Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, dispuesto de tal manera que la suma de los números en cualquier línea horizontal, vertical o diagonal principal es siempre el mismo número (Kraitchik 1942, p. 142; Andrews 1960, p. 1; Gardner 1961, p. 130; Madachy 1979, p. 84; Benson y Jacoby 1981, p. 3; Ball and Coxeter 1987, p. 193), conocida como la constante mágica

Si se resta cada número de un cuadrado mágico de , se obtiene otro cuadrado mágico llamado magia complementaria cuadrado. Un cuadrado que consiste en números consecutivos que comienzan por 1 a veces se conoce como un cuadrado mágico «normal».

El único cuadrado normal de orden tres era conocido por los antiguos chinos, que lo llamaban Lo Shu. Una versión del cuadrado mágico de orden-4 con los números 15 y 14 en columnas centrales adyacentes en la fila inferior se llama Cuadrado mágico de Durero. Los cuadrados mágicos del orden 3 al 8 se muestran arriba.

La constante mágica para un el cuadrado mágico general de th orden que comienza con un entero y con entradas en una serie aritmética creciente con diferencia entre términos es

(Hunter y Madachy 1975).

Es un problema sin resolver determinar el número de cuadrados mágicos de un orden arbitrario, pero el número de cuadrados mágicos distintos (excluyendo los obtenidos por rotación y reflexión) de orden , 2, … son 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, p. 87). Los 880 cuadrados de orden cuatro fueron enumerados por Frénicle de Bessy en 1693, y están ilustrados en Berlekamp et al. (1982, pp 778-783). El número de cuadrados mágicos fue calculado por R. Schroeppel en 1973. El número de cuadrados no se conoce, pero Pinn y Wieczerkowski (1998) estimaron que era utilizando simulación de Monte Carlo y métodos de mecánica estadística. Los métodos para enumerar cuadrados mágicos son discutidos por Berlekamp et al. (1982) y en el sitio web de MathPages.

Un cuadrado que no es mágico solo porque una o ambas sumas diagonales principales no son iguales a la constante mágica se denomina cuadrado semimágico. Si todas las diagonales (incluidas las obtenidas envolviendo) de un cuadrado mágico suman la constante mágica, se dice que el cuadrado es un cuadrado panmágico (también llamado cuadrado diabólico o cuadrado pandiagonal). Si se reemplaza cada número por su cuadrado produce otro cuadrado mágico, se dice que el cuadrado es un cuadrado bimágico (o cuadrado doblemente mágico). Si un cuadrado es mágico para y , se llama trimagic cuadrado (o trebly cuadrado mágico). Si todos los pares de números simétricamente opuestos al centro suman , se dice que el cuadrado es un cuadrado mágico asociativo.

Los cuadrados que son mágicos bajo multiplicación en lugar de suma se pueden construir y se conocen como cuadrados mágicos de multiplicación. Además, los cuadrados que son mágicos bajo la suma y la multiplicación se pueden construir y se conocen como cuadrados mágicos de multiplicación por adición (Hunter y Madachy 1975).

Kraitchik (1942) ofrece técnicas generales de construcción de cuadrados pares e impares de orden. Para odd, se puede usar una técnica muy sencilla conocida como el método siamés, como se ilustra arriba (Kraitchik 1942, pp.148-149). Comienza colocando un 1 en el cuadrado central de la fila superior, luego colocando gradualmente los números subsiguientes en el cuadrado de una unidad arriba y a la derecha. El conteo está envuelto, de modo que caer de la parte superior regresa a la parte inferior y caer de la derecha regresa a la izquierda. Cuando se encuentra un cuadrado que ya está lleno, el siguiente número se coloca debajo del anterior y el método continúa como antes. El método, también llamado método de de la Loubere, se supone que fue reportado por primera vez en Occidente cuando de la Loubere regresó a Francia después de servir como embajador en Siam.

Una generalización de este método utiliza un «vector ordinario» que da el desplazamiento para cada movimiento sin colisión y un «vector de ruptura» que da el desplazamiento para introducir en una colisión. Por lo tanto, el método siamés estándar tiene un vector ordinario (1, y un vector de ruptura (0, 1). Para que esto produzca un cuadrado mágico, cada movimiento de ruptura debe terminar en una celda sin llenar. Clases especiales de los cuadrados mágicos pueden ser construidos teniendo en cuenta la absoluta sumas y . Llame al conjunto de estos números sumdiffs (sumas y diferencias). Si todos los sumdiffs son relativamente primos a y el cuadrado es un cuadrado mágico, entonces el cuadrado es también un cuadrado panmágico. Esta teoría se originó con de la Hire. La siguiente tabla da los sumdiffs para opciones particulares de vectores ordinarios y de ruptura.

Un segundo método para generar cuadrados mágicos de orden impar ha sido discutido por J. H. Conway bajo el nombre de método de «pastillas». Como se ilustra arriba, en este método, los números impares se construyen a lo largo de líneas diagonales en forma de diamante en la parte central del cuadrado. Los números pares que se omitieron se agregan secuencialmente a lo largo de la continuación de la diagonal obtenida envolviendo alrededor del cuadrado hasta que la diagonal envuelta alcanza su punto inicial. Por lo tanto, en el cuadrado anterior, la primera diagonal se rellena 1, 3, 5, 2, 4, la segunda diagonal se rellena 7, 9, 6, 8, 10, y así sucesivamente.

Un método elegante para construir cuadrados mágicos de orden doblemente par es dibujar s a través de cada subsquare y rellenar todos los cuadrados en secuencia. Luego reemplace cada entrada en una diagonal tachada por o, de forma equivalente, invierta el orden de las entradas tachadas. Por lo tanto, en el ejemplo anterior para , los números tachados son originalmente 1, 4,…, 61, 64, por lo que la entrada 1 se sustituye por 64, 4 por 61, etc.

Un método muy elegante para construir cuadrados mágicos de orden uniforme con (no hay cuadrados mágicos de orden 2) se debe a J. H. Conway, que lo llama el método «LUX». Crear una matriz que consta de filas de s, 1 fila de Nosotros, y filas de s, todos de longitud . Intercambie la U central con la L por encima de ella. Ahora genere el cuadrado mágico de orden utilizando el método siamés centrado en la matriz de letras (comenzando en el cuadrado central de la fila superior), pero llene cada conjunto de cuatro cuadrados que rodean una letra secuencialmente de acuerdo con el orden prescrito por la letra. Ese orden se ilustra en el lado izquierdo de la figura anterior, y el cuadrado completado se ilustra a la derecha. Las» formas » de las letras L, U y X sugieren naturalmente el orden de llenado, de ahí el nombre del algoritmo.

Las variaciones de cuadrados mágicos también se pueden construir usando letras (ya sea para definir el cuadrado o como entradas en él), como el cuadrado alfamágico y el cuadrado mágico templario.

También se han asociado varias propiedades numerológicas con los cuadrados mágicos. Pivari asocia los cuadrados ilustrados arriba con Saturno, Júpiter, Marte, el Sol, Venus, Mercurio y la Luna, respectivamente. Los patrones atractivos se obtienen conectando números consecutivos en cada uno de los cuadrados (con la excepción del cuadrado mágico del Sol).