Il existe un type particulier de système qui nécessite une étude supplémentaire. Ce type de système est appelé un système homogène d’équations, que nous avons défini ci-dessus dans la définition. Notre objectif dans cette section est d’examiner quels types de solutions sont possibles pour un système homogène d’équations.
Considérez la définition suivante.
Définition \(\PageIndex{1}\): Solution triviale
Considérons le système homogène d’équations donné par \Then, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} = 0\) est toujours une solution à ce système. Nous appelons cela la solution triviale.
Si le système a une solution dans laquelle tous les \(x_1, \cdots, x_n\) ne sont pas égaux à zéro, alors nous appelons cette solution non triviale. La solution triviale ne nous dit pas grand-chose sur le système, car elle dit que \(0 = 0\)! Par conséquent, lorsque nous travaillons avec des systèmes d’équations homogènes, nous voulons savoir quand le système a une solution non triviale.
Supposons que nous ayons un système homogène d’équations \(m\), utilisant des variables \(n\), et supposons que \(n >m\). En d’autres termes, il y a plus de variables que d’équations. Ensuite, il s’avère que ce système a toujours une solution non triviale. Non seulement le système aura une solution non triviale, mais il aura également une infinité de solutions. Il est également possible, mais non nécessaire, d’avoir une solution non triviale if \(n = m\) et \(n <m\).
Considérons l’exemple suivant.
Exemple \(\PageIndex{1}\): Solutions à un Système homogène d’équations
Trouvez les solutions non triviales au système homogène d’équations suivant \
Solution
Notez que ce système a \(m= 2\) équations et \(n=3\) variables, donc \(n>m\). Par conséquent, par notre discussion précédente, nous nous attendons à ce que ce système ait une infinité de solutions.
Le processus que nous utilisons pour trouver les solutions d’un système homogène d’équations est le même que celui que nous avons utilisé dans la section précédente. Tout d’abord, nous construisons la matrice augmentée, donnée par \\] Puis, nous portons cette matrice à sa, donnée ci-dessous. \\] Le système d’équations correspondant est \ Puisque \(z\) n’est retenu par aucune équation, nous savons que cette variable deviendra notre paramètre. Soit \(z = t\) où \(t\) est un nombre quelconque. Par conséquent, notre solution a la forme \ Donc ce système a une infinité de solutions, avec un paramètre \(t\).
Supposons que nous devions écrire la solution dans l’exemple précédent sous une autre forme. Plus précisément, \ peut être écrit comme \ = \left + t\left \] Notez que nous avons construit une colonne à partir des constantes de la solution (toutes égales à \(0\)), ainsi qu’une colonne correspondant aux coefficients sur \(t\) dans chaque équation. Bien que nous discuterons plus de cette forme de solution dans d’autres chapitres, considérons pour l’instant la colonne des coefficients du paramètre \(t\). Dans ce cas, il s’agit de la colonne \(\left\).
Il existe un nom spécial pour cette colonne, qui est la solution de base. Les solutions de base d’un système sont des colonnes construites à partir des coefficients sur les paramètres de la solution. Nous désignons souvent les solutions de base par \(X_1, X_2\) etc., en fonction du nombre de solutions. Par conséquent, Example a la solution de base \(X_1 = \left\).
Nous explorons cela plus en détail dans l’exemple suivant.
Exemple \(\PageIndex{1}\): Solutions de base d’un Système Homogène
Considérons le système homogène d’équations suivant. \ Trouvez les solutions de base à ce système.
Solution
La matrice augmentée de ce système et les résultantes sont \\rightarrow\cdots\rightarrow\left\] Lorsqu’elle est écrite en équations, ce système est donné par \Remarque que seul \(x\) correspond à une colonne pivot. Dans ce cas, nous aurons deux paramètres, un pour \(y\) et un pour \(z\). Soit \(y = s\) et \(z = t\) pour tous les nombres \(s\) et \(t\). Ensuite, notre solution devient \ qui peut s’écrire comme \ = \left + s\left + t\left\] Vous pouvez voir ici que nous avons deux colonnes de coefficients correspondant à des paramètres, en particulier une pour \(s\) et une pour \(t\). Par conséquent, ce système a deux solutions de base! Ce sont \, X_2 = \left\]
Nous présentons maintenant une nouvelle définition.
Définition \(\PageIndex{1}\): Combinaison linéaire
Soit \(X_1, \cdots, X_n, V\) des matrices de colonnes. Alors \(V\) est dit une combinaison linéaire des colonnes \(X_1, \cdots, X_n\) s’il existe des scalaires, \(a_{1}, \cdots, a_{n}\) tels que \
Un résultat remarquable de cette section est qu’une combinaison linéaire des solutions de base est à nouveau une solution au système. Encore plus remarquable est que chaque solution peut être écrite comme une combinaison linéaire de ces solutions. Par conséquent, si nous prenons par Exemple une combinaison linéaire des deux solutions, ce serait également une solution. Par exemple, nous pourrions prendre la combinaison linéaire suivante
\+2\left =\left\]Vous devriez prendre un moment pour vérifier que \=\left\]
est en fait une solution au système dans l’exemple.
Une autre façon d’obtenir plus d’informations sur les solutions d’un système homogène consiste à considérer le rang de la matrice de coefficients associée. Nous définissons maintenant ce que l’on entend par le rang d’une matrice.
Definition \(\PageIndex{1}\): Rang d’une matrice
Soit \(A\) une matrice et considérons l’un des \(A\). Ensuite, le nombre \(r\) d’entrées principales de \(A\) ne dépend pas de celui que vous choisissez, et s’appelle le rang de \(A\). Nous le dénotons par rang (\(A\)).
De même, nous pourrions compter le nombre de positions de pivot (ou colonnes de pivot) pour déterminer le rang de \(A\).
Exemple \(\PageIndex{1}\): Trouver le rang d’une matrice
Considérez la matrice \\]Quel est son rang?
Solution
Tout d’abord, nous devons trouver le de \(A\). Grâce à l’algorithme habituel, nous constatons que c’est \\] Ici, nous avons deux entrées principales, ou deux positions de pivot, indiquées ci-dessus dans les cases.Le rang de \(A\) est \(r= 2.\)
Notez que nous aurions obtenu la même réponse si nous avions trouvé le de \(A\) au lieu du.
Supposons que nous ayons un système homogène d’équations \(m\) dans \(n\) variables, et supposons que \(n >m\). De notre discussion ci-dessus, nous savons que ce système aura une infinité de solutions. Si nous considérons le rang de la matrice de coefficients de ce système, nous pouvons en savoir encore plus sur la solution. Notez que nous ne regardons que la matrice de coefficients, pas la matrice augmentée entière.
Théorème \(\PageIndex{1}\): Rang et Solutions à un Système homogène
Soit \(A\) la matrice de coefficients \(m\fois n\) correspondant à un système homogène d’équations, et supposons que \(A\) a rang \(r\). Ensuite, la solution au système correspondant a des paramètres \(n-r\).
Considérons notre Exemple ci-dessus dans le contexte de ce théorème. Le système dans cet exemple a des équations \(m = 2\) dans des variables \(n = 3\). Premièrement, parce que \(n > m \), nous savons que le système a une solution non triviale, et donc une infinité de solutions. Cela nous indique que la solution contiendra au moins un paramètre. Le rang de la matrice de coefficients peut nous en dire encore plus sur la solution! Le rang de la matrice de coefficients du système est \(1 \), car elle a une entrée principale dans. Le théorème nous dit que la solution aura des paramètres \(n-r = 3-1 = 2\). Vous pouvez vérifier que cela est vrai dans la solution à l’exemple.
Notez que si \(n =m\) ou \(n <m\), il est possible d’avoir soit une solution unique (qui sera la solution triviale), soit une infinité de solutions.
Nous ne nous limitons pas ici à des systèmes d’équations homogènes. Le rang d’une matrice peut être utilisé pour en apprendre davantage sur les solutions de n’importe quel système d’équations linéaires. Dans la section précédente, nous avons discuté du fait qu’un système d’équations ne peut avoir aucune solution, une solution unique ou une infinité de solutions. Supposons que le système soit cohérent, qu’il soit homogène ou non. Le théorème suivant nous indique comment utiliser le rang pour connaître le type de solution que nous avons.
Théorème \(\PageIndex{1}\): Rang et Solutions à un Système cohérent d’équations
Soit \(A\) la matrice augmentée \(m\times\left(n + 1\right)\) correspondant à un système cohérent d’équations dans \(n\) variables, et supposons que \(A\) a rang \(r\). Alors
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le système a une solution unique si \(r= n\)
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le système a une infinité de solutions si \(r <n\)
Nous n’en présenterons pas de preuve formelle, mais considérons les discussions suivantes.
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Pas de solution Le théorème ci-dessus suppose que le système est cohérent, c’est-à-dire qu’il a une solution. Il s’avère qu’il est possible que la matrice augmentée d’un système sans solution ait un rang \(r\) tant que \(r>1\). Il faut donc savoir que le système est cohérent pour utiliser ce théorème !
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Solution unique Supposons \(r = n\). Ensuite, il y a une position de pivot dans chaque colonne de la matrice de coefficients de \(A\). Par conséquent, il existe une solution unique.
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Une Infinité De Solutions Suppose \(r <n\). Ensuite, il y a une infinité de solutions. Il y a moins de positions de pivot (et donc moins d’entrées principales) que les colonnes, ce qui signifie que toutes les colonnes ne sont pas une colonne pivot. Les colonnes qui sont des colonnes pivotantes \ (pas \) correspondent à des paramètres. En fait, dans ce cas, nous avons des paramètres \(n-r\).