He estado enseñando matemáticas en una escuela secundaria australiana desde 1982, y soy autora colaboradora de libros de texto de matemáticas.
Atrapado en el interior en un día lluvioso y sin nada interesante para ver en la televisión, desesperado puede haber descubierto el libro de rompecabezas de su hijo y encontrarse con ‘cuadrados mágicos’. Incapaz de completarlos, la frustración se hizo cargo y decidió elegir el menor de los dos males volviendo a navegar por el canal de televisión hasta que su dedo en el gatillo sucumbió al RSI por el uso excesivo del control remoto.
Ahora, sin embargo, es un buen momento para borrar esa inquietante frustración de tu memoria y sorprender a tus amigos dominando el arte de crear cuadrados mágicos.
Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números con la propiedad de que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal es la misma, conocida como la «suma mágica».
El ‘orden’ es el número de filas y columnas, por lo que un cuadrado mágico de orden 4 significa que tiene 4 filas y 4 columnas. Si N es el orden, entonces N x N se utilizan diferentes números para completar el cuadrado mágico.
Uno de los primeros registros conocidos es el Cuadrado Lo Shu, descrito en la literatura china antigua hace miles de años y es parte de la astrología Feng Shui. La historia cuenta que un emperador se encontró con una tortuga con marcas en su caparazón que se asemejaban a un Cuadrado Mágico que consta de 3 filas y 3 columnas con una suma mágica de 15. Esta suma mágica corresponde al número de días entre la luna nueva y la luna llena.
Primero veremos cómo construir cuadrados mágicos de orden impar, con el más pequeño posible cuadrado mágico teniendo orden 3. Luego veremos cómo completar cuadrados mágicos cuyo orden es divisible por 4.
El método de construcción requiere una secuencia aritmética de números. Esto significa que la diferencia entre los términos consecutivos de la secuencia tiene el mismo valor. La secuencia de números utilizados puede ser números enteros, enteros, fracciones, decimales o cualquier otro tipo de número, siempre y cuando el incremento/decremento entre términos sucesivos siga siendo el mismo.
Magic Sum
The sum of a Magic Square is given by the formula
How to create a magic square of odd order
The strategy is to fill squares with consecutive numbers by imagining that from your current position on the magic square, you are moving North East.
Como ejemplo, construyamos el cuadrado Lo Shu usando los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Paso 1. Coloque siempre el primer número en la columna central de la primera fila.
Paso 2.
Para moverse hacia el Noreste, mueva un espacio hacia la derecha y un espacio hacia arriba.
Si esto te lleva fuera de la cuadrícula, ve verticalmente hacia abajo y coloca el siguiente número allí.
Step 3.
Move one space right and one space up.
If you are outside the grid, go all the way to the left and place the next number there.
Step 4.
Mueva un espacio hacia la derecha y un espacio hacia arriba.
Si el cuadrado está ocupado, coloque el siguiente número en el cuadrado inmediatamente inferior.
Paso 5
Mover un espacio a la derecha y un espacio.
Step 6
Move one space right and one space up.
Step 7
Move one space right and one space up. This situation occurs for this corner only.
Coloque el siguiente número en el cuadrado inferior.
Paso 8. Mueve el espacio a la derecha y un espacio hacia arriba.
Al igual que el paso 3, vaya hasta la izquierda y coloque el siguiente número allí.
Paso 9.
Mueva un espacio hacia la derecha y un espacio hacia arriba.
Estás fuera de la cuadrícula, así que ve verticalmente hacia abajo.
Siga el método en este orden de 5 cuadrado mágico que utiliza los números 2, 4, 6, 8, …, 50.
La suma mágica es 130.
How to create a magic square whose order is divisible by 4
The smallest possible even-ordered magic square consists of 4 rows and 4 columns.
Usemos los números 1, 2, 3, 4, …., 16, que dan una suma mágica de 34.
Se requieren dos ‘pases’ para ingresar los 64 números.
Para el 1er pase, comience en la parte superior izquierda y trabaje secuencialmente a través de la derecha y luego hacia abajo, al mismo tiempo saltando sobre cualquier caja que se encuentre en una de las dos diagonales principales.
Para el 2do paso, empezar en la parte inferior derecha y el trabajo a la izquierda y luego hacia arriba.
Cómo crear un 8 x 8 cuadrado mágico
El método que utilizamos para construir un cuadrado mágico de orden 8 es el mismo que el método utilizado para la 4 x 4.
La única consideración adicional es incluir diagonales iniciales de cada ‘sub-cuadrado’ de 4 x 4.
Vamos a usar los números 1, 2, 3, 4, …., 64, que dan una suma mágica de 260.
Se requieren dos ‘pases’ para los 64 números.
There are many intriguing properties of this magic square. For example, the sum of the diagonals of each 2 x 2 square is the same.
Here are several more interesting properties.
(6 + 7) – (2 + 3) = (62 + 63) – (58 + 59)
(41 + 49) – (9 + 17) = (48 + 56) – (16 + 24)
(12 + 13 + 20 + 21) + (44 + 45 + 52 + 53) = (26 + 27 + 34 + 35) + (30 + 31 + 38 + 39)
Magic Squares provide many patterns and number properties that can be explored at a far greater depth than what I have provided in this article. Cubro algunas de estas relaciones en un video.
Preguntas & Respuestas
Pregunta: ¿Puede usted crear cuadrados mágicos de orden distinto divisible entre 4, 6 o 10?
Respuesta: Sí, es posible tener cuadrados mágicos que sean pares y no divisibles por 4. Echa un vistazo a lo siguiente.
http://www.math.wichita.edu/~richardson/mathematic…
Maria el 12 de abril de 2018:
¡Gracias! Muy buen artículo. Estaba buscando esta información y esta página es mucho más informativa que otras y el material está bien explicado e ilustrado.