Recientemente, estaba pensando en varias justificaciones para la definición de 0! (factorial de cero) que es
0 0!=1
El valor supuesto de 1 puede parecer bastante obvio si se considera la fórmula recursiva. Sin embargo, no me satisfizo «matemáticamente». Por eso decidí escribir estas pocas oraciones. Daré motivaciones para los menos avanzados, pero también habrá motivaciones para un poco más iniciados.
⭐️Factorial en Escalar Calculadora
⭐️ Factorial y la recurrencia
Para un entero n > 0 factorial se define como sigue
$$n!=n \ times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1
Con facilidad, puede ver que a continuación la fórmula recursiva sigue
n n!= n \ veces (n-1)!
1 1!=1
⭐️ 0! = 1-motivación basada en recurrencia
Pequeña transformación de
n n!= n \ veces (n-1)!$$
da
$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$$
Sustituyendo n = 1
$$(1-1)!= \ frac{1!}{1}
0 0!=1!=1
Esta explicación, aunque fácil, no proporciona (en mi opinión) una comprensión lo suficientemente profunda de «por qué esta debería ser la mejor opción».
Fac️ Factorial n! Cuenta las posibles secuencias distintas de n objetos distintos (permutaciones)
Supongamos que tenemos un conjunto que contiene n elementos
\\{1,2,\ldots,n\}
Ahora vamos a contar el posible orden de los elementos es este conjunto
- n formas de seleccionar el primer elemento (porque tenemos todo el conjunto disponible)
- n-1 formas de seleccionar el segundo elemento (porque el primero ya estaba seleccionado, hay n-1 izquierda)
- n-2 formas de seleccionar el tercer elemento (debido a que los dos ya estaban seleccionados, hay n-2 a la izquierda)
- n- (k-1) formas de seleccionar el número de elemento k (debido a que los k-1 ya estaban seleccionados, n- (k-1) permanecen)
- 2 formas de seleccionar el número de elemento n-1 (debido a que los n-2 fueron seleccionados, aún quedan 2)
- 1 forma de seleccionar el número de elemento n (debido a que los n-1 fueron seleccionados, permanecieron solo uno)
Finalmente, contando todas las formas posibles, obtenemos
$ $ n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\veces 1=n!Conclusion
Conclusión: El factorial de n cuenta el número de permutación de un conjunto que contiene n elementos.
perm️ permutaciones k de n a veces llamadas permutaciones parciales o variaciones
Las permutaciones k de n son las diferentes disposiciones ordenadas de un subconjunto de elementos k de un conjunto n. El número de k-permutaciones de n es
$$P_k^n = n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!{(n-k)!}}
Es fácil ver que n-permutación de n es una permutación, así que
P P_n^n=n!$ $
n n! = \ frac{n!{(n-n)!} = \ frac {n!}{0!}}
El siguiente insight por qué 0!=1 es la definición correcta que viene de que para cualquier n > 0 deberíamos tener
0 0! \ veces n! = n!Function
Function️ Función como un conjunto de asignación
Función
$ $ f:A\to B Function
Función f: A → B, donde para cada a ∈ A hay f (a) = b ∈ B, define la relación entre los elementos a y b. Podemos decir que los elementos a ∈ A y b ∈ B están en relación «f» si y solo si f(a) = b.
Function️ Función como un subconjunto de producto cartesiano
La función es una relación binaria, lo que significa que la función se puede expresar como un subconjunto de un producto cartesiano.
$ $ (a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b function
function️ Función inyectiva
Función inyectiva es una función que conserva la distinción: nunca asigna elementos distintos de su dominio al mismo elemento de su codominio. En breve
function x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)
function️ Función suryectiva
Una función f es sobreyectiva (o onto) si para cada elemento b en codominio, hay al menos un elemento a en el dominio tal que f(a)=b . No es necesario que x sea único.
f f:A\to B
{{\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_ {a\in A}\quad}f(a)=b f
function️ Función biyectiva
La función biyectiva, o correspondencia uno a uno, es una función donde cada elemento de un conjunto está emparejado con exactamente un elemento del otro conjunto, y cada elemento del otro conjunto está emparejado con exactamente un elemento del primer conjunto. No hay elementos impares.
En términos matemáticos, un bijective función es tanto inyectiva y surjective la asignación de un conjunto a a un conjunto B.
⭐️ Bijective función vs Permutación
Permutación es una función que devuelve el orden de un conjunto, es decir, si tenemos en cuenta los n elementos del conjunto {1, 2, …, n} entonces permutación será una función
$$p:\{1, 2, …, n\}\a\{1, 2, …, n\}$$
la satisfacción de las bijective función de la condición.
Al preguntar sobre el número de permutaciones, podemos preguntar igualmente sobre el número de diferentes biyecciones de un conjunto dado en sí mismo.
function️ Función vacía
Una función vacía es toda función cuyo dominio es un conjunto vacío.
$ $ f:\emptyset\to B
La función vacía «gráfico» es un conjunto vacío, ya que el producto cartesiano de dominio y codominio está vacío.
\ \ emptyset\times B = \ emptyset The
La función vacía conserva la distinción (es inyectiva), porque en el dominio (un conjunto vacío) no hay dos elementos diferentes para los que el valor de la función sea igual.
⭐️ Un caso especial de una función vacía
Analicemos la función que asigna un conjunto vacío a vacío
f f:\emptyset\to \ emptyset
Esta función es una biyección porque es una función inyectiva (como se muestra arriba) y no hay ningún elemento en el codominio (el codominio es un conjunto vacío) que no esté en relación con los elementos del dominio.
Tenga en cuenta que hay exactamente una de estas biyecciones, que es el resultado de que la función es un subconjunto del producto cartesiano de dominio y codominio. En este caso, este es solo un conjunto posible.
f f:\emptyset \ to \ emptyset
\ \ emptyset \ times \ emptyset = \ emptyset The
El conjunto vacío tiene exactamente un subconjunto, que es el conjunto vacío, por lo que dicha biyección está definida de forma única.
⭐️ 0! = 1 vs Función vacía
Escribí arriba que el número de permutaciones de un conjunto de n elementos es igual al número de funciones biyectivas distintas de este conjunto en sí mismo.
Siguiente-la permutación del conjunto de elementos 0 corresponde a la biyección de un conjunto vacío en el conjunto vacío /
El caso especial de la función vacía es solo 1-y presenté la prueba de que solo existe una función de este tipo 🙂
Una visión bastante profunda por qué 0! debe por 1.
⭐️ La función gamma
En matemáticas, la función Gamma es una de las extensiones de la función factorial con su argumento desplazado hacia abajo por 1, a números reales y complejos.
$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$
Después de la integración por partes obtenemos la fórmula recursiva
$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$
Vamos a ver el valor de
$$\Gamma(1)=?$$
$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$
Siguiente
$$\Gamma(n+1)=n!$ $
0 0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
⭐️ Número e y relación factorial
Basado en la expansión de la serie de Taylor de e^x es fácil demostrar que
$ $ e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} = \ frac{1}{0!} + \ frac{1}{1!} + \ frac{1}{2!} + \ frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂