Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, podrá:
- Describir la longitud adecuada.
- Calcular la contracción de longitud.
- Explique por qué no notamos estos efectos en las escalas cotidianas.
Figura 1. La gente puede describir las distancias de manera diferente, pero a velocidades relativistas, las distancias son realmente diferentes. (crédito: Corey Leopold, Flickr)
¿Alguna vez has conducido por una carretera que parece que dura para siempre? Si miras hacia adelante, podrías decir que te quedan unos 10 km por recorrer. Otro viajero podría decir que el camino por delante parece que tiene unos 15 km de largo. Sin embargo, si ambos midieran el camino, estarían de acuerdo. Viajando a velocidades diarias, la distancia que ambos miden sería la misma. Leerá en esta sección, sin embargo, que esto no es cierto a velocidades relativistas. Cerca de la velocidad de la luz, las distancias medidas no son las mismas cuando son medidas por diferentes observadores.
Longitud adecuada
Una cosa en la que todos los observadores están de acuerdo es en la velocidad relativa. A pesar de que los relojes miden diferentes tiempos transcurridos para el mismo proceso, todavía están de acuerdo en que la velocidad relativa, que es la distancia dividida por el tiempo transcurrido, es la misma. Esto implica que la distancia también depende del movimiento relativo del observador. Si dos observadores ven tiempos diferentes, entonces también deben ver distancias diferentes para que la velocidad relativa sea la misma para cada uno de ellos.
El muón discutido en el Ejemplo 1 en Simultaneidad y Dilatación del Tiempo ilustra este concepto. Para un observador en la Tierra, el muón viaja a 0,950 c durante 7,05 µs desde el momento en que se produce hasta que se descompone. Por lo tanto, viaja a una distancia
L0 = vΔt = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(7.05 × 10-6 s) = 2.01 km
en relación con la Tierra. En el marco de referencia del muón, su vida útil es de solo 2,20 µs. Tiene tiempo suficiente para viajar solo
L0 = vΔt0 = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(2.20 × 10-6 s) = 0.627 km.
La distancia entre los mismos dos eventos (producción y decaimiento de un muón) depende de quién lo mide y cómo se mueven en relación con él.
Longitud adecuada
Longitud adecuada L0 es la distancia entre dos puntos medida por un observador que está en reposo en relación con ambos puntos.
El observador conectado a la Tierra mide la longitud adecuada L0, porque los puntos en los que se produce y se descompone el muón son estacionarios en relación con la Tierra. Para el muón, la Tierra, el aire y las nubes se están moviendo, por lo que la distancia que ve no es la longitud adecuada.
Figura 2. (a) El observador con destino a la Tierra ve al muón viajar 2,01 km entre nubes. (b)El muón se ve a sí mismo recorrer el mismo camino, pero solo una distancia de 0,627 km. La Tierra, el aire y las nubes se están moviendo en relación con el muón en su marco, y todos parecen tener longitudes más pequeñas a lo largo de la dirección de viaje.
Contracción de longitud
Para desarrollar una ecuación que relaciona las distancias medidas por diferentes observadores, observamos que la velocidad relativa al observador con destino a la Tierra en nuestro ejemplo de muón se da por
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
El tiempo relativo al observador con destino a la Tierra es Δt, ya que el objeto que se está cronometrando se está moviendo en relación con este observador. La velocidad relativa al observador en movimiento está dada por
v=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
El observador en movimiento viaja con el muón y, por lo tanto, observa el tiempo adecuado Δt0. Las dos velocidades son idénticos; por lo tanto,
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
Sabemos que Δt = γΔt0. Sustituir esta ecuación en la relación anterior da
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
Sustituir γ da una ecuación que relaciona las distancias medidas por diferentes observadores.
Contracción de longitud
Contracción de longitud L es el acortamiento de la longitud medida de un objeto que se mueve en relación con el marco del observador.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
Si medimos la longitud de cualquier cosa en movimiento con respecto a nuestro marco, encontramos que su longitud L sea menor que la longitud adecuada L0 que sería medido si el objeto fuese estacionaria. Por ejemplo, en el marco de referencia del muón, la distancia entre los puntos donde se produjo y donde se descompuso es más corta. Esos puntos están fijos en relación con la Tierra, pero se mueven en relación con el muón. Las nubes y otros objetos también se contraen a lo largo de la dirección del movimiento en el marco de referencia del muón.
Ejemplo 1. Cálculo de la Contracción de la Longitud: La Distancia entre las Estrellas Se Contrae cuando Viajas a Alta Velocidad
Supongamos que un astronauta, como el gemelo discutido en Simultaneidad y Dilatación del Tiempo, viaja tan rápido que γ = 30.00.
- Viaja desde la Tierra hasta el sistema estelar más cercano, Alpha Centauri, a 4.300 años luz de distancia, medido por un observador con destino a la Tierra. ¿A qué distancia están la Tierra y Alpha Centauri según lo medido por el astronauta?
- En términos de c, ¿cuál es su velocidad relativa a la Tierra? Usted puede descuidar el movimiento de la Tierra en relación con el Sol. (Véase la Figura 3.)
Figura 3. (a) El observador con destino a la Tierra mide la distancia adecuada entre la Tierra y el Alfa Centauri. b) El astronauta observa una contracción de la longitud, ya que la Tierra y el Alfa Centauri se mueven en relación con su nave. Puede viajar esta distancia más corta en un tiempo más pequeño (su tiempo adecuado) sin exceder la velocidad de la luz.
Estrategia
En primer lugar, tenga en cuenta que un año luz (ly) es una unidad de distancia conveniente en una escala astronómica, es la distancia que viaja la luz en un año. Para la Parte 1, tenga en cuenta que la distancia de 4.300 ly entre el Alfa Centauri y la Tierra es la distancia adecuada L0, porque es medida por un observador conectado a la Tierra al que ambas estrellas están (aproximadamente) estacionarias. Para el astronauta, la Tierra y el Alfa Centauri se mueven a la misma velocidad, por lo que la distancia entre ellos es la longitud contraída L. En la Parte 2, se nos da γ, y por lo tanto podemos encontrar v reorganizando la definición de γ para expresar v en términos de c.
Solución para la Parte 1
Identificar los conocidos:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
Identifique lo desconocido: L
Elija la ecuación apropiada:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
Reorganiza la ecuación para resolver lo desconocido.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ l}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ l}\end{array}\\
Solución para la Parte 2
Identificar el conocido: γ = 30.00
Identificar el desconocido: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ de modo que 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ y \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
Tomando la raíz cuadrada, encontramos \frac{v}{c}=0.99944\\, que se reorganiza para producir un valor para la velocidad v = 0.9994 c.
Discusión
En primer lugar, recuerde que no debe redondear los cálculos hasta que se obtenga el resultado final, o podría obtener resultados erróneos. Esto es especialmente cierto para los cálculos de relatividad especial, donde las diferencias solo pueden revelarse después de varios decimales. El efecto relativista es grande aquí (γ = 30.00), y vemos que v se aproxima (no iguala) a la velocidad de la luz. Dado que la distancia medida por el astronauta es mucho más pequeña, el astronauta puede viajar en mucho menos tiempo en su marco.
Las personas podrían ser enviadas a distancias muy grandes (miles o incluso millones de años luz) y envejecer solo unos pocos años en el camino si viajaban a velocidades extremadamente altas. Pero, como los emigrantes de siglos pasados, dejarían la Tierra que conocen para siempre. Incluso si regresaran, miles o millones de años habrían pasado en la Tierra, borrando la mayor parte de lo que ahora existe. También hay un obstáculo práctico más serio para viajar a tales velocidades; se necesitarían energías inmensamente mayores de las que predice la física clásica para alcanzar tales velocidades altas. Esto se discutirá en Energía Relatávica.
Figura 4. Las líneas de campo eléctrico de una partícula cargada de alta velocidad se comprimen a lo largo de la dirección de movimiento por contracción de longitud. Esto produce una señal diferente cuando la partícula pasa a través de una bobina, un efecto comprobado experimentalmente de contracción de la longitud.
¿Por qué no notamos la contracción de la longitud en la vida cotidiana? La distancia a la tienda de comestibles no parece depender de si estamos avanzando o no. Examinando la ecuación L = L_0\sqrt{1 – \frac{v^2} {c^2}}\\, vemos que a velocidades bajas (v<<c) las longitudes son casi iguales, la expectativa clásica. Pero la contracción de la longitud es real, si no se experimenta comúnmente. Por ejemplo, una partícula cargada, como un electrón, que viaja a velocidad relativista tiene líneas de campo eléctrico que se comprimen a lo largo de la dirección del movimiento como lo ve un observador estacionario. (Véase la Figura 4. A medida que el electrón pasa un detector, como una bobina de alambre, su campo interactúa mucho más brevemente, un efecto observado en aceleradores de partículas como el Acelerador Lineal Stanford de 3 km de longitud (SLAC). De hecho, para un electrón que viaja por la tubería del haz en SLAC, el acelerador y la Tierra se mueven y su longitud se contrae. El efecto relativista es tan grande que el acelerador es de solo 0,5 m de largo para el electrón. En realidad, es más fácil bajar el haz de electrones por el tubo, ya que el haz no tiene que estar dirigido con tanta precisión para bajar por un tubo corto como lo haría por uno de 3 km de largo. Esto, de nuevo, es una verificación experimental de la Teoría Especial de la Relatividad.
Compruebe su Comprensión
Una partícula está viajando a través de la atmósfera de la Tierra a una velocidad de 0,750 c. Para un observador con destino a la Tierra, la distancia que viaja es de 2,50 km. ¿Hasta dónde viaja la partícula en el marco de referencia de la partícula?
Solución
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\left(2.50\text{ km}\right)\sqrt{1-\frac{\left(0.750 c\right)^2}{c^2}}=1.65\text{ km}\\
Resumen de la sección
- Todos los observadores están de acuerdo en la velocidad relativa.
- La distancia depende del movimiento del observador. La longitud adecuada L0 es la distancia entre dos puntos medida por un observador que está en reposo en relación con ambos puntos. Los observadores conectados a la Tierra miden la longitud adecuada al medir la distancia entre dos puntos estacionarios en relación con la Tierra.
- Contracción de longitud L es el acortamiento de la longitud medida de un objeto que se mueve en relación con el marco del observador:
L=L_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
Preguntas conceptuales
- ¿Para quién parece un objeto de mayor longitud, un observador que se mueve con el objeto o un observador que se mueve en relación con el objeto? ¿Qué observador mide la longitud adecuada del objeto?
- Los efectos relativistas, como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, están presentes en automóviles y aviones. ¿Por qué nos parecen extraños estos efectos?
- Supongamos que un astronauta se mueve en relación con la Tierra a una fracción significativa de la velocidad de la luz. a) ¿Observa que el ritmo de sus relojes ha disminuido? (b) ¿Qué cambio en la velocidad de los relojes conectados a la Tierra ve? (c) ¿Le parece que su barco se acorta? (d) ¿Qué hay de la distancia entre estrellas que yacen en líneas paralelas a su movimiento? (e) ¿Él y un observador conectado a la Tierra están de acuerdo en su velocidad relativa a la Tierra?
Problemas& Ejercicios
- Una nave espacial, de 200 m de largo como se ve a bordo, se mueve por la Tierra a 0,970 c. ¿Cuál es su longitud medida por un observador conectado a la Tierra?
- ¿A qué velocidad tendría que pasar un coche deportivo de 6,0 m de largo para que parezca de solo 5,5 m de largo?
- (a) ¿Hasta dónde viaja el muón en el Ejemplo 1 en Simultaneidad y Dilatación Temporal de acuerdo con el observador conectado a la Tierra? b) ¿Hasta qué punto viaja visto por un observador que se desplaza con él? Base su cálculo en su velocidad relativa a la Tierra y el tiempo que vive (tiempo apropiado). (c) Verificar que estas dos distancias estén relacionadas a través de la contracción de longitud γ = 3.20.
- (a) ¿Cuánto tiempo habría vivido el muón en el Ejemplo 1 en Simultaneidad y Dilatación del Tiempo como se observa en la Tierra si su velocidad fuera de 0,0500 c? (b) ¿Hasta dónde habría viajado como se observa en la Tierra? (c) ¿Qué distancia hay en el marco del muón?
- (a) ¿Cuánto tiempo tarda el astronauta del ejemplo 1 en viajar 4,30 años a 0,99944 c (medido por el observador con destino a la Tierra)? (b) ¿Cuánto tiempo tarda según el astronauta? (c) Verificar que estos dos tiempos están relacionados a través de la dilatación temporal con γ = 30.00 como se indica.
- (a) ¿A qué velocidad tendría que correr un atleta en una carrera de 100 m para lucir de 100 yardas de largo? b) ¿Es compatible la respuesta con el hecho de que los efectos relativistas son difíciles de observar en circunstancias ordinarias? Explicar.
- Resultados irrazonables. (a) Encuentre el valor de γ para la siguiente situación. Un astronauta mide la longitud de su nave espacial en 25,0 m, mientras que un observador con destino a la Tierra la mide en 100 m. b) ¿Qué es irrazonable de este resultado? c) ¿Qué supuestos son irrazonables o incoherentes?
- Resultados irrazonables. Una nave espacial se dirige directamente hacia la Tierra a una velocidad de 0,800 c. El astronauta a bordo afirma que puede enviar un bote hacia la Tierra a 1,20 c en relación con la Tierra. a) Calcular la velocidad que debe tener el recipiente en relación con la nave espacial. b) ¿Qué es irrazonable de este resultado? c) ¿Qué supuestos son irrazonables o incoherentes?
Glosario
longitud adecuada: L0; la distancia entre dos puntos medida por un observador que está en reposo en relación con ambos puntos; los observadores conectados a tierra miden la longitud adecuada al medir la distancia entre dos puntos estacionarios en relación con la Tierra
contracción de la longitud: L, el acortamiento de la longitud medida de un objeto en movimiento en relación con el marco del observador:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
Soluciones seleccionadas para problemas & Ejercicios
1. 48,6 m
3. (a) 1,387 km = 1,39 km; (b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t}=\gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac{\Delta{t}}{\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\\
por Lo tanto, las dos veces que están relacionados cuando γ = 30.00.
7. (a) 0,250; (b) γ debe ser ≥ 1; (c) El observador conectado a Tierra debe medir una longitud más corta, por lo que no es razonable suponer una longitud más larga.