Matemáticas para las Artes Liberales Corequisite

La Evolución de un Sistema

Nuestro propio sistema numérico, compuesto por los diez símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} se llama el sistema hindú-árabe. Este es un sistema base-diez (decimal)ya que los valores de posición aumentan en potencias de diez. Además, este sistema es posicional, lo que significa que la posición de un símbolo tiene relación con el valor de ese símbolo dentro del número. Por ejemplo, la posición del símbolo 3 en el número 435,681 le da un valor mucho mayor que el valor del símbolo 8 en ese mismo número. Exploraremos los sistemas base más a fondo más adelante. El desarrollo de estos diez símbolos y su uso en un sistema posicional nos viene principalmente de la India.

la Figura 10. Al-Biruni

No fue hasta el siglo XV que los símbolos con los que estamos familiarizados hoy en día tomaron forma por primera vez en Europa. Sin embargo, la historia de estos números y su desarrollo se remonta a cientos de años. Una fuente importante de información sobre este tema es el escritor al-Biruni, cuya imagen se muestra en la figura 10. Al-Biruni, que nació en la actual Uzbekistán, había visitado la India en varias ocasiones e hizo comentarios sobre el sistema numérico indio. Cuando nos fijamos en los orígenes de los números que al-Biruni encontró, tenemos que remontarnos al siglo III a.C. para explorar sus orígenes. Es entonces cuando se usaban los números Brahmi.

Los números Brahmi eran más complicados que los utilizados en nuestro propio sistema moderno. Tenían símbolos separados para los números del 1 al 9, así como símbolos distintos para 10, 100, 1000,…, también para 20, 30, 40,… y otros para 200, 300, 400, …, 900. Los símbolos Brahmi para 1, 2 y 3 se muestran a continuación.

Estos números se utilizaron hasta el siglo IV d. C., con variaciones a través del tiempo y la ubicación geográfica. Por ejemplo, en el siglo I d. C., un conjunto particular de números Brahmi tomó la siguiente forma:

A partir del siglo IV, en realidad se pueden trazar varios caminos diferentes que los números Brahmi tomaron para llegar a diferentes puntos y encarnaciones. Uno de esos caminos conducía a nuestro sistema de numeración actual, y pasaba por lo que se llaman los números Gupta. Los números Gupta fueron prominentes durante un tiempo gobernado por la dinastía Gupta y se extendieron por todo ese imperio a medida que conquistaban tierras durante los siglos IV a VI. Tienen el siguiente formulario:

Cómo llegaron los números a su formulario Gupta está abierto a un debate considerable. Se han ofrecido muchas hipótesis posibles, la mayoría de las cuales se reducen a dos tipos básicos. El primer tipo de hipótesis establece que los números provienen de las letras iniciales de los nombres de los números. Esto no es raro . . . los números griegos se desarrollaron de esta manera. El segundo tipo de hipótesis afirma que se derivaron de algún sistema numérico anterior. Sin embargo, hay otras hipótesis que se ofrecen, una de las cuales es del investigador Ifrah. Su teoría es que originalmente había nueve números, cada uno representado por un número correspondiente de líneas verticales. Una posibilidad es esta:

Debido a que estos símbolos habrían tardado mucho tiempo en escribirse, eventualmente evolucionaron en símbolos cursivos que podrían escribirse más rápidamente. Si los comparamos con los números Gupta anteriores, podemos tratar de ver cómo pudo haber tenido lugar ese proceso evolutivo, pero nuestra imaginación sería casi todo de lo que tendríamos que depender, ya que no sabemos exactamente cómo se desarrolló el proceso.

Los números Gupta eventualmente evolucionaron en otra forma de números llamados números Nagari, y estos continuaron evolucionando hasta el siglo XI, momento en el que se veían así:

Tenga en cuenta que para este momento, el símbolo de 0 ha aparecido! Los Mayas en las Américas tenían un símbolo de cero mucho antes de esto, sin embargo, como veremos más adelante en el capítulo.

Estos números fueron adoptados por los árabes, muy probablemente en el siglo VIII durante las incursiones islámicas en la parte norte de la India. Se cree que los árabes fueron fundamentales para difundirlos a otras partes del mundo, incluida España (véase más adelante).

Otros ejemplos de variaciones hasta el siglo xi incluyen:

la Figura 11. Devangari, siglo viii

la Figura 12. Occidente Árabe Gobar, siglo x

la Figura 13. España, 976 AEC

Finalmente, la figura 14 muestra varias formas de estos números a medida que se desarrollaron y finalmente convergieron al siglo XV en Europa.

la Figura 14.

Números romanos

El sistema numérico representado por números romanos se originó en la antigua Roma (753 a. C.–476 d. C.) y siguió siendo la forma habitual de escribir números en toda Europa hasta finales de la Edad Media (que comprende generalmente los siglos XIV y XV (c. 1301-1500)). Los números en este sistema están representados por combinaciones de letras del alfabeto latino. Números romanos, tal como se utiliza hoy en día, se basan en siete símbolos:

El uso de números Romanos continuaron mucho tiempo después de la caída del Imperio Romano. A partir del siglo XIV, los números romanos comenzaron a ser reemplazados en la mayoría de los contextos por los números arábigos hindúes más convenientes; sin embargo, este proceso fue gradual, y el uso de números romanos persiste en algunas aplicaciones menores hasta nuestros días.

Los números del 1 al 10 generalmente se expresan en números romanos de la siguiente manera:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

Los números se forman combinando símbolos y agregando los valores, por lo que II es dos (dos unos) y XIII es trece (un diez y tres unos). Debido a que cada número tiene un valor fijo en lugar de representar múltiplos de diez, cien y así sucesivamente, de acuerdo con la posición, no hay necesidad de ceros de «ubicación», como en números como 207 o 1066; esos números se escriben como CCVII (dos cientos, un cinco y dos unos) y MLXVI (mil, un cincuenta, un diez, un cinco y un uno).Los símbolos

se colocan de izquierda a derecha en orden de valor, comenzando por el más grande. Sin embargo, en algunos casos específicos, para evitar que se repitan cuatro caracteres en sucesión (como IIII o XXXX), se utiliza la notación sustractiva: como en esta tabla:

In summary:

• I colocado antes de V o X indica uno menos, por lo que cuatro es IV (uno menos de cinco) y nueve es IX (uno menos de diez)
• X colocado antes de L o C indica diez menos, por lo que cuarenta es XL (diez menos de cincuenta) y noventa es XC (diez menos de cien)
• C colocado antes de D o M indica cien menos, por lo que cuatrocientos es CD (cien menos de quinientos) y novecientos es CM (cien menos de mil)

Uso moderno

Por el siglo XI, los números arábigos hindúes se habían introducido en Europa desde al–Andalus, a través de comerciantes árabes y tratados aritméticos. Los números romanos, sin embargo, probaron ser muy persistentes, permaneciendo en uso común en Occidente hasta bien entrado el siglo XIV y XV, incluso en la contabilidad y otros registros comerciales (donde los cálculos reales se habrían hecho utilizando un ábaco). El reemplazo por sus equivalentes «árabes» más convenientes fue bastante gradual, y los números romanos todavía se usan hoy en día en ciertos contextos. Algunos ejemplos de su uso actual son:

Real español usando «IIII» en lugar de IV

• Nombres de monarcas y papas, por ejemplo, Isabel II del Reino Unido, el Papa Benedicto XVI. Estos se conocen como números de reinado; por ejemplo, II se pronuncia «el segundo». Esta tradición comenzó en Europa esporádicamente en la Edad Media, ganando uso generalizado en Inglaterra solo durante el reinado de Enrique VIII. Anteriormente, el monarca no era conocido por números, sino por un epíteto como Eduardo el Confesor. Algunos monarcas (por ejemplo, Carlos IV de España y Luis XIV de Francia) parecen haber preferido el uso del IIII en lugar del IV en sus monedas (ver imagen de arriba).
• Sufijos generacionales, particularmente en los Estados Unidos, para personas que comparten el mismo nombre a través de generaciones, por ejemplo, William Howard Taft IV.
• En el Calendario Republicano Francés, iniciado durante la Revolución Francesa, los años se numeraban con números romanos, desde el año I (1792) cuando se introdujo este calendario hasta el año XIV (1805) cuando fue abandonado.
• El año de producción de películas, programas de televisión y otras obras de arte dentro de la obra en sí. Se ha sugerido – por BBC News, quizás de manera burlona – que esto se hizo originalmente «en un intento de disfrazar la era de las películas o los programas de televisión.»La referencia externa a la obra utilizará números arábigos hindúes regulares.
• Marcas de hora en relojes. En este contexto, 4 se escribe generalmente IIII.
• El año de construcción en las caras de los edificios y las piedras angulares.
• Numeración de páginas de prefacios e introducciones de libros, y a veces también de anexos.
• El volumen del libro y los números de capítulo, así como los varios actos de una obra (por ejemplo, el acto iii, Escena 2).
• Secuelas de algunas películas, videojuegos y otras obras (como en Rocky II).
• Esquemas que usan números para mostrar relaciones jerárquicas.
• Ocurrencias de un gran evento recurrente, por ejemplo:
  • Los Juegos Olímpicos de Verano e Invierno (por ejemplo, los XXI Juegos Olímpicos de Invierno; los Juegos de la XXX Olimpiada)
  • El Super Bowl, el juego anual de campeonato de la Liga Nacional de Fútbol (por ejemplo, el Super Bowl XXXVII; el Super Bowl 50 es una excepción única)
  • WrestleMania, el evento anual de lucha libre profesional para la WWE (por ejemplo, WrestleMania XXX). Este uso también ha sido inconsistente.