Una función relaciona una entrada con una salida.
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es como una máquina que tiene una entrada y una salida. Y la salida está relacionada de alguna manera con la entrada. |
| f(x) |
«f(x) = … «es la forma clásica de escribir una función. |
Entrada, Relación, Salida
Veremos muchas formas de pensar en las funciones, pero siempre hay tres partes principales:
- La entrada
- La relación
- La salida
Ejemplo: «Multiplicar por 2» es una función muy simple.
Aquí están las tres partes:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
Algunos ejemplos de funciones
- x2 (cuadratura) es una función
- x3+1 es también una función
- Seno, Coseno y tangente son funciones utilizadas en trigonometría
- ¡y hay muchas más!
Pero no vamos a ver funciones específicas …
… en su lugar, veremos la idea general de una función.
Nombres
En primer lugar, es útil dar un nombre a una función.
El nombre más común es «f», pero podemos tener otros nombres como» g»… o incluso «mermelada» si queremos.
Pero usemos»f»:
Nos dicen «f de x es igual a x al cuadrado»
lo que pasa en la función se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:
de Modo que f(x) nos muestra que la función se llama «f», y «x» va en
Y que solemos ver qué función hace con la entrada:
f(x) = x2 nos muestra que la función «f» toma «x» y plazas.
Ejemplo: con f ( x) = x2:
- una entrada de 4
- se convierte en una salida de 16.
De hecho podemos escribir f(4) = 16.
¡La «x» es Solo un Lugar para colocar!
No te preocupes demasiado por la «x», solo está ahí para mostrarnos a dónde va la entrada y qué le sucede.
podría ser cualquier cosa!
por Lo que esta función:
f(x) = 1 – x + x2
Es la misma función como:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(a) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
La variable (x, q, A, etc) está ahí para saber dónde poner los valores:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
a Veces No es la Función del Nombre
a Veces una función no tiene nombre, y vemos algo como:
y = x2
Pero todavía existe:
- una entrada (x)
- una relación (cuadratura)
- y una salida (y)
Relación
En la parte superior nos dice que una función como una máquina. Pero una función en realidad no tiene correas, engranajes o partes móviles, ¡y en realidad no destruye lo que ponemos en ella!
Una función relaciona una entrada con una salida.
Decir «f(4) = 16» es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O 4 → 16
Ejemplo: este árbol crece de 20 cm cada año, por lo que la altura del árbol está relacionada con su edad mediante la función h:
h(edad) = edad × 20
Así que, si la edad es de 10 años, la altura es:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Aquí hay algunos valores de ejemplo:
| edad | h(edad) = edad × 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
«Numbers» seems an obvious answer, but …
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… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
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… también podrían ser letras («A» → «B»), o códigos de identificación («A6309″→» Pase») o cosas extrañas. |
Así que necesitamos algo más potente, y que es donde los juegos vienen en:
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Un conjunto es una colección de cosas.Estos son algunos ejemplos:
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Cada cosa individual en el conjunto (como «4» o «sombrero») se llama miembro o elemento.
Por lo tanto, una función toma elementos de un conjunto y devuelve elementos de un conjunto.
Una función es Especial
Pero una función tiene reglas especiales:
- Debe funcionar para cada valor de entrada posible
- Y solo tiene una relación para cada valor de entrada
Esto se puede decir en una definición:
Definición formal de una función
Una función relaciona cada elemento de un conjunto
con exactamente un elemento de otro conjunto
(posiblemente el mismo conjunto).
Las Dos Cosas Importantes!
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«…cada elemento…»significa que cada elemento en X está relacionado con algún elemento en Y. Decimos que la función cubre X (relaciona cada elemento de ella). (Pero algunos elementos de Y podrían no estar relacionados en absoluto, lo cual está bien.) |
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«…exactamente uno…»significa que una función tiene un valor único. No devolverá 2 o más resultados por la misma entrada. ¡Así que «f(2) = 7 o 9» no está bien! |
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«Uno-a-muchos» no está permitido, pero «muchos-a-uno» es permitido: |
||
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| (uno-a-muchos) | (muchos-a-uno) | |
| Esto NO es aceptable en una función | , Pero esto está bien en función | |
Cuando una relación no siga esas dos reglas, entonces no es una función … sigue siendo una relación, pero no una función.
Ejemplo: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- Cada elemento en X está relacionado con Y
- Ningún elemento en X tiene dos o más relaciones
Por lo que sigue las reglas.
(Observe cómo tanto 4 como -4 se relacionan con 16, lo cual está permitido.)
Ejemplo: Esta relación no es una función:
es una relación, pero no es una función, por estas razones:
- El valor «3» en X no tiene relación en Y
- El valor «4» en X no tiene relación en Y
- El valor «5» está relacionado con más de un valor en Y
(Pero el hecho de que «6» en Y no tenga relación no importa)
Prueba de línea vertical
En un gráfico, la idea de valor único significa que ninguna línea vertical cruza más de un valor.
Si cruza más de una vez, sigue siendo una curva válida, pero no es una función.
Algunos tipos de funciones tienen reglas más estrictas, para obtener más información, puede leer Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
Infinitamente muchos
Mis ejemplos tienen solo unos pocos valores, pero las funciones generalmente funcionan en conjuntos con infinitos elementos.
Ejemplo: y = x3
- El conjunto de entrada «X» es todos los Números Reales
- El conjunto de salida «Y» es también todos los Números Reales
no podemos mostrar TODOS los valores, así que aquí están algunos ejemplos:
| X: x | Y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
Dominio, Codominio y Rango de
En nuestros ejemplos anteriores
- el conjunto de «X» se llama el Dominio,
- el conjunto de «Y» se llama el Codominio, y
- el conjunto de elementos que se apunta en el Y (los valores reales producidos por la función) se denomina Rango.
Tenemos una página especial sobre Dominio, Rango y Codominio si quieres saber más.
Tantos Nombres!Las funciones
se han utilizado en matemáticas durante mucho tiempo, y han surgido muchos nombres y formas diferentes de escribir funciones.
Aquí hay algunos términos comunes que usted debe familiarizarse con:
Ejemplo: z = 2u3:
- «u» podría ser llamada la «variable independiente»
- «z» podría ser llamada la «variable dependiente» (depende del valor de u)
Ejemplo: f(4) = 16:
- «4» podría ser llamado el «argumento»
- «16» podría ser llamado el «valor de la función»
Ejemplo: h(año) = 20 × año:
- h() es la función
- «year» se puede llamar el «argumento», o la «variable»
- un valor fijo como «20» se puede llamar un parámetro
A menudo llamamos a una función «f(x)» cuando de hecho la función es realmente «f»
Pares ordenados
Y aquí hay otra forma de pensar sobre las funciones:
Escriba la entrada y la salida de una función como un «par ordenado», como (4,16).
Se denominan pares ordenados porque la entrada siempre es la primera y la salida la segunda:
(entrada, salida)
Así que se parece a esto:
( x, f(x) )
Ejemplo:
(4,16) significa que la función toma en «4» y da «16»
Conjunto de Pares Ordenados
Una función puede ser definida como un conjunto de pares ordenados:
Ejemplo: {(2,4), (3,5), (7,3)} es una función que dice:
«2 está relacionado con 4», «3 está relacionado con 5» y «7 está relacionado con 3».
También, tenga en cuenta que:
- el dominio es {2,3,7} (los valores de entrada)
- y el rango es {4,5,3} (los valores de salida)
Pero la función tiene que tener un valor único, por lo que también decimos
«si contiene (a, b) y (a, c), entonces b debe ser igual a c»
, Que es solo una forma de decir que una entrada de «a» no puede producir dos resultados diferentes.
Ejemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} no es una función porque {2,4} y {2,5} significa que 2 podría estar relacionado con 4 o 5.
En otras palabras, no es una función porque no es un único valor
Un Beneficio de Pares Ordenados
podemos gráfico ellos…
… ¡porque también son coordenadas!
Así que un conjunto de coordenadas también es una función (si siguen las reglas anteriores, es decir)
Una función Puede estar en Piezas
Podemos crear funciones que se comporten de manera diferente dependiendo del valor de entrada
Ejemplo: Una función con dos piezas:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
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Here are some example values:
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Lea más en Funciones definidas a Trozos.
Explícito vs Implícito
Un último tema: los términos «explícito» e «implícito».
Explícito es cuando la función nos muestra cómo ir directamente de x a y, como:
y = x3-3
Cuando conocemos x, podemos encontrar y
Que es el estilo clásico y = f(x) con el que a menudo trabajamos.
Implícito es cuando no se da directamente como:
x2-3xy + y3 = 0
Cuando conocemos x, ¿cómo encontramos y?
puede ser difícil (o imposible!) para ir directamente de x a y.
«Implícito» viene de» implícito», en otras palabras, se muestra indirectamente.
Graficando
- El Graficador de funciones solo puede manejar funciones explícitas,
- El Graficador de ecuaciones puede manejar ambos tipos (pero toma un poco más de tiempo, y a veces se equivoca).
Conclusión
- una función relaciona entradas con salidas
- una función toma elementos de un conjunto (el dominio) y los relaciona con elementos de un conjunto (el codominio).
- todas las salidas (los valores reales relacionados con) se llaman juntos rango
- una función es un tipo especial de relación donde:
- se incluye cada elemento en el dominio, y
- cualquier entrada produce solo una salida (no esto o aquello)
- una entrada y su salida coincidente se llaman juntas un par ordenado
- por lo que una función también puede verse como un conjunto de pares ordenados