1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. La somme des coordonnées x\sum_{i= 1}^{n}x_{i}.
3. La somme des coordonnées y\sum_{j= 1}^{n}y_{j}.
4. La somme des carrés des coordonnées x\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2}).
5. La somme des coordonnées x au carré (\sum_{i= 1}^{n}x_{i}) ^{2}.
6. Le quotient du numérateur et du dénominateur.

\displaystyle\begin {align} b&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{1}-m\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\\&=\left( \bar{y}-m\bar{x}\right)\end{align}

Pour trouver l’interception y(b), calculez en utilisant les étapes suivantes :

1. La moyenne des coordonnées y. Soit \bar{y}, prononcé y-bar, la valeur moyenne (ou moyenne) y de tous les points de données : \bar y = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}y_{i}.
2. La moyenne des coordonnées x. Respectivement \bar{x}, prononcé x-bar, est la valeur x moyenne (ou moyenne) de tous les points de données: \bar x = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}.
3. Remplacez les valeurs dans la formule ci-dessus b=\bar{y} – m\bar{x}.

En utilisant ces valeurs de m et b, nous avons maintenant une ligne qui se rapproche des points du graphique.

Exemple : Écrivez la ligne d’ajustement des moindres carrés, puis représentez graphiquement la ligne qui correspond le mieux aux données

Pour n = 8 points: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) et (6,4).

Tout d’abord, trouvez la pente (m) et l’ordonnée à l’origine (b) qui approchent le mieux ces données, en utilisant les équations de la section précédente:

Pour trouver la pente, calculez:

1. La somme du produit des coordonnées x et y\sum_{i =1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. La somme des coordonnées x\sum_{i= 1}^{n}x_{i}.
3. La somme des coordonnées y\sum_{i= 1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5\end{align}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Calculez le numérateur: Le produit des coordonnées x
et y
moins un huitième le produit de la somme des coordonnées x et de la somme des coordonnées y:

\displaystyle\sum_{i= 1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

Le numérateur dans l’équation de pente est :

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Calculer le dénominateur: La
somme des carrés des coordonnées x moins un huitième de la somme des coordonnées x au carré :

\displaystyle\sum_{i= 1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}

\displaystyle\begin{align}\sum_{i=1}^{n} (x_{ je }^{2}) &&=92\end{align}

Le dénominateur est 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 et la pente est le quotient du numérateur et du dénominateur: \frac{23.25}{42} \approx0.554.

Maintenant, pour l’interception y, (b) un huitième fois la moyenne des coordonnées x: \bar{x} = \frac{20}{8} =2.5 et un huitième fois la moyenne des coordonnées y : \bar{y} = \frac{13,5}{8} = 1,6875.

Donc b= \frac{1}{n}\sum_{i= 1}^{n}y_{1}-m \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}\\:

\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

Notre équation finale est donc y = 0,554x + 0,3025, et cette ligne est représentée graphiquement avec les points.

Valeurs aberrantes et Régression par les moindres carrés

Si nous avons un point qui est loin de la ligne d’approximation, cela faussera les résultats et aggravera la ligne. Par exemple, disons dans notre exemple d’origine, au lieu du point (-1,0) que nous avons (-1,6).

En utilisant les mêmes calculs que ci-dessus avec le nouveau point, les résultats sont: m\approx0.0536 et b\approx2.3035, pour obtenir la nouvelle équation y = 0,0536x + 2,3035.

En regardant les points et la ligne de la nouvelle figure ci-dessous, cette nouvelle ligne ne correspond pas bien aux données, en raison de la valeur aberrante (-1,6). En effet, essayer d’adapter des modèles linéaires à des données quadratiques, cubiques ou non linéaires, ou à des données avec de nombreuses valeurs aberrantes ou erreurs peut entraîner de mauvaises approximations.