Podemos aclarar la pregunta en muchos contextos.
En 10o grado, se espera que por multiplicación se refiera a la multiplicación de números reales, en cuyo caso no se define porque el infinito no es un número real. De manera similar, el pan 0 * no se define porque el pan tampoco es un número real.
También podemos considerar la multiplicación en la recta real extendida que tiene ∞ como elemento. 0 * ∞ sigue siendo indefinido aquí, pero aquí es una opción hacerlo, no solo algo forzado por ∞ que no es un número real. La línea de números reales extendidos está destinada a funcionar como lo hacen los límites, pero como mostró /u/rebo, podemos tener una función que va al infinito y otra función que va a 0, y podemos tener su producto que va a cualquier cosa. Debido a eso, dejamos 0 * ∞ indefinido.
Como contraste, en los reales 1 / ∞ es indefinido, pero en los reales extendidos está definido.
Hay contextos adicionales donde la expresión puede tener sentido. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, tenemos aritmética cardinal. Supongamos que tenemos 4 elementos en un conjunto, digamos A = {corazones, picas, tréboles y diamantes}, y 2 elementos de un conjunto B, digamos B = {Rey, As}. ¿Cuántos elementos hay en el conjunto de pares donde el primer elemento del par es de B y el segundo es de A? En este caso, nuestras parejas son {(Rey, corazones), (Rey, picas), (Rey, tréboles),…}, y deberías ver que hay 8 en total. Esto nos da la propiedad de que si hay m elementos en un conjunto y n elementos en el segundo conjunto, entonces hay m * n elementos en el conjunto de pares.
Así que ahora pensemos en lo que sucede cuando uno de nuestros conjuntos tiene 0 elementos y el otro conjunto tiene infinitos elementos? Entonces no hay pareja posible en absoluto, porque no hay cosa posible que podamos poner en la primera ranura de nuestra pareja. Esta es la base de la multiplicación cardinal en la que decimos que 0 * infinito = 0.