Wien ’ s displacement law

Planckin laki mustan kappaleen säteilyn spektristä ennustaa Wienin siirtymislain ja sitä voidaan käyttää numeerisesti arvioimaan vakiolämpötilaa ja huippuparametrin arvoa mille tahansa tietylle parametrisaatiolle. Yleisesti käytetään aallonpituusparametrisointia ja tällöin mustan kappaleen spektrinen radianssi ( teho emittoaluetta kohti avaruuskulmaa kohti) on:

u λ (λ , T ) = 2 h c 2 λ 5 1 e h c / λ K T − 1 . {\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{HC/\lambda kT}-1}.}

Differentioimalla U(λ,T) λ: n suhteen ja asettamalla derivaatta nollaksi saadaan:

∂ u ∂ λ = 2 h c 2 ( h C k T λ 7 e h C / λ K T ( E H C / λ K T − 1 ) 2 − 1 λ 6 5 E H C/λ K T − 1 ) = 0 , {\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({HC \over kt\lambda ^{7}}{e^{HC/\lambda kt} \over \left(e^{HC / \lambda kt}\over \ left (e ^ {HC / \ lambda kt} \ over \ left (e ^ {HC / \ lambda kt} -1 \ right)^{2}}-{1 \Yli \lambda ^{6}}{5 \over e^{HC/\lambda kt}-1}\right)=0,}

, joka voidaan yksinkertaistettuna antaa:

H C λ K T E H C / λ K T e H C / λ K T − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {HC \over \lambda kT}{e^{HC / \lambda kt} \over e^{HC / \lambda kt}-1}-5=0.}

määrittelemällä:

x ≡ H C λ K T , {\displaystyle x\equiv {HC \over \lambda kT},}

yhtälö muuttuu yhdeksi ainoaksi muuttujaksi x:

x e x e x − 1 − 5 = 0. {\displaystyle {xe^{x} \ over e^{x}-1}-5=0.}

, joka vastaa:

( x − 5 ) e x + 5 = 0. {\displaystyle (x-5) e^{x}+5=0.}

tämä yhtälö ratkaistaan helposti numeerisesti Newtonin menetelmällä, jolloin saadaan X = 4.965114231744276303… kaksinkertaisen tarkkuuden liukulukutarkkuuteen. Ratkaiseminen aallonpituudelle λ milimetreinä ja kelvinien käyttö lämpötilan tuottona:

λpeak = hc / xkT = (2.897771955185172661… mm K) / T.

Parametrisointi frequencyEdit

toinen yleinen parametrisointi on frekvenssin mukaan. Huippuparametrin arvon antava derivaatta on samankaltainen , mutta alkaa Planckin lain muodossa taajuuden ν:

u ν ( ν, T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e H ν / k T − 1 funktiona . {\displaystyle u_{\nu }(\nu, T)={2h\nu ^{3} \over C^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}

tätä yhtälöä käyttäen edeltävä prosessi tuottaa:

− H ν K T E H ν / k T E H ν / k T − 1 + 3 = 0. {\displaystyle – {h\nu \over kt}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1} + 3=0.}

nettotulos on:

( x − 3 ) e x + 3 = 0. {\displaystyle (x-3) e^{x}+3=0.}

tämäkin ratkeaa Newtonin menetelmällä, jolloin saadaan X = 2.821439372122078893… kaksinkertaisen tarkkuuden liukulukutarkkuuteen. Analyyttinen ratkaisu saadaan Lambert W: n funktiolla

x = 3 + W ( 0 , − 3 e − 3 ) {\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}

ratkaiseminen ν: lle tuottaa:

vpeak = XKT / H = (0, 05878925757646824946… THz K-1) · T.

maksimit eroavat parametrisointimedit

huomaa, että tietyssä lämpötilassa parametrisointi taajuuden mukaan merkitsee eri enimmäisaallonpituutta kuin parametrisointi aallonpituuden mukaan.

esimerkiksi käytettäessä T = 6000 K ja parametrisoimalla aallonpituuden mukaan maksimispektrisäteilyn aallonpituus on λ = 482,962 nm ja vastaava taajuus ν = 620,737 THz. Samassa lämpötilassa, mutta parametrisoimalla taajuuden mukaan, maksimispektrisen radianssin taajuus on ν = 352.735 THz ja vastaava aallonpituus λ = 849.907 nm.

nämä funktiot ovat radiance density-funktioita, jotka ovat todennäköisyystiheysfunktioita, jotka skaalataan säteilyyksiköiksi. Tiheysfunktiolla on eri muotoja eri parametrisaatioille riippuen abscissan suhteellisesta venymisestä tai puristuksesta, joka mittaa todennäköisyystiheyden muutosta suhteessa tietyn parametrin lineaariseen muutokseen. Koska aallonpituudella ja taajuudella on vastavuoroinen suhde, ne edustavat merkittävästi epälineaarisia todennäköisyystiheyden siirtymiä toisiinsa nähden.

kokonaissäteily on jakauman integraali kaikille positiivisille arvoille, ja se on invariantti tietylle lämpötilalle missä tahansa parametrisoinnissa. Lisäksi tietyssä lämpötilassa säteilyn, joka koostuu kaikista fotoneista kahden aallonpituuden välillä, on oltava sama riippumatta siitä, mitä jakaumaa käytät. Toisin sanoen integroimalla aallonpituusjakauma λ1: stä λ2: een saadaan sama arvo kuin integroimalla kahden λ1: tä ja λ2: ta vastaavan taajuuden välinen taajuusjakauma eli C/λ2: sta C/λ1: een. Jakauman muoto riippuu kuitenkin parametrisoinnista, ja eri parametrisoinnissa jakaumalla on tyypillisesti erilainen huipputiheys, kuten nämä laskelmat osoittavat.

käyttämällä arvoa 4 implisiittisen yhtälön ratkaisemiseen saadaan spektrisen radianssin tiheysfunktion huippu ilmaistuna parametrina radiance suhteellista kaistanleveyttä kohti. Tämä on ehkä intuitiivisempi tapa esittää ”huippupäästön aallonpituus”. Joka tuottaa X = 3.920690394872886343… kaksinkertaisen tarkkuuden liukulukutarkkuuteen.

Wienin lain tärkeä kohta on kuitenkin se, että mikä tahansa tällainen aallonpituusmerkki, mukaan lukien aallonpituuden mediaani (tai vaihtoehtoisesti aallonpituus, jonka alapuolella jokin tietty prosenttiosuus emissiosta tapahtuu), on verrannollinen lämpötilan vastavuoroisuuteen. Toisin sanoen muoto jakauma tietyn parametrisointi asteikot ja kääntää lämpötilan mukaan, ja voidaan laskea kerran kanoninen lämpötila, sitten asianmukaisesti siirtynyt ja skaalattu saada jakelu toiseen lämpötilaan. Tämä on seurausta Wien lain voimakkaasta lausunnosta.