Introducción
- Si se trata de una cantidad física, como el estrés, generalmente se llama tensor.Si no es una cantidad física, generalmente se llama matriz.
- La gran mayoría de los tensores de ingeniería son simétricos. Una cantidad común que no es simétrica, y que no se conoce como tensor, es una matriz de rotación.
- Los tensores son de hecho cualquier cantidad física que puede ser representada por un escalar, vector o matriz.Los tensores de orden cero, como la masa, se llaman escalares, mientras que los tensores de orden 1 se llaman vectores.Ejemplos de tensores de orden superior incluyen tensores de tensión, tensión y rigidez.
- El orden, o rango, de una matriz o tensor es el número de subíndices que contiene. Un vector es un tensor de 1er rango. Un tensor de tensión de 3×3 es el segundo rango.
- Las transformaciones de coordenadas de tensores se discuten en detalle aquí.
Matriz de identidad
La matriz de identidad es
\\]
Multiplicar cualquier cosa por la matriz de identidad es como multiplicar por uno.
Notación tensora
La matriz de identidad en la notación tensora es simplemente \ (\delta_{ij} \).Es el Delta de Kronecker que es igual a 1 cuando \ (i = j \) y 0 de lo contrario.
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Es una Matriz o No?
Una nota de los puristas… La matriz de identidad es una matriz, pero el Kronecker deltatécnicamente no lo es. \( \delta_{ij} \) es un único valor escalar que es 1 o 0 dependiendo de los valores de \(i\) y \(j\). Esta es también la razón por la que la notación tensorial no está en negrita, porque siempre se refiere a componentes individuales de tensores, pero nunca a un tensor como un todo.
Siga este enlace para una discusión entretenida entre alguien que lo hace, y alguien que no lo hace.
Transponer
La transposición de una matriz refleja sus componentes sobre la diagonal principal. La matriz de transposición \({\bf A}\) se escribe \({\bf A}^{\!T}\).
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Transponer Ejemplo
\,\qquad\text{entonces}\qquad{\bf A}^{\!T} = \ left\]
Notación tensora
La transposición de \(A_{ij}\) es \ (A_{j\, i}\).
Determinantes
El determinante de una matriz a se escribe como det(\({\bf A}\) o \(|{\bf A}|\), y se calcula como
\
Si el determinante de un tensor, o en la matriz, es cero, entonces no tiene un inverso.
Notación tensora
El cálculo de un determinante se puede escribir en notación tensora de un par de maneras diferentes
\ El determinante del producto de dos matrices es el mismo que el producto de los determinantes de las dos matrices. En otras palabras,
\
El determinante de un gradiente de deformación da la relación de volumen inicial a final de un elemento diferencial.
Inversos
El inverso de la matriz \({\bf A}\) se escribe como \({\bf A}^{ \ !-1}\) y tiene la siguiente propiedad muy importante (consulte la sección sobre multiplicación de matrices a continuación)
\
Si \({\bf B}\) es el inverso de \({\bf A}\), entonces
\
Notación tensora
El inverso de \(A_{ij}\) a menudo se escribe como \(A^{-1}_{ij}\).Tenga en cuenta que esto probablemente no es rigurosamente correcto ya que, como se discutió anteriormente,ni \(A_{ij}\) ni \(A^{-1}_{ij}\) son matrices técnicas en sí mismas.Son solo componentes de una matriz. Oh, bueno…
El inverso se puede calcular usando
\
Página web inversa de matriz
Esta página calcula el inverso de una matriz de 3×3.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/InverseForm.png)
Transpone de los Inversos de las Transpuestas de…
La inversa de una transposición de una matriz es igual a la transposición de una inversa de la matriz. Dado que el orden no importa, la operación doble se abrevia simplemente como \({\bf{A}}^{ \ !- T}\).
\
Adición de matrices
Las matrices y tensores se agregan componente por componente al igual que los vectores.Esto se expresa fácilmente en notación tensorial.
\
Multiplicación de matrices (Productos con puntos)
El producto con puntos de dos matrices multiplica cada fila de la primera por cada columna de la segunda. Los productos a menudo se escriben con un punto en notación matricial como\ ({\bf A} \cdot {\bf B} \), pero a veces se escriben sin el punto como \( {\bf A} {\bf B}\). De hecho, las reglas de multiplicación se explican mejor a través de la notación tensorial.
\
(Tenga en cuenta que no se usa punto en notación tensorial.) El \(k\) en ambos factores implica automáticamente
\
que es la i-ésima fila de la primera matriz multiplicada por la j-ésima columna de la segunda matriz. Si, por ejemplo, desea calcular \(C_{23}\), entonces \(i=2\) y \(j=3\), y
\
Página web de multiplicación de matrices
Esta página calcula el producto escalar de dos matrices de 3×3.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/MatMultForm.png)
la Multiplicación de matrices No Es Conmutativa
es muy importante reconocer que la multiplicación de matrices NO es conmutativa, es decir,
\
Transposiciones e inversos de Productos
La transposición de un producto es igual al producto de las transposiciones en orden inverso, y la inversa de un producto es igual al producto de los inversos en orden inverso.Tenga en cuenta que el «en orden inverso» es crítico.Esto se utiliza ampliamente en las secciones de gradientes de deformación y deformaciones verdes.
\
Esto también se aplica a varios productos. Por ejemplo
\
Producto Con transposición propia
El producto de una matriz y su propia transposición es siempre una matriz simétrica.\({\bf A}^T \cdot {\bf A} \)y \({\bf A} \cdot {\bf A}^T\)tanto dar simétrica, a pesar de los diferentes resultados.Esto se utiliza ampliamente en las secciones de gradientes de deformación y deformaciones verdes.
Productos de doble punto
El producto de doble punto de dos matrices produce un escalar result.It se escribe en notación matricial como \({\bf A}: {\bf B}\).Aunque rara vez se usa fuera de la mecánica de continuum,de hecho es bastante común en aplicaciones avanzadas de elasticidad lineal. Por ejemplo, \ ({1 \ sobre 2} \ sigma: \ epsilon \) da la densidad de energía de deformación en elasticidad lineal a pequeña escala.Una vez más, su cálculo se explica mejor con notación tensorial.
\
Dado que los subíndices \(i\) y \(j\) aparecen en ambos factores, ambos se suman para dar
\